小學數學思想方法解讀與備課專輯
理解數學 改變課堂
——寫在前面的話
為了幫助廣大小學數學教師提升專業素養，進一步提高實施新課程的水平，從而更有效地進行小學數學教學，全面提高教學質量，本期特別推出《新課程小學數學思想方法解讀與備課專輯》。此《專輯》以小學數學四大領域（數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合應用）內容為邏輯框架，兼顧了多種版本的教材，從各學段教學的重點難點內容出發，通過豐富、精彩的案例對教師的的備課、教學給予具體的指導和建議，特別是對教師在教學中普遍存在的問題與困惑進行了澄清和提示。此《專輯》著眼于新課程小學數學教學的本質內涵，闡釋了小學階段的核心教學理念、數學思想和數學方法，并以開闊的視野，對小學數學內容進行了整體解讀，是教師朋友提高教學能力的良師益友。
此《專輯》的撰寫者均為對數學教學有著深刻理解、教學積累深厚、具有新課程教學實力的著名特級教師、優秀教師，他們研究的是日常課程教學中的實踐問題，但又不囿于對日常教學的一般認識，在文章中，通過闡述和課例分析，提示了數學教學的本質和規律，他們以個人的研究專長，展現了自己在相應領域中的教學精華，使《專輯》閃爍著思想與實踐的光輝。
此《專輯》的編輯工作長達半年之久，期間我們曾請一些教學專家和一線教師試讀，聽取他們的讀后感，因此《專輯》是在反復研究和修改后面世的。
此《專輯》文章觀點精粹如下：
數與代數
理解意義 培養數感
——“數的認識”備課解讀與難點透視
認數教學以理解數的意義為重點。讓學生理解數的意義，建立正確的數的概念一般有兩個角度：一是從數的組成去建構；二是聯系實際來體會。
數感需要培養。數感與具有數學知識的多少、理解數學知識的程度有關，但更多地表現為應用數與運算的態度和意識。
如果把抽象的數學知識與具體的圖形結合起來，挖掘和利用概念中的直觀成分，能有效地降低教學難度。
把握基本矛盾 走向有效教學
——“數的運算”備課解讀與難點透視
在口算教學中，除了讓學生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓練的科學合理性。
基本算法并不是唯一算法，基本算法應該是指同一思維層次上的方法群。多數學學生喜歡的方法，教師易教、學生易學的方法，對后續知識的掌握有價值的方法，是最理想的基本算法。
在算理直觀與算法抽象之間應該架設一座橋梁，讓學生在充分體驗中逐步完成由動作思維向形象思維，再向抽象思維的發展過程。
把握“轉折”：從“算術”走向“代數”
——“式與方程”和“正比例、反比例”備課解讀與難點透視
在教學認識方程時，教師要有“建模”意識。解方程不能演繹為操作、訓練解方程技巧的過程，而應當成為數學模型轉換、深刻理解“相等關系”的過程。
比的教學重在理解比的意義，而不只是解決實際問題。
一個凸顯數學本質的教學領域
——“探索規律”備課解讀與難點透視
探索規律作為小學數學知識結構新的部分，也需要系統的眼光，構建一個適合學生學習的序列。
從在一個單位時間設計一個教學活動的教學角度看，教材的編寫和課堂教學的設計都是選擇的藝術。教學目標的多元化也促使教學時要更注重效率。
空間與圖形
認識圖形世界 發展空間觀念 提升數學思考
——“圖形的認識、測量”備課解讀與難點透視
該告訴的不妨告訴；只是以怎樣的方式“告訴”，卻是一門藝術。
唯有將觀察活動與想象、推理、表達、思考有機結合為一體，觀察能力才能真正得以培養。
要善于引導學生在適當的時候跳出具體的、直觀的解題方法，以相對抽象、更為一般的層面上認識算法、理解問題結構。
“圖形與位置”的備課與教學
準確把握教學目標，不要偏離“初步認識”的整體定位。
要依據兒童認知空間方位的特點確立教學的難點和組織教學。
要善于借助適當的情境與活動，以提示數學知識的實際背景與現實原型。
“圖形與變換”的備課與教學
什么是變換？什么是平移、旋轉和軸對稱？教師先要理解這些基本的概念。
要注意選擇典型的、更能體現數學意義的教學活動，否則就容易遮蔽數學概念的本質。
要注意引導學生對觀察對象加以適當的簡化、抽象、忽略一些無關緊要的細節。
統計與概率
“所有的判斷都是統計學”
——“統計與概率”教學備課難點解析
以不確定性為研究對象的統計與概率有其固有的思想方法，它有別與講究因果關系的邏輯思維。
學生憑借經驗就能判斷“可能”和“一定”，還需要做實驗嗎？鼓勵學生用真實的數據、活動以及直觀的模擬實驗去檢查、修正他們對概率的認識。實驗不僅要做，而且是要多次做。
“動手實踐，主動探索”絕不能簡單地等同于“動手活動”，二者的主要區別在于前者有著明確的目的性和高度的思維含量。
實踐與綜合應用
是一個領域，更是一種數學教育價值觀
——“實踐與綜合應用”備課解讀與難點透視
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理解意義 培養數感
——“數的認識”備課解讀與難點透視
深圳 黃愛華 羅忱紅
一，內容變化。
數的認識在小學主要分為認識整數、認識分數（正分數）和認識小數三大塊。我們知道，《數學課程標準（實驗稿）》對數系作了以下規定：
正整數
整數 0
負整數
有理數 正分數
分數
負分數
（正整數和0統稱為自然數）
與以往相比，這個規定蘊含的主要變化有：（1）明確規定了0是自然數。過去教材把“用來表示物體個數的1，2，3，4，…的數，叫做自然數”。“0和自然數都是整數。”而現在則是：正整數和0統稱自然數。（2）增加了認識負整數的教學內容，從而在小學階段完成了對整數的認識。
二，整數的認識。
首先認識自然數，是因為生活中存在著各種各樣不同的數量，學生在入學前，就有了一定的生活經驗。通過數數，在認識最基本的數學符號1，2，3，…的同時知道自然數的作用是用來表示物體的個數。初步體會數學的作用和特征，即數學可以解決生活中有關數及其關系的問題以及數學的抽象性和符號性。
教材處理自然數的認識大致可以分為四大塊：認識100以內的數、認識比100大的數、因數與倍數、認識負數。在安排認識100以內數的時候，大多教材都會細分為三個階段：第一階段：認識10以內的數（含10以內數的加減）。第二階段：認識11——20之間的各數（含20以內數的加減）。第三階段：認識100以內的數（含相應的加減和表內乘除）。
認識比100大的數，不同版本有不同的處理。人教版和北師大版教材分兩段完成：（1）認識萬以內的數；（2）認識萬級、億級的數。蘇教版教材分三段完成：（1）認識千以內的數；（2）認識萬以內的數；（3）認識萬級、億級的數。
“因數與倍數”的教學既幫助學生進一步理解和認識整數，又為分數的學習提供準備，一般另設單元，放在教材適當的位置。
“認識負數”一般另設一個單元，放在教材的某一冊中。
1，認數教學以理解數的意義為重點。
讓學生理解數的意義、建立正確的數的概念是認數教學的任務。理解數的意義一般有兩個角度：一是從數的組成去建構，二是聯系實際來體會。傳統教學偏重前者，新課程則認為把這兩個角度有機地結合起來效果更好。而且聯系實際體會數的意義，更有利于學生在現實生活中應用自己認識的數。
理解數的意義包括：
數的含義。如：認識整數、小數、分數、百分數和負數，探索各種數之間的聯系，會進行整數、小數、分數、百分數之間的相互轉化；能感受大數的意義并進行估計；知道整數、奇數、偶數、質數、合數。
計數技能。如：能認、讀、寫數；會用數表示物體的個數或事物的順序和位置；認識數位，了解十進制計數法，識別數位上數字的意義。
數的相對大小關系。如：認識“＜，=，＞”的含義，能夠用符號和詞語描述萬以內數的大小；會比較小數、分數、百分數大小。
數學交流。如：能運用數表示日常生活中的一些事物，并進行交流；在熟悉的生活場景中，了解負數的意義，會用負數表示生活中一些常見的問題。
數學活動。如：能找出10以內某個自然數的小于100的所有倍數，知道2，3，5的倍數特征；能找出10以內兩個自然數的公倍數、最小公倍數；能找出1——100中某個自然數的所有因數；能找出兩個數的公因數、最大公因數。
（1）讓學生在生動具體的情境中認識數。
小學生，尤其是低年級學生學習數學的熱情和積極性，在一定程度上取決于他們對學習素材的感受與興趣。現實的、有趣的、具有挑戰性的問題情境，容易激活學生已有的生活經驗和數學知識，激起學習的愿望，調動學生解決問題的策略與機智。因此這部分內容的教學應該注意從學生熟悉的生活情境或童話世界出發，選擇學生身邊的、生動有趣的、有利于學生主動探索的事物，創設鮮明的問題情境。
