【按：因為看到學生們學習解析幾何的問題, 一直想寫這一部分內容, 在南京疫情籠罩的日子里, 正好可以安靜地把想法整理出來。個人想法，一家之言，未必值得參考。】
正所謂“天下大勢, 合久必分, 分久必合”, 高等代數與解析幾何這兩門課程就有這一趨勢. 2002 年在北大做博士后, 講授高等代數習題課, 沒有解析幾何; 2004 年后在南開講課時, 高等代數與解析幾何成了一門課; 如今在南大講課, 二者之間“與”字變成了頓號, 又成了兩門課.
從現狀來看, 目前在國內各大學, 這兩門課程合二為一和各自為政的狀況都存在. 合并的原因大概是兩個方面, 一是基礎課的課時越來越少, 二是這兩門課程很多重疊之處. 不過, 很多人會擔心合并后幾何的分量會被減弱, 甚至到可有可無的地步, 從而影響對學生的幾何直觀的培養. 這種擔心也不是沒有道理.
從教學時間上看, 南開合并后的高等代數與解析幾何一門課在兩個學期的周課時為 6+7 (各含兩節習題課), 南大則是 5+5, 再加上第一學期的解析幾何每周 2 課時, 總課時為 7+5. 也就是說南開合并后的一門課的課時要比南大兩門課的多, 這還不算南大有小學期, 每學期只有 16-17 周, 而南開取消了小學期, 每學期 18-19 周. 一般的解析幾何課的周學時是 2 學時, 去掉新生軍訓、國慶長假和期中考試, 能保證 15 周 30 課時就不錯了.
從教學內容上看, 去掉幾乎不可能講到的射影幾何部分, 解析幾何課需要講解矢量運算及內積外積和混合積、直線和平面方程、特殊曲線和曲面、坐標變換（等距變換、正交變換）、二次曲線和曲面的分類等. 由于課時少, 很多內容無法細講, 如二次曲線和二次曲面的分類部分往往耗費時間也不容易講清楚, 大概率會被略過. 然而這些內容在高等代數中都有對應部分, 甚至可以說解析幾何是把高等代數的基礎理論中的低維部分單獨拿出來講, 比如三元一次方程組、三維矢量空間、三元二次型、三維 Euclid 空間、三階正交矩陣等. 問題是同期的高等代數一般只會講多項式、行列式、線性方程組、矩陣和線性空間的部分內容等, 而二次曲線和二次曲面的分類需要的正交變換理論包含在高等代數第二學期的 Euclid 空間部分. 因此, 與解析幾何相關的高等代數內容基本都是滯后地, 這種脫節自然會給解析幾何的教學增添了新的麻煩.
從教學效果上看, 如果協調好的話, 二者可以相輔相成: 解析幾何中直觀的低維幾何對象是高等代數的很好的例子; 高等代數中的一般理論可以讓學生從本質上理解解析幾何中的問題. 但是這并不容易, 實際情況可能是兩門課各自為政, 沒有高等代數的基礎解析幾何的很多內容不容易解釋清楚, 初學者也很難理解為什么有那些奇怪的定義; 沒有解析幾何的背景, 高等代數課程也可能失去了幾何直觀. 2021 年春季學期剛開學時我曾經了解過學生們對上學期學過的解析幾何的認識, 結果不樂觀, 期末考試后很多學生就把解析幾何忘光了(當然其他課如高代數分也會忘), 很多定義根本沒理解, 應付考試主要是靠背公式, 二次曲線的分類已經不清楚了, 二次曲面的分類似乎都沒學過. 我們所期待的解析幾何課對于學生幾何直觀的培養似乎沒多大效果, 而它與高等代數的銜接問題也讓這個課程成了雞肋, 這兩門課程的割裂或許是對彼此的最大傷害.
從個人的教學體驗看, 我傾向于合并. 我把高等代數的課程錄屏放在網上, 當更新完 Euclid 空間部分, 就有學生留言問是否還有解析幾何部分, 也有學生說沒有解析幾何部分的高等代數總覺得缺點什么, 我有同感. 這兩門課程有太多的重疊, 合并起來既可以節省很多時間, 又可以更合理地協調二者的內容使其無縫銜接, 也有利于初學者們的理解. 在過去幾年的高等代數教學中, 我嘗試在適當章節引入解析幾何的相應部分, 把解析幾何作為高等代數各部分的低維例子, 建立幾何直觀, 并及時把相應理論拓展到一般情形, 然而由于課時關系, 一些想法難以實現, 不過還是值得去嘗試.
