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一．第1題收到了3人解答：
1．收到了陜西宜川呼小軍老師的兩種解答如下（呼小軍老師解答了全部6道題）：
解法一（換元法再構造方程）：
解法二（韋達定理）：
2．收到河北郭航老師獨立的類似解答：
3．收到山東煙臺姜忠乾老師（昵稱“海闊天空”）的latex代碼的解答：
以下是姜老師的latex代碼，如何將latex代碼嵌入到微信公眾號文章里？請朋友們在本文最后留言！
1．設$x^3+4x^2+5x-8=0$的三個解是$u、v、w$，那么以
${\kern 20pt}\dfrac{2}{2+u}、\dfrac{2}{2+v}、\dfrac{2}{2+w}$為解的三次方程是什么？
解：令$t=\dfrac{2}{2+u}$，那么$u=\dfrac{2(1-t)}{t}$，把$u$以$x$的身份，代入到
${\kern 20pt}x^3+4x^2+5x-8=0$里面，整理，得到關于$t$的方程：
${\kern 20pt}-\dfrac{2(5t^3-t^2+4t-4)}{t^3}=0，$那么就可以斷言，
${\kern 20pt}$以$\dfrac{2}{2+u}、\dfrac{2}{2+v}、\dfrac{2}{2+w}$為解的三次方程是
${\kern 20pt}5t^3-t^2+4t-4=0$．
二．第2題收到了6人的解答：
1．（1）第2題收到了陜西宜川呼小軍老師的解答如下（降次和韋達定理）：
（2）有個叫“游客”的網友給出如下解答：
評注：發現了系數4,3,2,1的規律，故理應有特殊方法，那就是合理組合、分組分解，并且多了兩個相等的增根m4=m5=1，從而應有因式(m-1)^2，這在后文洪孟白老師的短除法解答中可以看出來．
2．收到山東煙臺姜忠乾老師的latex代碼的解答（最后一步無過程）：
latex代碼如下：
2．設$4x^3+3x^2+2x+1$的三個解是$u、v、w$，求$\dfrac{1}{u^5}+\dfrac{1}{v^5}+\dfrac{1}{w^5}$的值．
解：令$a=u+v+w，b=uv+uw+vw，c=uvw$，
因為$4x^3+3x^2+2x+1=0$的三個解是$u、v、w$，
所以：$x^3+\dfrac{3x^2}{4}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}$
${\kern 20pt}=(x-u)(x-v)(x-w)$
${\kern 20pt}=x^3-x^2(u+v+w)+x(uv+uw+vw)-uvw$
${\kern 20pt}=x^3-ax^2+bx-c，$
所以$a=-\dfrac{3}{4}，b=\dfrac{1}{2}，c=\dfrac{1}{4}$，
所以，$\dfrac{1}{u^5}+\dfrac{1}{v^5}+\dfrac{1}{w^5}=\dfrac{5a^2bc^2-5ab^3c-5ac^3+b^5+5b^2c^2}{c^5}=-22$．
3．第2題得到了何萬程老師的解答：
評注：何老師對3個倒數根的方冪建立起遞推數列，這樣遞推下去對任何方冪都能算出來．小編認為：不用取倒數，也可以建立起n次方冪的數列，只不過這個數列可以往前取-1，-2，……，-5（沒有動筆）．
廣東工業大學的戰蔭偉指出下面的恒等式可供參考：
4．第2題供題人手寫稿解答（短除法）：
評注：先倒數換元，再將高次用帶余除法降到低次，最后余式本該是二次的，但卻為一次式，故韋達定理的計算就顯得更加簡單了．
另外本題的商式為(y-1)^2，這與上面網友“游客”的方法吻合．
本題有恒等式：(y^3+2y^2+3y+4)(y-1)^2=y^5-5y+4．所以可以將該三次方程添加兩個相等根1，改造為5次方程，再求5個根的5次方的倒數和！
5．第2題收到河北郭航老師的獨立解答（這與洪孟白老師的短除法解答本質一樣，都是將5次降次為低于3次，只是手法略有不同）：