案例1：“0的認識”（江蘇 談曉曄 郭慶松）
①（出示0的卡通形象）“0”自我介紹說：“小朋友，我的名字叫零，我神通廣大，無處不在。想想你在哪兒見過我呢？”（讓學生盡情地說。）
②“0”接著說：“那么你們知道我可以表示哪些意思呢？”（讓學生說說自己對0的認識。）
③今天這節課我們來認識0。
提示課題：0的認識。
●創設情境，探究新知。
①教師講述：“在一個天氣晴朗的星期天，四只小兔約好了到野外去采蘑菇，我們來看看，它們分別采了多少個蘑菇。”（出示下圖）
讓學生思考每只小兔采的蘑菇可以用哪一個數來表示。
學生介紹時，教師對應寫出3，2，1，0。教師在寫0時，注意動作慢一點，讓學生看清楚0是怎么寫的。同時強調說明，“一個也沒有”用0表示，0與1，2，3一樣也是一個數。
②先出示下圖，讓學生想一想，兩幅圖表示怎樣的一件事情，再跟同桌說一說。
提問：“原來的蘿卜數用什么數表示？現在呢？”教師強調一個蘿卜也沒有用0表示。
“你會寫0嗎？”讓學生先想一想怎樣寫0，再讓學生嘗試在“日”字格里書寫0。
教師引導全班對幾個同學的書寫作出評價，同時教師強調寫0時的起筆、拐彎和收筆，強調拐彎要圓滑。
學生獨立完成書本上的描紅后繼續在田字格里寫出兩個0，教師巡視，注意對個別困難學生進行指導。
學生在小組內互相對所寫的0進行評價。
③教師：“通過剛才的學習，我們知道0這個數可以表示什么？是不是所有的0都表示一個都沒有呢？請同學們拿出自己的直尺，看一看直尺開始的地方是幾？”
講述：“在這里0表示起點，用尺子量長度時，從0 開始量起。”
談話：“直尺上的數是怎樣排列的？請你從左到右依次讀一讀。”
④小結：“通過剛才的學習，你能說說0能表示什么意思嗎？”
這節課的特色有以下幾點：一是創設了生動有趣的情境，以情境支撐數的理解。二是數形結合，利用實物、圖片幫助學生理解數的意義。在教學中，通過數與物一一對應的方法，讓學生經歷從具體物體的多少到抽象出數的過程，幫助學生理解數。三是濃縮數的發生發展過程，突出“0”的教學。我們知道，在早期的美索不達米亞數學時代就有使用60進制計數法的記錄，然而到了希臘數學的黃金時代卻一度失去了它的魅力，直到公元8世紀鳊數學家認識到“0”的作用后，才真正獲得位值概念的基礎。從數字1——9到數字“0”的產生，這期間經歷了若干世紀的發展歷程，學生卻要在短短的一課時內解決，因此頗費心思。在本節課中，教師通過讓學生觀察物體數量從有到無的過程，分析數的變化，進而選擇合適的數值表示……這一系列過程幫助學生去認識“0”；然后從理解“0”的意義到寫“0”，再到“0”還可以表示其他的意義這些教學環節，為學生提供了在自主探索、比較、分析、判斷、概括的思維活動中體驗、理解、掌握知識。即使是寫數字，也要讓學生動腦筋想一想如何寫，然后再書寫，讓學生養成有步驟地思考問題、解決問題的習慣，在獨立思考、合作交流中完成學習任務。
結合情境認識10以內的數，是認數的開始，這階段的教學對建立數的概念十分重要。有的老師認為，許多學生入學前都已經會數數了，現在只要寫好數就行了。其實不然，教學10以內數的認識應注意：①物體個數與數一一對應，不能允許口中按順序數數，卻不能與物體個數對應。②物體個數與數字一一對應，每個不同的數量與不同的數學符號（數字）對應。③注意選擇不同的情境和不同的學具，幫助學生理解數的意義。如3可以表示所有數量是3個的物體，而與物體的大小、形狀、質量等狀態無關。④知道數的作用不但可以用來表示數量的多少（基數），還可以表示順序（序數）和編碼，如3可以表示有3個物體，也可以表示第3個物體。
（2）理解數的意義要與數的讀寫和計算緊密結合起來。
首先，正確理解數的意義是讀好數、寫好數的基礎，可使學生在讀數、寫數時事半功倍。例如：在認識整百數時，可讓學生經歷以下過程：
①親身經歷數數的過程，真正感受100有多少。可以讓學生數小棒、小方塊或其他各種不同物體，一個一個地數，十個十個地數。親身經歷數數的過程，比起看課件演示或聽老師口頭描述，更有利于學生形成數感。
②經歷100個一到1個一百的過程，建立計數單位的概念。親自動手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，經歷100個一到1個一百的過程，建立以“百”做計數單位的概念。
③經歷1個一百到幾個一百的過程。把各自的一百放到一起，就是幾個一百，通過合作得到幾百。由于有前面數數的經歷，容易使學生明白：幾個一百是幾百，幾百就是幾百個1。
④借助計數器上的算珠與實物的對比，體會一個算珠放在不同的位置上，可以表示1個（1根小棒）、10個（10根小棒或1小捆小棒）、100個（100根小棒或10小捆小棒、1大捆小棒），實現以一當十、當一百的飛躍。
⑤實物、算珠與寫數、讀數對比。如真正含有300根小棒的3大捆小棒，與計數器百位上的3個算珠，和寫法300對照起來，最終完成對幾百的認識。
在活動中，學生體會到同一個數字在不同數位上表示的數值是不同的，初步滲透位值思想，幫助學生進一步理解數，從而達到更好地掌握數的讀寫的目的。
反之，熟練地讀數、寫數，也能更好地幫助學生理解數的意義。例如：在認識整萬數時，教材介紹了我國的計數習慣，根據已有知識，給出各個數位的名稱和順序，讓學生聯系數的意義，通過類比，推出數位的名稱及順序，認識新的計數單位，完善對數位順序表的認識。
教材編排一般是先認識一個范圍的數，接著就是學習這個范圍內的數的有關運算。所以認識數的教學必須為數的運算的教學作鋪墊。讀寫教學中要注意：①在低年級，對數的分解和組成，要作為基本的技能來訓練；在高年級，要在讀寫中體會數的分解與組成。②讀寫數教學的重點是萬以內數的讀法和寫法。③讀寫數教學的難點是多位數的讀法和寫法，特別是中間有0的數的讀、寫。突破的方法是先分級，再從高往低逐級讀，實在了讀法，寫法也就不難了。
現行的課程標準實驗教科書大多沒有用文字形式總結多位數的讀法和寫法，這并不是不重視讀數與寫數的基本方法，而是為教學留出空間，由教師組成學生體驗方法、交流方法。學生總結的方法是自己真實的體會和經驗，是主動獲得知識的表現。
2，了解十進制計數法對理解數的意義有重要作用。
整數的計數方法是十進制計數法，學生了解十進制計數法對理解整數的意義有重要的作用。十進制計數法的主要內容有兩部分：一是計數單位間的關系——每相鄰兩個計數單位間的進率是10；二是計數法的位值原則——哪一個數位上的數是幾，就表示有幾個這樣的單位。
（1）認識10是關鍵。
學生從認識1，2，3…起，老師就應幫助學生體會，數字是用來表示生活中各種不同的數量的，每一個不同的數量，都用一個不同的符號（數字）來表示。當數量從9增加1到了10，按理應該用一個新的符號來表示，但這樣一來，如果每一個不同的數量，都用一個不同的符號（數字）來表示，就需要有無限多的符號。前人在9的后面用“10”來表示，沒有創造使用新符號，而是例行了一個數位，十位上的“1”就代表10，這樣就方便多了，一個10和幾個1是十幾，就有了11，12，13…，這就是位值制的基礎。這樣，0到9十個數字就可以表示出生活中無限多的物體的個數。這個創造太科學了，可以讓學生從中體會到數學的抽象性與符號性的好處。所以，教學中建立好10的概念非常重要。
（2）按單位數數。
為幫助學生了解十進制計數法，可以通過一個單位、一個單位地數，逐步建立新的計數單位。學生在學習萬以內數的時候，就要明確地知道，10個一是一十、10個十是一百、10個百是一千、10個千是一萬，即10個單位就是一個相鄰的較大單位。學習比萬大的數，可以一邊數一邊接受10個萬是十萬、10個十萬是一百萬、10個百萬是一千萬，從而引出了新的計數單位十萬、百萬和千萬。一千萬一千萬、一億一億、十億十億…地數，教學計數單位億、十億、百億和千億。在一個單位、一個單位地數的活動中，學生充分體會每數滿10個單位就產生一個新的計數單位，感受了兩個相鄰計數單位間的進率都是10。
（3）不斷擴展數位順序表。
隨著認識的數越來越大，教師應不斷擴充完善數位順序表。從認識10～20的數起，就讓學生了解個位和十位。認識百以內數時，及時補充認識百位。在“認識萬以內數”的時候，第一次出現了數位順序表。在認識整數的最后一個單元里，學生將認識萬級和億級的數以及比億更大的數。數位順序表可以分兩次擴展，先擴展到萬級，把十萬、百萬、千萬這三個計數單位引上計數器，了解個、十、百……千萬在計數時的排列順序。然后讓學生在數位順序表里填寫十萬位、百萬位和千萬位，通過填寫知道從個位到千萬位的數位順序，初步把這些數位分成個級和萬級。再擴展到億級，表里的內容也豐富了，有數級、數位、計數單位。教材把億級及相關的數位、計數單位都留給學生填寫，讓他們知道數級、數位和計數單位間的對應關系。在整理了數位順序表后，還應通過“每相鄰兩個計數單位之間有什么關系”這個問題，概括地講述十進制計數法。