解析幾何與高等代數在內容上有如下的對應: 矢量的加法和數乘對應于線性空間, 矢量內積對應于 Euclid 空間, 矢量外積和混合積對應于行列式和矩陣, 直線和平面方程對應于線性方程組、子空間和正交關系, 二次曲線和二次曲面的分類則對應于二次型和正交變換. 由此可見, 解析幾何的全部內容與高等代數都有關聯, 我們可以在高等代數的相關章節講授有關的解析幾何內容, 或作為例子, 或作為應用.
解析幾何中一般首先引入矢量的運算, 包括加法和數乘, 也就是矢量空間是一個線性空間, 因此這一部分是很直觀的線性空間的例子. 其中, 矢量加法的平行四邊形法則在初中物理中接觸過, 這一法則初學時或許會感覺有一點怪異, 不過如果用坐標系來看就自然了. 中學已經學過坐標系, 在直角坐標系下, 平面上的點與其坐標一一對應, 其坐標是實數對 , 兩個點之和的坐標自然應該是坐標之和. 從這一點來看, 平行四邊形法則就比較自然了. 空間矢量的平行四邊形法則也是類似的, 它們都是實向量空間 中加法的特殊情形. 內積、外積和混合積這些內容可以與行列式、矩陣結合起來, 這些定義也是在一些必要的計算中自然得到的.
平面直線、空間的直線和平面對應于線性空間的子空間及其陪集, 也可以對應于線性方程(組)的解空間, 其中涉及一些線性相關性.
二次曲線和二次曲面是一般的二次超曲面的特殊情形, 涉及二次型理論和正交變換, 尤其是對稱矩陣正交相似標準形. 當然二次超曲面的方程中有一些一次項, 這就需要引入平移來處理. 不管是正交變換還是平移都是等距變換的特殊情形, 以 Euclid 空間理論為基礎, 相關的討論會變得相對簡單而自然.
在與陳智奇合作的《高等代數與解析幾何》一書中, 我們就是按上述想法把解析幾何內容穿插到高等代數中. 當然, 在具體的教學過程中可以根據需要進行多種方式的嘗試, 既可以把解析幾何作為高等代數相關概念的例子, 也可以作為相關理論的應用; 既可以把解析幾何分散到高等代數的各個章節中, 也可以作為高等代數的若干章節. 做這樣不同的嘗試是值得的, 因為同一問題可以有多種表現方式.
以下我們詳細談談各個部分的具體銜接方式.
建立直角坐標系的目的是可以計算很多幾何量, 例如矢量的長度、夾角、幾何圖形的面積和立體圖形的體積等, 解析幾何的很多概念都可以在這個過程中自然得出.
問題 1 在平面上選擇坐標原點 和單位長度建立直角坐標系. 給定平面矢量
求 的夾角和它們張成的平行四邊形面積.
設 為 的夾角, 利用余弦定理不難得到
注意到分子分母的各項具有類似的結構, 于是引入簡潔的記號
稱為 的內積. 從而有
故夾角 滿足
特別地, 當且僅當 當且僅當 . 從幾何上看, 與 是垂直的, 記作 .
繼續計算可得以 和 為邊的平行四邊形面積為
化簡后不難得到 , 即為行列式 的絕對值. 我們稱該行列式為由 張成的平行四邊形的有向面積. 這是二階行列式的幾何意義.
類似地, 我們可以在立體空間中選定坐標原點 和單位長度建立直角坐標系. 在剛開始講授高等代數與解析幾何這門課時, 我注意到一個問題: 在空間建立直角坐標系, 空間每一個點對應唯一的坐標, 一般的解析幾何書上都默認不同點對應的坐標一定不一樣, 這里或許有點想當然的成分, 是否可能有兩個點的坐標是一樣的, 例如兩點的坐標都是 ? 或者說, 立體空間為什么是三維的? 這個問題看起來很顯然, 然而細究一下就會發現問題: 早期的立體幾何是沒有坐標系和維數的概念的, 是什么因素限制了空間的維數? 這就需要立體幾何的公理, 其中一條是: 任何兩個不重合的平面如果有一個交點, 一定交于一條直線. 這實際上是線性空間的維數公式的特殊情形:
問題 2 設 為立體空間(空間矢量的全體), 是經過原點的不重合平面, , 則 且
現在我們可以來計算立體空間的矢量的夾角、平行四邊形面積和平行六面體體積.
