關于數學基本思想 我們把數學基本思想歸結為三個核心要素：抽象、推理、模型。 ——史寧中 1.判斷數學基本思想的原則 我從1994年開始關注教育，對教育作了一點哲學層面的思考。2005年承擔義務教育階段數學課程標準修訂工作后，我接觸了多位中小學教師和學科教學論的專家，并逐漸意識到：應當詳細地研究數學的基本思想，構建切實可行的方法把這些思想體現于數學教師的日常教學；應當理順中小學數學的脈絡，使得數學教師在教學活動中有所遵循；應當清晰地闡述數學教學內容中重要知識點的內涵與外延，對于數學教師能夠有所啟發。 大家都覺得數學思想很重要，但是說不清道不明，有的人把數學思想列出一大串。在數學教學中，通常說的等量替換、數形結合、遞歸法、換元法等，可以稱為數學思想方法，但不是數學基本思想。因為在述說這些概念的時候，必然要依附于某些具體的數學內容，因此這些概念在本質上是個案而不是一般。此外，這些概念也不是最基本的，比如關于等量替換，人們可以進一步追問：為什么可以在計算的過程中進行等量替換呢？這就意味著，作為一種方法，等量替換可以用其他的更為基本的原理推演出來。可見，數學基本思想是更上位的概念。為此，需要建立判斷數學基本思想的原則。我們建立兩條原則： 第一條原則，數學產生和發展所必須依賴的那些思想； 第二條原則，學習過數學的人應當具有的基本思維特征。 根據這兩條原則，我們把數學基本思想歸結為三個核心要素：抽象、推理、模型。 2.數學基本思想三要素之間的關系 數學基本思想三要素對于數學的作用以及相互之間的關系大體是這樣的：通過抽象，人們把現實世界中與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學的研究對象，思維特征是抽象能力強；通過推理，人們從數學的研究對象出發，在一些假設條件下，有邏輯地得到研究對象的性質以及描述研究對象之間關系的命題和計算結果，促進數學內部的發展，思維特征是邏輯推理能力強；通過模型，人們用數學所創造的語言、符號和方法，描述現實世界中的故事，構建了數學與現實世界的橋梁，思維特征是表述事物規律的能力強。 當然，針對具體的數學內容，不可能把三者截然分開，特別是不能把抽象與推理、抽象與模型截然分開。在推理的過程中，往往需要從已有的數學知識出發，抽象出那些并不是直接來源于現實世界的概念和運算法則；在構建模型的過程中，往往需要在錯綜復雜的現實背景中抽象出最為本質的關系，并且用數學的語言予以表達。反之，抽象的過程往往需要借助邏輯推理；通過推理判斷概念之間的關系，判斷什么是命題的獨立性，什么是命題的相容性，最終抽象出公理體系；在眾多個案的運算過程中發現規律，通過推理驗證什么是最本質的規律，最終用抽象的符號表達一般性的運算法則。因此，在數學研究和學習的過程中，抽象、推理、模型這三者之間常常是你中有我，我中有你。 抽象、推理這是大家都公認的。可能因為我的研究專業是數理統計學，所以對數學的應用有很深的體會，感覺模型思想特別重要。我們提出這三個基本思想之后，在不同場合聽聽大家的意見，大家都覺得不錯，許多數學家也贊同。 現在我們更明確地提出：數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。這樣大家就更容易理解三個數學基本思想的意思和重要性了。 關于數學基本思想與數學“雙基”“四基”以及數學核心素養的傳承 普通高中數學課程標準所設定的核心素養的本質就是抽象、推理、模型。基于“四基”的數學教學就是基于數學核心素養的數學教學。 ——史寧中 數學基本思想與數學課程標準中的“雙基”“四基”、數學核心素養，是一脈相承的，基于“四基”的數學教學就是基于數學核心素養的數學教學。相對于我們的傳統數學教育，數學核心素養并沒有另起爐灶。這也是我們一以貫之的事情。 20世紀90年代，國家的數學教學大綱將數學思想和方法含在數學“雙基”里，并對其有明確表述；《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出“四基”，將“數學基本思想”從“雙基”里單獨列出來，另外再加上“數學基本活動經驗”，這是對“雙基”的繼承、發展。正在修訂的普通高中數學課程標準提出的數學核心素養有6個：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，其中前三個就是數學基本思想，后三個是傳統的數學能力。 我們對數學教育，特別是基礎階段的數學教育至少應當清晰兩件事情：一是不能單純地讓學生記住一些概念，掌握一些解題的技巧，要讓學生形成和發展數學核心素養，特別是邏輯推理素養；二是學生邏輯推理素養的形成和發展，在本質上，不是靠教師“教”出來的，而是靠學生“悟”出來的。 雖然為了數學的嚴謹性，現代數學逐漸走向了符號化、形式化和公理化，但數學的教學過程卻應當反其道而行之，給學生創造直觀思維的機會，給學生的“悟”留有充分的時間和空間；雖然概念的表達是符號的，但對概念的認識應當是有具體背景的；雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解應當是直觀的；雖然邏輯的基礎是基于公理的，但思維的過程應當是歸納的。為了實現這樣的教學過程，就要求教師在數學教學活動中，更多地關心學生的思維過程，抓住數學的本質，創設合適的教學情境，提出合適的問題，啟發學生獨立思考或與他人進行有價值的討論，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學的基本思想，積累數學思維的經驗，形成和發展數學核心素養。這就是基于“四基”的數學教學，這也是未來將要提倡的基于“數學核心素養”的數學教學。
本文作者：史寧中，東北師范大學資深教授，博士研究生導師，國內著名數理統計學家和教育家，義務教育數學課程標準修訂組組長，普通高中數學課程標準修訂組組長，教育部中小學教材審查委員，曾任國務院學位委員會學科評議組成員、教育部科學技術委員會數理學部委員、中國概率統計學會副理事長、東北師范大學校長。