體會位值原則，有助于學生了解十進制計數法，理解數的意義并掌握讀數、寫數的方法。
下面的案例2中，教師通過組織學生玩抽簽游戲，使學生結合現實的素材，自己理解和解釋不同位值上的數所表示的意義，既有趣，又充滿了數學的味道。
案例2：“萬以內數的大小比較”教學片斷
●第一次抽簽，從個位抽起。
游戲規則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②第一次抽到的數字放在個位上，第二次抽到的放在十位上，第三次……③哪一隊抽到的數字組成的四位數大，哪一隊就贏；④能確定勝負時，本輪比賽結束。
師：我們把全班同學分為兩個隊，一個叫黃河隊，另一個叫長江隊。請兩位同學代表來抽簽。
（黃河隊抽到3，長江隊抽到8。把3與8的卡片分別貼到個位上。）
師：現在能定勝負嗎？可以玩下一輪了嗎？
生1：雖然8比3大，但還不能確定勝負。
師：為什么？
生2：因為8是代表8個1，3是代表3個1，如果其他數位上的數字兩隊都一樣，就可能贏。
師：那我們接著抽吧！
（黃河隊抽到9，長江隊抽到5。把9與5的卡片分別貼到十位上。）
師：目前哪個隊抽到的數比較大呢？
生1：黃河隊。
師：現在能定勝負嗎？
生1：還要看百位。
師：是不是抽了百位就可以定勝負了呢？
生3：還不行。
生4：要所有的位都抽出來，才知道誰能贏！
學生抽出結果后，教師板書：4593＜7358。
師：長江隊贏了！請大家像老師這樣做好記錄。
師：通過剛才的游戲，你有什么話想說？
師：最關鍵的一抽是哪一抽？為什么？是不是還可以這樣想：一個是4000多，5000不到，另一個已是7000多了，當然7000多的大。（一起把4和7圈上）
師：假如黃河隊的千位上抽的也是7呢？7593和7358怎樣比較？
生：如果千位的數一樣，就看百位，百位上的數大這個數就大。
師：這時該圈哪兩個數字？（5和3）
師：如果黃河隊的千位上抽的是0呢？該怎么比較？
●第二次抽簽，從千位抽起。
游戲規則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②第一次抽到的數字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……③哪一隊抽到的數字組成的四位數大，哪一隊就贏；④能確定勝負時，本輪比賽結束。
（黃河隊抽到8，長江隊抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上。）
師：讓我們接著抽。
生：不用抽了。黃河隊贏了，因為8個千比5個千大。
師：假如長江隊百位上抽到9，黃河隊百位上抽到6，能贏回來嗎？
生1：不能。因為百位就是抽到9，也只代表900，都不夠1000，而剛才黃河隊比長江隊多3000。
師：百位、十位和個位都抽到9呢？
生2：老師，不用再抽了，勝負已經知道了。玩下一輪吧！
師：記錄還是要做的，怎么寫？
生：8□□□＞5□□□。
●第三次抽簽，由抽簽者自己決定放在哪一位上。
游戲規則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②每一次抽到的數字由抽簽者自己決定放在哪一位上；③哪一隊抽到的數字組成的四位數大，哪一隊就贏；④能確定勝負時，本輪比賽結束。
（黃河隊抽到3，學生把3放到個位上，長江隊抽到7，學生把7放到百位上。）
師：請你們說說，為什么這樣放？
生1：我抽到的3太小了，放在個位比較好，讓出高位給大數字。
生2：我抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下，我們組還有人手氣比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以把7放在百位。
師：要是等一下抽到的數都比8小，怎么辦？
生2：那也沒辦法，博一博唄！
生3：也不一定輸，還得看第三組抽到什么數。
……
生：黃河隊贏了，因為9853＞6728。
師：請同學們小組交流剛才大家提出的問題：①比較的方法；②數位相同時怎樣比較；③萬以內數的比較和千以內數的比較有什么不同；④比較的時候有沒有簡便的方法。
師：該老師玩一玩了。我抽出四個數字，幫我記一下：3，9，2，6。用這四個數字組成一個最大的四位數是多少？最小的呢？你能組成第二大的或第二小的嗎？
在一些課堂上，老師通常把知識怎樣發生的、問題怎樣解決以及解決的策略和結果都通過講解呈現給學生。具體到比較數的大小，一般是先教比較數的大小的方法，再運用這個法則判斷兩個數的大小。而這節課另辟蹊徑。教師創設情境，利用比賽的形式，激起學生的求知欲望，脫離枯燥的比較數的大小的方法，以對數的意義和位值原理的理解支撐數的相對大小關系的比較。教師利用任務驅動的方式，設置富有挑戰性的教學內容（哪一隊抽到的數字組成的四位數大，哪一隊就贏），讓學生在解決問題中感受數的意義，發展數感；教師設計的游戲規則饒有深意——①第一次從低位抽起；②第二次從高位抽起；③第三次每抽到一個數字由抽簽者自己決定放在哪一位上。游戲中教師讓學生充分交流，讓學生在游戲中自我完善對數的相對大小的認識，在不斷的比較中優化、加深了對數位、計數單位、十進制的認識，強化對數的理解。整節課中，沒有教學比較大小的方法，但每抽出一個數位上的數，會引起孩子們的關注和思考，老師抓住這種時機及時讓他們討論（現在能定勝負嗎？可以玩下一輪了嗎？最關鍵的一抽是哪一抽？為什么？），這樣，數的大小比較法則背后的道理就由學生分析出來了。游戲后，老師及時讓學生總結比較兩個四位數的大小的方法，由于有了前面的活動和討論，學生就有了要說的話：“比較兩個位數相同的數的大小，先比較它們的最高位……”這樣抽象的法則，變成了學生生動的語言。
3，讓學生在數學活動中形成數感。
“數感”主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達的交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法，并對結果的合理性作出解釋。
“數感”并不神秘。它是人對數與運算的一般理解，這種理解使人將數與現實情境聯系起來，使人眼中看到的世界有了量化的意味。
“數感”十分重要。它關系到人的數學意識，即能用數學的視角去觀察現實，能以數學的思維研究現實，能用數學的方法解決實際實際問題。一句話，它關系到人擁有的數學知識是“活”的還是“死”的。
“數感”需要培養。數感與具有數學知識的多少、與理解數學知識的程度有關，但絕不是正比例關系。數感更多地表現為應用數與運算的態度與意識，突出表現為主動、自覺地應用。小學生的數感與有沒有得到培養成正相關。這種培養需要老師的精心設計。
4，讓學生體會數學符號產生的需要和作用。
除了“空間觀念”曾被列入原《大綱》外，數感、符號感、統計觀念等都是由《標準》首次明確地列為數學課程的學習內容。《標準》把數學思考落實到建立初步的兩“感”、兩“觀念”上，落實到學生認識并掌握重要的數學知識的過程中。
符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表現；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題。
符號感是人對符號的意義、符號的作用的理解以及主動地使用符號的意識和習慣。這里包含三層意思：一是理解各種數學符號的意義，即表示什么意思，在什么時候使用以及怎樣使用，這是發展符號感的基礎。二是理解數學符號的作用與價值：為什么使用符號、有哪些好處，這是發展符號感的重點。三是在學習數學和應用數學時，在獨立思考和與人交流時，都能經常地、主動地甚至創造性地使用符號，這是具有符號感的表現。
發展學生的符號感可以從以下幾方面進行：
（1）結合數學內容，體會數學符號的作用。
常見的數學語言有文字語言和符號語言，符號語言是在文字語言的基礎上產生的，它把文字語言的主要內容以直觀、形象的方式簡練地表示出來，方便人們進行表達、交流、思考以及解決問題。