問題 3 設空間兩個矢量為 , .
(1) 求 與 的夾角 ;
(2) 求 張成的平行四邊形的面積.
類似于平面情形可得
為了簡化可以引入記號
稱為 的內積. 于是有
同樣有 當且僅當 , 記作 .
我們同樣可以得到以線段 和 為邊的平行四邊形的面積為
化簡可得
于是 實際上是如下矢量
的長度. 當然, 這里的矢量有 種選擇, 哪一個更好呢? 這就需要注意這些矢量的幾何意義.
問題 4 若取
則 , 即 分別垂直于 . 稱 為 與 的外積, 記為 .
當然 也與 垂直, 我們選擇 很簡單: 大多數人是右撇子, 而 構成右手系. 具體而言, 當右手大拇指指向 方向, 食指指向 方向, 則中指指向的方向就是 . 如果從行列式角度看, 稱 為右手系當且僅當以這三個矢量為列向量的行列式是正的.
與通常的外積定義相比, 上述定義似乎更容易理解一些. 我們也可以用線性方程組求解的觀點來解釋 的選擇(這時候應該回顧一下代數余子式和伴隨矩陣).
問題 5 設 不共線(即線性無關), 則齊次線性方程組
的解空間是一維的, 其基礎解系為
上述行列式的寫法或許可以給我們一些啟發. 記 , 則
于是
上式的右邊從形式上看是一個行列式, 于是我們采用如下更容易記憶的公式.
前面我們計算了空間兩個矢量 的夾角和張成的平行四邊形面積, 在此基礎上可以考慮 張成的平行六面體的體積 .
設 , 我們已經得到 張成的平行四邊形面積為 , 需要求 到該平行四邊形的距離 . 這時候 的作用又顯示出來了.
問題 6 若 與 的夾角為 , 則
于是我們可以計算出平行六面體體積了:
這時候行列式的定義又發揮作用了.
問題 7 張成的平行六面體體積為行列式 的絕對值.
該行列式也被稱為平行六面體的有向體積, 記為 , 即
稱為 的混合積. 容易得到
混合積有一個自然的應用.
問題 8 設 , 則 線性相關當且僅當 .
平面與直線的方程在中學時期已經接觸過, 對學生來說難度應該不大. 在解析幾何課中, 這部分內容基本是一章, 內容略顯瑣碎. 或許重要的是, 利用高等代數系統的理論知識去理解直線和平面的各個方面包括其各種方程. 我們先考慮平面方程.
角度一: 子空間和陪集. 空間中任何平面 都平行于一個過原點的平面 , 而 是 的一個子空間, 就是 的一個陪集 , 其中 是 中的任一點. 作為子空間, 我們只需要知道 的一組基, 設為 , 它們是平行于 的兩個線性無關向量. 于是 中所有點為
從而 的參數方程為
其中 .
角度二: 線性相關性. 設 是平行于 的線性無關向量組, 給定 , 則 當且僅當 線性無關, 當且僅當 能被 線性表出. 這樣也可以得到上述參數方程.
角度三: 行列式或混合積. 線性相關當且僅當這三個向量的混合積為零, 即以三者為行向量的行列式為零. 從而得到 的方程為
將上式展開得到平面 的一般方程
角度四: 內積與外積. 一般方程中的系數 對應于一個非零向量 . 這實際上就是 的外積, 從而與 垂直, 也就是與 垂直. 故稱 為 的法向量. 于是, 當且僅當 與 垂直, 由此也能得到 的一般方程.
角度五: 線性方程(組)的解空間. 一般線性方程組 如果有解, 其解集 是 的解集 的陪集, 從幾何上看, 是與 平行的. 對于空間的平面, 情況比較簡單, 它是由一個線性方程 決定的, 只要 不全為零即可.
確定一個平面一般需要如下的條件: 三個不共線的點; 一條直線和直線外一點; 兩條相交直線或兩條平行直線. 這些條件本質上沒有什么區別, 可以相互轉化, 再利用上述的觀點就可以, 例如:
問題 9 設 不共面, 它們確定的平面方程為
或更整齊一點:
平面上的直線與空間的平面有相似之處, 可以用陪集、線性相關性、行列式、內積和線性方程等不同角度來看, 這個比較簡單, 略過. 值得一提的是空間的直線方程.