三．第3題得到了4位老師的解答：
1．第3題收到了陜西宜川呼小軍老師的解答如下（韋達定理）：
2．洪孟白老師的范德蒙行列式解法：
評注：因為所求正好是三階范德蒙行列式，所以此法正好派上用場．由于多數高中沒學行列式和矩陣，所以這是大陸高中生們基本不可能想到的方法．由此聯想到某些網友不屑于本期幾道的幾道多項式題目，嚷著說不就是韋達定理和計算么？殊不知還有一些你不可能想到的解法呢！
另外在后文第5題的解答，你還可見到洪老師的三次導數解法呢！你都能想到嗎？
還有下面的缺二次項的三次方程結論你熟悉、了解嗎？知道一般情況下的結論嗎？
所以，小編在這里說一句：小編選題應當說還是很慎重的，不是隨便什么資料就復制粘貼的那種，那些常見的所謂的壓軸題也不是本公眾號的首選題目．另外小編編輯審稿也很花費時間的．
3．洪孟白老師的缺二次項的三次方程結論方法：
小編注：洪老師這個結論其實是有更一般結論的，我們知道，在不等式的pqr方法（等價于uvw方法）中，有個這樣的恒等式而得到的不等式：
4．洪孟白老師的求導數方法：
評注：洪老師用導數方法，成功的構造出待求目標表達式，并且后面降次再用三次方程的零點因式分解妙求值，成功的避用了韋達定理，減少了計算量，
5．有個昵稱為“游客”的高手給出如下解答（先作差構造兩根差的平方）：
6．收到山東煙臺姜忠乾老師的latex代碼的解答（最后一步的結論沒給出過程）：
latex代碼：
3．設$u、v、w$是$x^3-x-1=0$的三個解，求$(u-v)(v-w)(w-u)$的值．
${\kern 20pt}$解：令$a=u+v+w，b=uv+uw+vw，c=uvw$，
${\kern 20pt}$因為$x^3-x-1=0$的三個解是$u、v、w$，
${\kern 20pt}$所以：$x^3-x-1=(x-u)(x-v)(x-w)=x^3-ax^2+bx-c，$
${\kern 20pt}$所以$a=0，b=-1，c=1$，
${\kern 30pt}(u-v)(v-w)(w-u)$
${\kern 20pt}=\pm\sqrt{-4a^3c+a^2b^2+18abc-4b^3-27c^2}$
${\kern 20pt}=\pm i\sqrt{23}$．
四．第4題有7人解答：
1．（1）第4題收到了陜西宜川呼小軍老師的解答如下（換元法，二項式系數性質）：
（2）昵稱為“游客”的簡要解答如下：
2．第4題收到了廣東工業大學的戰蔭偉的解答（易看出是n+1次單位虛根，再用韋達定理）：
3．第4題收到山東煙臺姜忠乾老師的latex代碼的解答：
latex代碼：-
4．設$a_1、a_2、\cdots、a_n$是$n$次方程$x^n+x^{n-1}+\cdots+x^2+x+1=0$的$n$個解，
${\kern 20pt}$試求$\dfrac{1}{a_1-1}+\dfrac{1}{a_2-1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n-1}$的值．
解：因為$a_1、a_2、\cdots、a_n$是$n$次方程$x^n+x^{n-1}+\cdots+x^2+x+1=0$的$n$個解，
${\kern 20pt}$那么，$a_1-1、a_2-1、\cdots、a_n-1$就是方程
${\kern 20pt}$$(x+1)^n+(x+1)^{n-1}+\cdots+(x+1)^2+(x+1)+1=0$的$n$個解，
${\kern 20pt}$那么這個方程的一次項的系數除以常數項的相反數，就是所求的值．
而$(x+1)^n+(x+1)^{n-1}+\cdots+(x+1)^2+(x+1)+1=\dfrac{(x+1)^{n+1}-1}{x}$，
${\kern 20pt}$易知，常數項為$n+1$，一次項系數為$\dfrac{n(n+1)}{2}$
${\kern 20pt}$所以：$\dfrac{1}{a_1-1}+\dfrac{1}{a_2-1}+\cdots+\dfrac{1}{a_n-1}=-\dfrac{n}{2}$．