教學常用的數學符號，首先要注意結合具體的情境，讓學生了解數學符號產生的需要，體會由于使用符號，才能清楚、簡便地表達這些具體情境中的數量關系和變化規律。數學符號為我們進行表達和交流帶來了便捷。其次要在具體的情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示，使學生認識符號、會用符號，體會到符號是語言的一種形式，數學符號是數學語言的一部分。
（2）參與創造符號，體會符號發展過程。
數學符號在數學教科書里有很多。如表達大小關系的符號“＜”，“＞”和“=”；表達運算的符號“＋”，“－”，“×”，“÷”；表達運算順序的小括號、中括號；0，1，2，3，…，9是數字符號，它們能組成無數個數；小數點、分數線、百分號、千分號等是特定的數學符號；字母也可以作為符號，用來表達數量關系、計算公式……這些符號是人們公認的，習慣使用的，屬于數學事實。
當學生在具體的情境中體會到需要符號的時候，先讓學生經歷自己創造數學符號的過程，體會到數學符號原來并不神秘，是人創造的，在長期的生產生活中不同的符號在使用時逐步發展統一成現在的符號。這也能幫助學生形成符號感。
數學符號的教學，教師一般比較多地采取簡單告訴的方法，容易使學生對數學符號產生神秘感。下面的案例中，老師就很好地幫助學生消除了這種神秘感。
案例3：“循環小數”教學片斷
師：（指板演題）“3.333…”中不斷重復出現的數字是哪一個？（3）在“5.32727……”中依次不斷地重復出現的數字是哪幾個？（2，7）在“6.416416……”中不斷地重復出現的數字是哪幾個？（4，1，6）
師：我們能不能想一個辦法，讓循環小數的寫法簡單一些，比如，去掉省略號，依次不斷重復出現的數字只寫一次，也依然能讓人看出這個循環小數的意思？
……
生1：我想了一個辦法，3.333…寫作3.(3)；5.32727…寫作5.3(27)；6.416416…寫作6.(416)。
生2：我的辦法是，3.333…寫作3.3；5.32727…寫作5.327；6.416416…寫作6.416。
生3：我的辦法是，3.333…寫作3.（無限）；5.32727…寫作5.3（無限）；6.416416…寫作6.（無限）。
生4：我的辦法是，3.333…寫作3.3（3無限）；5.32727…寫作5.327（27無限）；6.416416…寫作6.416（416無限）。
生5：我的辦法是，3.333…寫作；5.32727…寫作；6.416416…寫作。
師：你認為哪種符號比較好？
生1：不要有漢字比較好。
生2：第五種辦法比較好，簡潔明了。
生3：我認為，只要在循環節的第一個數字和最后一個數字上點上點就可以了。
教師不急于把簡便寫法告訴學生，而是讓學生自己想辦法去創造符號，使學生在想辦法的過程中體會到數學符號產生的需要，體會到數學知識中符號是一種約定俗成，符號不再那么神秘，而當有些學生的思路接近數學上的約定俗成時，他們體會到的是一種學習成功的滿足。在此基礎上，組織學生對所創造的符號進行認論，進一步體會數學符號簡捷明了的特點。
（3）鼓勵學生創造性地使用自己的獨特符號。
數學符號中還有一類不容忽視。這類符號只屬于個人，是個人創造并習慣使用的。這類符號更有利于人開展數學思考，發現規律和找到解決問題的方法，更便于表達和交流。在過去的數學教學中，往往忽視了這一類數學符號。在使用自己的符號時，最能體會符號的價值，最能感受符號對自己思維的幫助，也最能積累使用符號的經驗。這些正是符號感最重要的部分。所以應盡量鼓勵學生創造性地使用自己的獨特符號。
5，幫助學生認識負數，實現認識數的質的飛躍。
現實世界中存在著許多具有相反方向的量，或某種量的增大和減小，也可用這種量的某一狀態為標準，把它們看作是向兩個方向變化的量。要確切地表示這種具有相反方向的量，僅僅運用原有數（自然數和分數）就不夠了，還必須把這兩個互為相反的方向表示出來，于是產生了正數和負數。數從表示數量的多少到不但表示數量的多少，還表示相反方向的量，是數的發展的一個飛躍，老師要幫助學生完成這個飛躍。
正數和負數的認識，過去安排在中學有理數中學習，《標準》高速安排在小學的第二學段初步認識負數，有利于完整地建立整數的概念。教學時要注意：（1）通過豐富多彩的現實生活情境，幫助學生了解負數的意義。（2）借助直觀，理解相反的分界點與“0”的關系。知道0既不是正數，也不是負數。（3）通過分步呈現數軸（不用告訴數軸名稱）等辦法，使學生認識到正數都大于0，負數都小于0。
案例4：“認識負數”教學片斷（江蘇 繆宇虹）
老師搜集了某天四個城市的最低溫度資料，并用溫度計圖片顯示：香港19攝氏度，請學生認讀香港的最低氣溫，并介紹如何讀溫度計。此后依次出示上海（3攝氏度）與南京（0攝氏度）的溫度計圖片，請學生分別認讀，并進行比較。再提問：在數學上怎樣區分零上3攝氏度和零下3攝氏度呢？教師講解：規定零上3攝氏度記作+3攝氏度或3攝氏度，規定零下3攝氏度記作-3攝氏度。然后詳細介紹讀法和寫法。最后總結：“現在，我們可以說那一天上海的氣溫是+3℃，北京的氣溫是-3℃……”
●感知生活中的正數和負數。
師：新疆吐魯番是我國海拔最低的地區，你知道它的海拔高度是多少？
出示海拔高度圖：
教師依次提問：“從圖中你知道了什么？”“以海平面為標準，珠穆朗瑪峰比海平面高，吐魯番盆地比海平面低。”“你能用今天學的知識表示這兩個地方的海拔高度嗎？”最后小結：“用正負數還可以區分海平面以上的高度和海平面以下的高度。”
此后請學生做如下練習：
（1）用正數或者負數表示下面各地的海拔高度。（出示海拔高度圖）
中國最大的咸水湖——青海湖的海拔高度高于海平面3139米。
世界最低最咸的湖——死海低于海平面400米。
世界海拔高度最低的國家——馬爾代夫比海平面高1米。
（2）說說下面的海拔高度是高于海平面還是低于海平面？
里海是世界上最大的湖，水面的海拔高度是-28米。
太平洋的馬里亞納海溝是世界上最深的海溝，最深處海拔-11034米。
●描述正數和負數的意義。
出示：+3，-3，40，-12，-400，-155，+8848
師：你能將這些數分分類嗎？
師：像+3，40，+8848這樣的數都是正數，像-3，-12，-400，-155這樣的數都是負數。
師：從溫度計上觀察，0攝氏度以上的數都是正數，0攝氏度以下的數都是負數。海平面以上的數都是正數，海平面以下的數都是負數。
師：0是正數和負數的分界線，0既不是正數也不是負數。正數大于0，負數小于0。
●尋找生活中的正數和負數。
師：在生活中，哪里見過負數？
學生說出存折、電梯面板等等，老師要求學生說明這些負數的意思。
師：（電腦出示有關圖片）像零攝氏度以上與零攝氏度以下、海平面以上和海平面以下、地面以上和地面以下、存入和取出、比賽的得分和失分、股價的上漲和下跌等等，都是具有相反意義的量，都可以用正負數來表示。課后請同學們搜集有關負數在生活中應用的資料，下節課來交流。
三、分數的認識。
在表達平均分的結果的時候，遇到了分的結果比1還要小的情況，比如一半、小半、大半等，如何表示這樣的結果呢？這時候只有自然數顯然是不夠的，于是引進了分數。這時候認識的分數，都是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的。這就是“分數的初步認識”。后來擴展到不但可以把一個物體平均分，如果把一些物體、一個計量單位等看作一個整體，平均分以后，其中的一份或者幾份，雖然是一個或幾個，可以用自然數來表示，但也可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾。這樣建立的分數概念就基本完整了，這也就是教材中的“分數的意義”。
分數的意義與運算的教學是小學數學教學中的重要內容。分數的意義對于小學生來說是個比較抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排，分兩次完成對分數的認識，加上最后認識的百分數，對分數的認識分成了三個階段：“分數的初步認識”一般安排在第一學段；“分數的意義”一般安排在第二學段；在這兩個單元中認識的分數都是正分數。在學習了分數的四則運算后，又安排認識百分數。
1，在與自然數的聯系中借助直觀來初步認識分數。
“分數的初步認識”，是學生第一次建立分數的概念，教材安排一般有以下特點：
（1）單位“1”由一個物體組成；即每次平均分的都是1個物體，如一個餅、一個圓等。
（2）只認識真分數以及分子分母相等的假分數。因為分得的結果，每一份都比1小。取一份或幾份或全部，所得的分數都小于1或等于1。
