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極點極線

定義 已知圓錐曲線С: Ax,+By,+Cx+Dy+E=0與一點P(x0,y0) [其中A,+B,?0,

x0+xy0+y點P不在曲線中心和漸近線上].則稱點P和直線L: A?x0x+B?y0y+C?+D?(((((((((((((22+E=0是圓錐曲線С的一對極點和極線.

0+x0+yxy即在圓錐曲線方程中,以x0x替換x,，以替換x，以y0y替換y,,以替換22y則可得到極點P(x0,y0)的極線方程L.

特別地:

(1)對于圓(x-a),+(y-b),=r,,與點P(x0,y0)對應的極線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r, ;

0xy0yxx,y,(2)對于橢圓+=1，與點P(x0,y0)對應的極線方程為+=1 ; a,b,a,b,

x0xy0yx,y,(3)對于雙曲線-=1，與點P(x0,y0)對應的極線方程為-=1 ; a,b,a,b,

(4)對于拋物線y,=2px，與點P(x0,y0)對應的極線方程為y0y=p(x0+x) ;

性質 一般地,有如下性質[焦點所在區域為曲線內部]: (((((((((((

?若極點P在曲線С上,則極線L是曲線С在P點的切線;

?若極點P在曲線С外,則極線L是過極點P作曲線С的兩條切線的切點連線;

?若極點P在曲線С內,則極線L在曲線С外且與以極點P為中點的弦平行[僅是斜率相等]( 若是圓,則此時中點弦的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=

x0xy0yx0,y0,(x0-a),+(y0-b),;若是橢圓,則此時中點弦的方程為+=+;若是雙曲a,b,a,b,

x0xy0yx0,y0,線,則此時中點弦的方程為-=-;若是拋物線,則此時中點弦的方程為a,b,a,b,

y0y-p(x0+x)=y0,-2px0);

?當P(x0,y0)為圓錐曲線的焦點F(c,0)時，極線恰為該圓錐曲線的準線; ((

?極點極線的對偶性:

?.已知點P和直線L是關于曲線С的一對極點和極線,則L上任一點Pn對應的極線Ln必過點P,反之亦然,任意過點P的直線Ln對應的極點Pn必在直線L上[圖(中點Pn與直線Ln是一對極點極線]; ((((((((((((((((

?.過點P作曲線C的兩條割線L1、L2，L1交曲線C于AB，L2交曲線C于MN，則

BN的交點T，直線AN、BM的交點S必都落在點P關于曲線C的極線L直線AM、

上 [圖中點P與直線ST是一對極點極線,點T與直線SP是一對極點極線] ; (((((((((((((((((((((((((((((((