4．第4題收到了河北郭航老師的解答（解出虛數根的三角形式，再用三角函數知識）：
5.何萬程老師提示本題可以解出復數根（由網友戰蔭偉的解答也可以看出），然后利再用余切和的結論，但沒有詳細過程（過程見上面郭航老師的）：
6．洪孟白老師的手寫稿：
評注：洪老師的多項式的零點分解式用的相當巧妙！然后取對數求導后再用賦值法！小伙伴們，在二項式定理那里就很多類似的處理辦法，你有體會嗎？
6．
五．第5題得到了5個人的解答：
1．（1）網友zhcosin給出第5題了一個思路如下（但未得出答案）：
（2）網絡解題專家kuing先生給出上述思路的答案：
2．第5題收到了陜西宜川呼小軍老師也獨立的給出如下解答（韋達定理）：
3．第5題收到山東煙臺姜忠乾老師的latex代碼的解答（f和a，b，c的關系怎么得到的？）：
latex代碼：
5．設$u、v、w$是方程$x^3+2 x^2+3 x+4=0$的三個解，試求$\dfrac{u}{v}+\dfrac{w}{u}+\dfrac{v}{w}$的值．
解：設$f=\dfrac{u}{v}+\dfrac{w}{u}+\dfrac{v}{w}$，$a=u+v+w$，$b=uv+uw+vw$，$c=uvw$，
${\kern 20pt}$那么$f$和$a、b、c$的關系如下：$$-b^3-c^2f^2-3c^2f-9c^2=a^3c-abc(f+6)，$$${\kern 20pt}$把$a=-2，b=3，c=-4$代入到上式，得到：$8(2f+3)f+59=0$，
${\kern 20pt}$解這個二次方程，得到兩個值：
${\kern 40pt}f=\dfrac{1}{4}(-3\pm5\sqrt{-2})$．
4．洪孟白老師的獨到解法：
評注：洪孟白老師的求導方法用得甚為巧妙．在第3題，洪老師也給出了范德蒙行列式的解法，與此題解法遙相呼應．
六．第6題得到了7人解答：
1．（1）第6題收到了陜西宜川呼小軍老師的解答如下（樸實的待定系數法）：
（2）河北郭航老師亦有下相似解法：
評注：這種樸實的解法在后文被網友“kuing”抽象概括了一下．
（3）山東煙臺姜忠乾老師亦有相同解法，不再貼出．
2．第6題洪孟白老師的簡要解答（四個因式展開用平方差公式吧？）：
評注：網友“kuing”的點評：“必須是下列形式”難道不是整個解答最關鍵之處么？
另外，“kuing”給出了為什么“必須是下列形式”的證明（感覺和基底的性質差不多，無理數可以作為基底，理論似乎來自于《近世代數》（抽象代數）的域論）：
3．何萬程老師給出了如下解答（移項平方消掉二次根號，在不少高校自主招生試題里面的解答大抵也是如此）：
評注：對于此法kuing點評說：“這樣做還得證明方程的唯一性”
對此何老師回答說：“代數里有結論：最小多項式是唯一的。這個根的次數就是4次的，因此肯定是唯一的”．
網友“abababa ”繼續提問：
何老師回答（三次方根和5次方根的，僅供參考，對此網友zhcosin也作了一些解釋，這里不再貼出）：
何老師還出了一道題（沒給答案）：
網友“abababa”回復：
七．針對上面六道題目，網友“力工”提出一個問題（5次方根）：
網友“zhcosin”的解答：
衷心感謝以上數學愛好者們提供的精彩解答和討論！
八．小編結語：
名牌高校自主招生會把高考不做要求的高次多項式與根的試題拿來考查學生，下面小編整理出10道北大（北約）、清華（華約）、上交、復旦、中科大等名校的關于多項式與根的試題，以饗讀者：
1．下面是2013年北大“百年數學”科學體驗營試題第5題：
2．下面是2013年“北約”自主招生數學試題第1題：
3．2013年清華大學夏令營數學試題第1題：
評注：若用多項式的零點分解式則降低計算量．
4．2013年清華大學夏令營數學試題第1題：
類似題：
浙江新昌吳裕東老師四面體的解答：
可以求出這個六次方程分解因式后求出它的六個根：
5．2016年北京大學博雅計劃數學試題第5題：
6．2005年上海交通大學：