（3）分母都比較小。
（4）不概括分數的定義，只通過直觀描述初步建立分數概念。
由于是對分數的初步認識，應充分運用形象和直觀手段，讓學生在具體的情境中操作感悟，如通過操作活動初步理解分數，能夠將圖與分數相互表示。通常見到的課堂結構一般是：
（1）創設一個平均分的情境引出分數；（2）動手操作（如折紙、涂陰影等）感知和初步理解分數；（3）在練習（圖與數相互表示）中鞏固和進一步理解分數。
也有的教師在教學過程中，不但做到了讓學生通過操作活動初步理解分數，并能夠將圖與分數相互表示，而且還能明確相對大小，感受量變與質變的規律。這類課的課堂結構一般是：
（1）從自然數過渡到分數；
（2）理解二分之一的含義；
（3）學習單位“1”的大小與相應二分之一大小的關系；
（4）在練習中不斷加深對分數的理解，出現分子與分母相等的分數、零分數等；
（5）歸納解決問題的思路。
案例5：“分數的初步認識”教學片斷（江蘇 張齊華）
●情境——沖突
出示主題情境圖。
引導學生思考：
（1）把4個蘋果平均分給2人，每人分得幾個？
（2）把2瓶礦泉水平均分給2人，每人分得幾瓶？
結合學生的交流，教師揭示：每份分得同樣多，數學上叫做“平均分”。
（3）把1個蛋糕平均分給2人，每人分得多少？
結合學生的交流，自然引出“一半”。
（4）每人分得的蘋果、礦泉水可以用以前學過的數來表示，那“一半”該用怎樣的數來表示呢？
學生交流各自的想法，教師結合學生的交流，揭示課題：認識分數。
●活動——建構
著力建構“二分之一”。
（1）直觀感知，初步認識。
①引導：我們把蛋糕平均分成了幾份？“一半”是其中的幾份？
揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用來表示。
②追問：這一份（指2份中的1份）是蛋糕的，另一份（指2份中的另1份）呢？
小結：把一個蛋糕平均分成2份，每份都是它的。
（2）動手操作，深化認識。
①出示一張長方形紙，引導學生思考：怎樣表示它的呢？
②出示操作要求：先折一折，再用斜線把它的涂上顏色。
③學生動手操作并表示出長方形紙的。可能出現如下表示方法：
④組織學生交流各自的表示方法。
⑤深究：折法不同，涂色部分的形狀也不同，為什么涂色部分都是長方形的？
結合學生的交流，教師小結：不管怎樣對折，只要平均分成2份，每份都是長方形的。
（3）觀察判斷，拓展認識。
①出示如下四個圖形。引導學生思考：下列圖形中，哪些圖形的涂色部分可以用表示？
②學生交流，并說明判斷理由。
③小結：只有把一個圖形平均分成2份，每份才是這個圖形的。
類比遷移，認識“幾分之一”。
（1）提問：認識了后，你還想認識幾分之一？
學生交流，教師板書學生交流中提到的部分分數。
（2）引導：能不能也用某個圖形表示出你想認識的幾分之一？
學生動手折長方形、正方形或圓形紙，并給其中的一份涂上顏色，表示幾分之一。
（3）交流：你表示出了幾分之一？你是怎么表示的？
學生結合自己的操作活動，交流自己表示的分數及其表示方法。
（4）從學生中收集長方形、正方形和圓三種不同圖形的，貼在黑板上，并引導學生思考：三種圖形的形狀各不相同，為什么涂色部分都能用表示？
學生交流，教師引導學生深入理解：不管什么圖形，只要平均分成4份，其中的每份都是這個圖形的。
……
●應用——提升
關于分數的聯想。（教師依次出示如下三幅圖。）
（1）法國國旗讓你聯想到了幾分之一？你能具體說說哪一部分大約是法國國旗的嗎？
學生交流并小結：法國國旗中的每一部分都大約是它的。
（2）畫面中的五角星，讓你聯想到了幾分之一？
（3）圖中的巧克力，讓你聯想到了幾分之一？
①學生一般首先會聯想到，教師隨機出示如下左圖，引導學生思考：如果每人分得這塊巧克力的，這塊巧克力能分給幾人？
②引導：同樣一塊巧克力，換一個角度觀察，你還能聯想到幾分之一？
結合學生的交流，教師隨機出示如上中圖和右圖，并引導學生思考：如果每人分這塊巧克力的或，這塊巧克力又能分給幾人？
③小結：同樣一塊巧克力，從不同角度觀察，聯想到的分數也各不相同。
這節課，老師創設了學生熟悉的郊游、分東西的情境，讓學生自己在表達分的結果時體會到：自然數不能表達這樣一些結果，于是引出了數的擴展的需要，激發了學生學習分數的內在學習動機。在分蘋果、礦泉水和蛋糕這一解決問題的過程中，隨著問題發展所呈現的思維沖突，又自然引導學生的思維從“整數”突圍出來，為學生實現“由整數向分數”的自然過渡構筑了良好的思維空間。“一半”是學生的生活經驗，而“”則是這一生活經驗數學化的結果。在教師的引導下，學生借助有意義的接受學習，在“生活經驗”與“數學知識”之間架構起認知橋梁。這樣處理，體現了教師對學生生活經驗、認知水平和知識建構方式的準確把握。
“平均分”是初步認識分數的基礎，是產生一個分數的前提。教師運用三個教學策略，強化學生對“平均分”的重視。第一次是教師巧妙地引導學生喚醒原有的“平均分”的經驗，為初步認識分數做好適宜的認知鋪墊；第二次是圍繞不同圖形的展開第二層次的“求同比較”“（圖形不同，為什么涂色部分都是它的），再一次剝離分數的非本質屬性，使學生進一步感受到單位“1”是什么并不重要，關鍵是“平均分成了多少份”和“表示這樣的多少份”，這才是分數最本質的內涵；第三次是通過“不平均”和“平均”的對比，再次強化對平均的認識。現實生活中許多畫面，都能引發學生對分數的聯想，法國國旗、五角星及巧克力便是教師對教學資源進行有效開發的結果。尤其是巧克力這一素材的應用，可謂恰到好處。一方面，滲透了“觀察角度不同，聯想到的分數也不同”的思考策略；另一方面，又蘊含了同樣一塊巧克力，分的份數越多，每一份少這一反比例的函數思想；與此同時，“1”里面有n個在這里也得到了無形的鋪墊。
2，分數的意義教學要著力解決對單位“1”的深入理解。
“分數的意義”這個單元，是讓學生在對分數有了初步認識的基礎上，進一步系統地認識分數。其重點是把第一次的初步認識進一步擴展。其特點是：（1）單位“1”由“一個”變成“一些”；（2）給出分數的定義。
教學時，主要突出“也可以把一堆物體看作是一個整體來平均分”的思想。如一堆蘋果，一個班級的人數，等等，如果看成一個整體也平均分的話，分得的結果，每份也可以就是這個整體的幾分之一。而這個幾分之一，可能含有一個、兩個或若干個，表述成“表示這樣的一份或幾份的數是這個整體的幾份之幾”。我們可以通過下面的案例感受教師如何精心設計教學過程，解決單位“1”可以由多個物體組成這個教學難點的。
案例6：“分數的意義”教學片斷（江蘇 夏青峰）
（1）出示下圖：
師：陰影部分可用什么分數來表示？
生1：。
生2：
……
師：怎么都認為是呢？
生：我把這個長方形平均分成3份，陰影部分是這樣的1份，就是。
屏幕顯示三等分線：
師：那也就是說，這里的是表示________。
學生回答，老師完成下面板書：把一個長方形平均分成3份，表示這樣1份的數。
（2）屏幕出示：
師：陰影部分又可用什么分數表示：
生：。
師：這次不是了，但已經很接近正確答案。
生：。
生：。
……
屏幕顯示八等分的虛線：
師：這次能說出是幾分之幾了吧？！
生：我認為是，因為它把這個圓平均分成8份，陰影部分占了其中的3份。
師：好的。那反過來說，這里的就是表示——
師生共同完成板書：把一個圓平均分成8份，表示這樣3份的數。
3，屏幕出示：
師：露出的部分是一個整體的，這個整體該是個什么樣子呢？你能大概地把它畫出來嗎？
學生畫。
師：誰愿意把你的作品與大家分享？
生1：（展示）
師：可以這樣畫嗎？
生：可以。因為這里一共有4個小三角形，露出來的是1個，就是它的。
師：還有不同的畫法嗎？
學生紛紛展示自己的作品。
師：判斷這些圖形是否符合要求，關鍵看什么？
生：關鍵看是否一共畫了4個三角形。
師：怎樣的4個三角形？
生：和露出來（的三角形）一樣的4個三角形。
師：好。看大家是否猜中了。這個整體究竟是什么呢？
屏幕出示下圖1。
（圖1） （圖2）
（學生表現出詫異的神色。）
生1：老師，不對。這4個三角形不連在一起，不是一個整體。
生2：我覺得是對的。雖然它們不連在一起，但是我們可以把它看成是一個整體。
生3：我覺得它不能看成一個整體，因為一個三角形就是一個整體，而這是4個三角形。
生4：我認為它是一個整體。比如，一個人，我們可以看成是一個整體；一組人，我們與可以看成是一個整體；一個班的人，也可以看成是一個整體。
……
學生出現了交流與辯論，最后大家基本統一了意見。
屏幕出示上圖2。