每條直線 都與一條過原點的直線平行, 后者的一組基為 , 則給定任意 可得 的參數方程為
用 與 線性相關也得到同樣的方程.
上述方程用分量形式來表達就得到了直線的標準方程
上式中有兩個等式, 每個等式都是一個線性方程, 從而是一個平面, 兩個等式聯立就是兩個平面的交集. 于是直線的一般方程為
這就是一個線性方程組, 只要 與 不平行, 解集就是一條直線. 進一步, 注意到 分別是兩個平面的法向, 它們的外積就是交線的方向.
關于直線和平面的其他問題如位置關系、距離等都可以用上面的一些想法解決, 當然有一些技巧性比較強的地方, 但這些不是核心問題. 從上面的思路可以看出, 在有一定的高等代數基礎的情況下, 可以從多個層面看待解析幾何的問題, 從而更容易理解一些深刻的問題.
中學講過圓、橢圓、拋物線和雙曲線的方程, 甚至有學生知道這些被稱為圓錐曲線, 但他們不太可能理解這里的深層次原因, 因為這需要二次曲線的分類. 二次曲線和二次曲面的分類是解析幾何的核心內容, 在教材中會花很大篇幅介紹. 如果與高等代數內容進行對比就會發現, 這些內容實際上是高等代數的二次型和正交變換的特殊情形. 立體幾何自然是很好的二三維的例子, 不過在沒有系統的理論知識做支撐, 單獨介紹二三維情形很可能事倍功半, 語焉不詳的理論介紹和比較復雜的矩陣計算難免讓學生們顧此失彼, 無法真正理解核心思想.
我們考慮于一般的二次超曲面
其中 時分別對應二次曲線和二次曲面.
利用二次型理論可以把上述方程寫成矩陣形式
其中 是對稱矩陣, .
坐標變換會改變二次超曲面的方程. 什么樣的變換可以把方程化得簡單一些? 當然研究幾何對象時所作的坐標變換不能改變幾何體的形狀, 至少是變換過程中要保持幾何體上任意兩點的距離不變, 這就自然引入了等距變換.
問題 10 (1) 平移和正交變換是等距變換;
(2) 等距變換的復合是等距變換.
于是對于任何等距變換 , 令 , 即該等距變換把坐標原點映到 . 考慮 , 其中 是平移變換. 于是 是保持原點不變的等距變換.
問題 11 設 為等距變換, 且 , 則 是正交變換. 從而任何等距變換都是平移和正交變換的復合.
我們現在可以利用矩陣技巧把二次超曲面的方程化簡.
首先, 由于 是實對稱矩陣, 故可以選擇正交矩陣 使得
其次, 不妨設 為 的所有非零特征值, 則可做平移變換使得一次項 的系數為零.
再次, 若一次項 的系數不全為零, 則可作正交變換使得 的系數非零, 其他 的系數都是零.
最后, 如果有一次項系數非零, 則適當平移消除常數項.
經過上述過程的處理之后, 二次超曲面的方程就化為簡單情形: 二次項只有平方項 而沒有交叉項 , 一次項和常數項最多只有一項非零. 由此可以得到二次曲線和二次曲面的分類, 其中有意思的二次曲線只有橢圓(含圓)、雙曲線和拋物線這三種, 有意思的二次曲面也只有九種, 包括二次錐面, 其特殊情形就是圓錐面.
利用分類結果就可以回答如下問題:
問題 12 平面與圓錐面(或一般的二次錐面)的交線都是二次曲線, 特別地, 橢圓、雙曲線和拋物線都可以用平面與圓錐面相交得到.
進一步討論各種二次曲面的性質只需要利用直線與二次曲面的位置關系即可, 詳見我的教材. 值得一提的是, 在歷史上, 正是由于對二次曲面分類的研究, 尤其是其中坐標軸的選擇, 特征值、特征向量的概念才被引出來. 也就是說, 對于二次超曲面, 合適的坐標軸恰好就是二次項系數矩陣的特征向量. 這里又有一個遺留問題:
問題 13 要把二次超曲面的方程化成標準形, 需選擇什么樣的點作為坐標原點?
本套是南開大學代數類課程整體規劃系列教材，把本科代數類課程打通，書籍編寫過程中注意“歷史途徑法”的應用，讓讀者對代數類課程知識背景熟悉，對所學課程有整體的把握. 作者團隊是天津市優秀教學團隊，曾獲南開大學教學成果