在教學“分數的初步認識”的時候，我們通常是出示標好等分線的圖形，讓學生說出陰影部分占整個圖形的幾分之幾。而夏老師出示的圖形卻沒有等分線，他讓學生致病猜一猜是幾分之幾，這不僅要求學生運用分數的本質意義去思考問題，而且對培養學生的數感起著積極的作用。看部分想整體的教學環節，真是設計精妙，一箭雙雕。它在加深學生對分數的理解、培養學生數學想象能力的同時，還幫助學生實現了從把單個物體看成一個整體，到把一些物體看成一個整體的思維跨越，抓住了學生認知的難點，進行了有效的突破。
3，抓住百分數的特征進行教學。
說到百分數，要分清兩種情況：一種是分母是100的分數，另一種是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。我們所說的百分數，一般指后者，它在寫法（和讀法）上與前者也有區別，用百分號（%）來表示。認識百分數要注意以下幾點：
（1）分數既可以表示兩個數之間的關系，也可以表示具體的數量。百分數只表示兩個數之間的關系，并不表示具體的數量。
（2）由于以上原因，分數可能有單位，也可能沒有單位，但百分數不能加上單位，這是它與分數的不同。
（3）分數一般用最簡分數的形式表示，但百分數為了便于比較，分母固定為100，所以當分子分母不互質時，不用約分成最簡分數的形式，也不用化成帶分數，而且分子也可能是小數。
（4）由于百分數的廣泛應用，認識百分數應該聯系學生的生活實際，并通過日常生活的運用加深理解概念，體會百分數的好處。
案例7：“百分數的意義”教學片斷
（上課前一天老師布置學生在生活中找一個實際應用的百分數。）
師：請同學們拿出在生活中找到的實際應用的百分數，說說是在哪兒找到的。
學生匯報自己找到的百分數。
生：我在報紙上找到的。
一件上衣的布料，棉的含量是65%，滌綸的含量是35%。
……
師：聽了同學們的匯報，有的是在生活當中找到了百分數，有的是對生活當中一些現象做了一些分析、計算得到的百分數。總之說明一個問題，生活之間百分數的應用非常廣泛。我也找了，愿不愿意看看我找的？
師出示：瀘州老窖的酒精度52%，洋河大曲的酒精度38%，王子啤酒的酒精度3.1%。
師：人們屢什么那么喜歡用百分數呢？用百分數到底有什么好處？我覺得這個問題很有必要研究。
師：除了這兩個問題外，你們還想弄清楚什么問題啊？
生思考后，自由提出自己想問的問題。
師：我們把這些問題稍微整理一下，寫在黑板上，作為我們今天研究的問題。
師板書：
1，百分數的意義是什么？
2，用百分數有什么好處？
3，百分數和分數有什么不同？
師：你們看，這幾個問題，是黃老師一個一個地講給你們聽呢，還是你們自己研究？
生：（異口同聲）自己研究。
●探究百分數的意義。
請同學研究你找到的生活中的百分數，并填寫在老師設計好的表格里面。
《百分數的意義和讀寫法》
調查紀要單
學生獨立研究，教師巡視。
匯報結果。
師：你是怎么比較得出瀘州老窖的酒精度含量很高，在各種酒中是比較厲害的？
（瀘州老窖的酒精度52%；洋河大曲的酒精度38%；王子啤酒的酒精度3.1%。）
生：從這些百分數中很容易看出瀘州老窖的酒精度含量很高。因為百分數的分母都是100，只要比較三個百分數的分子就可以了。
生：我認為百分數的最大好處就是分母都是100，便于比較大小。
……
●小組合作學習，比較百分數與分數的不同。
師：接下來我們就比較一下百分數和分數，到底有哪些不同。請小組合作討論，并填寫下面的表格。
學生小組合作學習，教師巡視。
匯報結果。
生：我們認為它們的意義不同，百分數后面不帶單位。
生：寫法不同。百分數通常不寫成分數形式，而是采用百分號（%）來表示。
生：讀法不同。百分數一般讀作“百分之幾”，不讀“一百分之幾”。
生：百分數可以不是最簡分數，如52%。分數就不一樣，有時要約成最簡分數。
生：百分數的式子可以是小數，如3.1%，分數不同。
……
百分數是在日常生產和生活中使用頻率很高的知識，學生雖未正式認識百分數，但對百分數卻并非一無所知。因此，老師上課前讓學生調查生活中的百分數的做法是完全可行的，還可以讓學生從中體會到百分數在生活中的廣泛應用，認識到知識對于個人的意義，對激發內在的學習動機起到了很好的作用。更為可貴的是，老師在這節課中，直接把學生調查到的數據和問題作為學習和研究的對象，學生是在理解和解釋自己及同學調查得來的數據的過程中認識百分數的。
“誰和誰比？”“哪個量是單位‘1’？”“這個分數表示的意義是什么？”這本來是數學老師經常在上課時問的問題。很多時候，學生是在老師的幫助下，通過課本例題認識百分數的，通常中老師引導全班共同弄清老師作為例題教學提出的問題，并以提問的方式來問，回答問題的只能是少數人。不同的是，這節課，每人一張學習表，每人收集到的事例和數據不盡相同。這種一人一表、一人一例的方法，與全班共同研究一個例題的方法相比，好就好在“迫使”每一個學生都必須獨立思考，都必須在不同的情境中回答相同的問題，既需要每個人獨立思考，也可以隨時交流，有困難的學生，可以隨時向老師或同伴請教。大量的實例有助于學生在整體上把握百分數的概念和意義，體會它的作用和好處。
有一種延續了半個世紀的教學方式，被有的專家稱為“集體作業的教學方式”。這就是先出現一個問題，然后請同學站起來應答，當幾個人解決了，就相信全班都會了。這種教學方式教師之所以喜歡，是因為它既能活躍課堂氣氛，又便于控制教學節奏和進度。蘇霍姆林斯基認為“這種方式容易造成表面的積極性和一切順利的假象。在這樣的方式下，那些中等學生是否也有獨立思考、獨立解決問題的體驗，我們仍不得而知。”基礎既落實到位，又落實到人，體現了課程標準提倡的“關注每一個孩子的發展”的理念。
新課程特別強調問題在學習活動中的重要性。一方面強調通過問題來進行學習，把問題看作是學習的動力、起點和貫穿學習過程的主線；另一方面通過學習來生成問題，把學習過程看成是發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程。總之，問題意識是學生進行學習特別是發現學習、探究學習、研究性學習的心理要素。上述案例，教師引領學生積極地、科學地、有創造性地提出問題，并嘗試去解決問題，有助于學習方式的轉變。
四、小數的認識。
我們現在常用的計數制是十進制，它的重要特征是位值制，即寫在不同位置上的數字表示著不同的值。當人們在度量可以分割的量時，常常把作為單位的量細分為它的，，，這樣就得到一種以10的冪為分母的特殊的分數，這種分數叫十進分數。為了應用上的方便，人們把十進分數改用位值制的記法，這就是小數。在有理數范圍內的小數實際上是一種特殊的分數，是分數的另一種表示形式。當分數的分母是10，100，1000，…時，可以用一位小數、兩位小數、三位小數等來表示。由十進分數改寫的小數都是有限小數，所以所有的有限小數都能改寫成分數。
在小學里學生還要遇到無限循環小數，它可由不能化成十進分數的分數改寫而成，所以無限循環小數也都可以改寫成分數。有限小數和無限循環小數都是有理數范圍里的數。
無限不循環小數不能由分數改寫得到，它是無理數的一川表現形式。在小學生認識的數里，只有圓周率=3.141592…是無理數，但這并不需要告訴學生。它只是在計算圓周長的時候才被介紹到。
小數概念的引入，通常有兩種做法：一是從生活實例出發；二是從表示度量結果的需要出發。這都是小學生能夠理解的。
通常認識小數也分為兩個階段：第一階段是小數的初步認識，特點是：（1）聯系生活實際中具體的量來認識小數；（2）以一位小數為主；（3）不定義小數，只描述為：像0.5，1.06，16.85，…這樣的數叫做小數。第二階段較系統地認識小數的意義。特點是：（1）給出小數的定義：分母是10，100，…的分數，可以用小數表示；（2）再次擴展數位順序表，建立十分位、百分位、千分位……的概念；（3）運用小數的計數單位分析小數的組成、小數的性質，比較小數的大小；（4）把非整萬（億）的大數改寫成以萬（億）為單位的小數等。
1，充分運用生活經驗，建立小數概念。
雖然小數實際上是一種特殊的分數，是分數的另一種表示形式。但在生活中最常見到的是小數，如2.45元，30.8米，2.5噸等具體的數量，而不是分數。所以學生認識小數，不一定要從分數的概念入手，可以由測量長度的結果不是整米數、物品的價格不是整元數出發引入小數。也可以直接運用生活中各種鮮活的實例，讓學生感受小數的現實作用。學生已有的經驗能夠支持學生理解小數的意義，發現小數的性質，進行比較大小的活動，從而實現感性認識到理性認識的飛躍。
2，數形結合，教學小數的知識。
小數的意義是比較抽象的數學概念，小數的性質也是抽象的數學規律，小學生掌握這些知識是有一定困難的。如果把抽象的數學知識與具體的圖形聯系起來，挖掘和利用概念中的直觀成分，能有效地降低教學的難度。如用大正方形表示整數“1”，它的十分之幾、百分之幾分別表示成一位小數、兩位小數；依托直尺顯示幾厘米是百分之幾米，是零點零幾米；在數軸上建立點與相應的一位小數、兩位小數的聯系……這些都有助于學生領會小數的知識。
3，始終把小數的意義作為教學重點。
小數的意義是進一步學習小數的性質、比較小數大小的規劃、改寫大數的方法的基礎。
十進分數除了可以寫成分母是10，100，1000，…的分數形式外，還可以寫成另一種形式，即小數。具體地說，分母是10的分數還可以寫成一位小數，一位小數表示十分之幾；分母是100的分數還可以寫成兩位小數，兩位小數表示百分之幾……教學小數的意義，要讓學生理解并掌握這些關系，這就是學生需要建立的小數概念。
教學小數的意義，要不要從一位小數到兩位小數，再到三位小數、四位小數依次逐一進行？我們認為不一定。因為一位小數與十分之幾的相互關系在三年級時已經了解，只不過學生對這種關系只有初步的感受，并不是很清楚。三位小數、四位小數與一位小數、兩位小數在意義上有區別，但本質上又是相通的，有一致的方面。一位小數與兩位小數的意義和讀寫方法，對三、四位小數具有可遷移性。因此，教學時，可以兩位小數的意義為主要研究對象，向前聯系一位小數與整數，往后發展到三位小數和四位小數，逐漸形成比較完整的小數概念以及計數方法。
4，利用知識遷移，建立小數與分數的聯系。
遷移，指一種學習對另一種學習的影響。分數的學習對小數的學習特別是小數意義的理解有直接、顯著的影響；小數的意義和整數的大小比較或加減計算對小數的大小比較或加減計算有直接、顯著的影響。反過來，后者的學習對前也有促進作用。遷移，有時在聽教師講解的過程中實現。例如，“5分米和4分米分別是幾分之幾米”是學生已有的知識，只要通過提問，引起學生的回憶和思考，就不難解決。然后不妨直接告訴學生：“米還可以寫成0.5米，米還可以寫成0.4米。”注意：是“還可以寫成”，也就是同一對象的兩種不同形式，使小數和分數建立起直接的聯系，使學生進一步體會到，十分之幾和一位小數，百分之幾和兩位小數……之間的關系。用單名數或復名數表示具體的數量、把正方形平均分成10份，100份，1000份，…，表示其中的若干份以及用數軸表示數，過去曾經是認識整數、分數時常用的模型，而現在又拓展到了小數。比如，把一個正方形平均分成10份，100份，其中的若干份既可以用分數表示，也可以用小數表示。到了這時，學生理解的小數已經不是具體的量了，自然就接受了不帶單位的小數。這些做法，無論對小數意義的接受、理解，還是對小數的模型的建立，培養關于小數的數感，都很有幫助。
5，溝通整數與小數計數與比較方法的關系。
整數與小數的計數方法是一致的，相鄰兩個計數單位間的進率都是“十”，小數的計數方法是整數計數方法的擴展。教學中要設計相應的教學環節，將整數的計數方法遷移到小數，為學生在計數的經驗和方法上建立聯系。不僅如此，還要利用這些活動幫助學生整理認數系統，把原來認識的整數數位表擴充到小數，把分單位和小數的計數單位聯系起來，使學生逐步在頭腦中建構起完整的認數體系。
學生已經掌握的比較整數大小的知識，有些可以應用于比較小數的大小，也有些需要在認識上做必要的調整。如，在整數中，位數多的數一定比位數少的數大（四位數大于三位數）。而在小數中未必一定如此（三位小數不一定比兩位小數大）。因此，從比較整數的大小到比較小數的大小，不是單純的認知同化和方法遷移。
綜上所述，理解數的意義是數學課程的重要任務。小學階段主要學習整數、小數、分數等數的概念。這些概念本身是抽象的，只有為學生提供充分的可以感知的現實背景，才能使學生真正理解數的意義，建立數感。
——“數的運算”備課解讀與難點透視
江蘇 徐 斌
課改前，關于“數的運算”教學議論很多：
——中國學生的計算能力全球最高，為什么要進行改革？
——計算教學過于形式化、技巧化，嚴懲脫離學生生活實際；
——計算教學的訓練單調枯燥，嚴重挫傷了學生的學習熱情；
——過分強調精確計算，忽視了估算能力的培養；
……
課改后，關于“數的運算”教學仍然議論很多：
——學生的計算能力（口算能力和筆算能力）嚴重下降；
——在計算目標（速度和正確率）方面兩極分化現象嚴重；
——計算器的引入干擾了學生計算能力的形成；
——“算法多樣化”影響了課堂教學的效率；
……
如何應對“數的運算”教學改革中的問題？本文試從數的運算的重要意義與價值、教學內容和目標的變化出發，針對目前數的運算教學中普遍存在的基本矛盾進行分析并提出解決策略。
一，“數的運算”的重要意義和價值。
“數的運算”在整個小學階段的學習內容中占有相當大的比重。正確認識計算在數學教學中的作用，準確了解計算的內在思想和方法，能使我們的計算教學更加科學有效。
數的運算是人們在日常生活中應用最多的數學知識，因此它歷來是小學數學教學的基本內容，培養小學生的計算能力也一直是小學數學教學的主要目標之一。計算教學直接關系著學生對數學基礎知識與基本技能的掌握，關系著學生觀察、記憶、思維等能力的發展，關系著學生學習習慣、情感、意志等非智力因素的培養。一定的計算能力是每個公民應具備的基本素養。
1，在日常生活中有廣泛的應用。
數的運算是人們認識客觀世界的周圍事物的重要工具之一。從抽象的觀點看，客觀世界的表現形式可以概括為：數量、空間和時間及相互之間的關系。從數學的角度看，主要表現在數、量、形三個方面，而計量是離不開數的運算的，空間形式及其關系要量化也離不開數與計算。任何學科規律歸結為公式后基本上都要運用四則混合運算來計算。
2，對培養學生的思維能力有重要作用。
學習數的運算的過程就是發展邏輯思維能力的過程。數的運算的概念、性質、法則、公式之間都有內在聯系，存在著嚴密的邏輯性。每個概念、性質、法則、公式的引入與建立，都要經過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學生學習、理解和掌握這些概念、性質、法則、公式，都要經過從具體到抽象、從感性到理性的過程。學生把這些應用到實際中去，還要經過由一般到特殊的演繹過程。因此，數的運算的學習有利于發展學生的思維能力。
3，有利于滲透數學思想方法的教育。
數的運算是在人類的生產、生活中產生和發展起來的，由低級到高級、從簡單到復雜。而數的運算中又有很多相互依存、對立統一的概念和計算方法。如整數與分數、約數與倍數，加與減、乘與除、通分與約分，等等。教學中闡明這些相互依存的概念與概念、計算方法與計算方法之間的關系，有利于滲透數學思想方法的教育。
二，內容變化解讀。
隨著科學技術的發展，尤其是計算機和計算器的普及，“數的運算”中哪些知識是大多數人最常用和最基礎的，也在發生著變化。了解和研究這種變化，重新審視相應的教學內容和要求，是小學數學課堂教材改革研究的任務之一。
1，加強的內容。
（1）注重計算與日常生活的聯系。
過去一提到計算，常常和“抽象”、“單調”、“枯燥”等詞語聯系在一起，計算教學陷入了一些誤區。與傳統的計算相比，《數學課程標準（實驗稿）》注重了通過實際情境使學生體驗、感受和理解運算的意義。《標準》中提出：“經歷將一些實際問題抽象為數與代數的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題。”“經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立初步的數感和符號感，發展抽象思維。”
誠然，計算本身具有較強的抽象性，但其反映的內容又常常是現實的，與人們的生活、生產有著十分密切的聯系。新課程注重計算的現實意義，適當讓學生經歷一些現實情境，使學生通過活動體驗、感受和理解運算的意義、來源、現實背景和本質。
（2）加強計算器的運用。
計算器的運用一直是小學數學教學討論的焦點。《標準》中強調：“數學課程的設計與實施應重視運用現代信息技術，特別要充分考慮計算器、計算機對數學學習內容和方式的影響，大力開發并向學生提供更為豐富的學習資源，把現代信息技術作為學生學習數學和解決問題的強有力工具，致力于改變學生的學習方式，使學生樂意并有更多的精力投入到現實的、探索性的數學活動中去。”
借助計算器不僅有利于學生進行較復雜的運算，解決實際問題，而且還可以培養學生探索數學規律的能力。一方面，學生可以用它進行大數目的加、減、乘、除四則運算，節約時間，提高計算的速度；另一方面，借助計算器可以引導學生探索一些復雜的、更為現實的應用問題。計算器進入課堂，能逐步把學生從繁瑣的技巧性計算中解放出來，以學習更多有用的數學內容。
當然，計算器的引入是一種新的改革和試驗，需要我們深入研究，防止簡單化處理，特別是在低年級學生形成基本計算能力的時候要慎用，在高年級學生學習中也要注意不能養成完全依賴計算器的習慣。
（3）強化估算的作用。
估算是人們在日常生活、工作和生產中，對一些無法或沒有必要進行精確測量和計算的數量所進行的近似或粗略估計的一種方法。
如仿，復雜的計算都可以由計算機或計算器來完成，與此同時，日常生活或工作中估算的作用也越來越突出。如，人們在使用工具進行計算時，由于操作上的失誤會使計算結果有很大的誤差，這就要求人們具有一定的估算能力，能對計算結果的合理性進行判斷，并對其合理性作出解釋。另外，估算還可以用于平時的計算，在計算前對結果進行估算，可以使學生合理、靈活地用多種方法去思考問題；在計算后對結果進行估算，可以使學生獲得一種最有價值的檢驗結果的方法。所以估算能力是現代化社會生活的需要，是衡量人們計算能力的一個重要標準。重視、加強估算已成為一個世界性的潮流。
《標準》中明確提出要培養估算能力。在第一學段中強調“能結合具體情境進行估算，并解釋估算的過程”，在第二學段中強調“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養成估算的習慣。”
2，削弱的內容。
（1）刪減珠算的內容。
珠算作為我國傳統的計算工具，在歷史上發揮了重要的作用，同時，珠算教學的形象性對于學生智力開發也有很大的促進作用。但是隨著計算機的不斷普及，人們基本上已經不采用珠算計算的方法。因此《標準》中基本不介紹珠算，取而代之的是計算器。
（2）刪減繁瑣的運算步驟。
在整數運算方面，《標準》明確提出：“進行簡單的整數四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。”而在這里“簡單”運算的含義具體包括：“加、減法以兩三位為主”，“乘法是三位數乘兩位數”，“除法是三位數除以兩位數”。在小數、分數運算方面，《標準》提出：“會分別進行簡單的小數、分數（不含帶分數）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。”
（3）刪減運算的數目要求。
在口算方面，《標準》提出：“會口算百以內一位數乘、除兩位數。”在筆算方面，提出：“能筆算三位數乘兩位數的乘法，三位數除以兩位數的除法。”
我們知道，同一類計算題目，數目較大的運算比數目較小的運算錯誤率有成倍的增長。因此降低計算中的數目要求，也就降低了學生的錯誤率，減輕了學生負擔。
三，教學要點。
第一學段總體要求：“應重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應減少單純的技能性訓練，避免繁雜計算和程式化地敘述‘算理’。”
第二學段總體要求：“應重視口算，加強估算，鼓勵算法多樣化；應使學生經歷從實際問題抽象出數量關系，并運用所學知識解決問題的過程；應避免繁雜的運算，避免將運算與應用割裂開來，避免對應用題進行機械的程式化訓練。”
在實際的教學中，要特別注意如下問題的解決。
1，如何建立四則運算概念？
首先，應注重在具體情境中體會運算意義。四則運算是小學數學最基礎的知識。一般對加法的定義是：“把兩個數合并成一個數的運算。”減法的定義是：“已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算。”乘法的定義是：“求相同加數的和的簡便運算。”除法的定義是：“已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。”這些運算定義雖然在表述上已經比較直觀，但對于低年級的小學生來說，仍是十分抽象的。心理學研究表明，當一個數的運算與所代表的情境中的物體相聯系時，才能在學生的頭腦中獲得真正的意義。情境可以賦予數以意義，從而使抽象的數成為具體的物體。因此《標準》提出“結合具體情境”的要求。
案例1：“加法”（人教版《數學》一上）
教材創設了學生熟悉的活動情境圖“折紙游戲”：已經折了1只紅色的紙鳥，2只藍色的紙鳥。
教學時，可以組織學生觀察并述說：紅色紙鳥的只數可以用“1”表示，藍色紙鳥的只數可以用“2”表示，一共折的紙鳥只數可以用“3”表示；要求一共有多少只紙鳥，可以把“1”和“2”合并起來，在數學上把這種運算叫做“加法”，寫成“1＋2=3”；然后讓學生聯系情境說一說“1”和“2”，“3”和“＋”各表示什么含義；最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學生動手擺學具等活動，逐步形成對加法意義的認識。
這樣，學生對加法含義的理解是建立在豐富的感性積累基礎之上，在頭腦中形成鮮明的動態表象，從而獲得關于加法運算意義的準確理解。
案例2：“乘法”（蘇教版《數學》一下）
教材通過情境圖，首先讓學生在具體活動中感知“幾個幾”：免有3個2，雞有4個3；再讓學生用已經學過的連加進行計算：2＋2＋2=6，3＋3＋3＋3=12。
接著通過操作學具和觀察花片活動，使學生進一步體驗“幾個幾”：3個5可以寫成5＋5＋5=15，5個3可以寫成3＋3＋3＋3＋3=15。
然后通過計算桌子上電腦的臺數：2＋2＋2＋2=8，講述——“4個2相加，可以寫成2×4=8或4×2=8”。同時結合教學乘號、乘數、積等名稱和乘法算式的讀法。
這樣的編排和教學，改變了過去強調“相同加數”、“相同加數的個數”、“每份數”、“份數”、“被乘數”、“乘數”等過分形式化的概念以及所謂被乘數和乘數不能換位置的人為障礙，強化了乘法的本質——同數相加。學生認識乘法的過程，成了快樂的學習體驗過程，成了理解數學概念本質的過程。
2，如何重視口算教學？
口算也稱心算，是一種不借助計算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結果的計算方式。口算基于個人對數的基本性質和算術運算的理解，它不僅僅是筆算的基礎，而且也是運算中獨立的一部分，同時口算在日常生活中有著很高的應用價值。口算還是數感發展過程中的一個重要部分。
在教學中具體落實“重視口算”的目標，應注重如下兩點：
（1）在數形結合中理解口算原理。
數的運算，其實質是對現實生活中物體的個數進行運算，可以說小學階段的每個算式都可以在生活中找到實例。在讓學生理解口算的算理時，除了要與實際情境相結合，還要逐步過渡為數學的語言符號。
案例3：“整百數加、減整百數”（北師大版《數學》二下）
首先創設“買電器”的情境：洗衣機500元，電冰箱1200元，電視機800元，電風扇160元。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機和一臺電視機共花多少錢？”列式：500＋800。接著通過具體的人民幣（都是百元面值）的呈現，引發學生思考：5加8等于13，500＋800=1300。
然后通過計數器演示：5個百加8個百是13個百，也就是1300。最后讓學生說說自己的思考和計算過程。
這樣，由具體實物（百元人民幣形象地表示計算單位“百”）的操作過渡到半形象半抽象的計數器（百位上算珠操作）演示，再通過學生在頭腦中的表象運演，使學生逐步理解口算的算理（5個百加8個百是13個百，就是1300）。這樣的教學符合學生的思維發展規律：直觀動作思維→抽象邏輯思維。
（2）科學合理地訓練，強化基本口算。
在小學的口算內容中，兩個一位數相加與其相對應的減法、表內乘法與其相對應的除法是四則運算中的基本口算，俗稱“四張九九表”，這“四表”是一切計算的基礎，務必使學生達到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學中，除了讓學生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓練的科學合理性。
筆者調查了當前小學生基本口算能力的現狀和錯誤分布情況，發現在低年級階段有些老師過分提高口算的速度要求（每分鐘30道甚至50道），而中高年級則忽視基本口算訓練，過分依賴筆算。
要強化基本口算，首先應重視基本口算方法的教學。小學生口算的方法一般有三個層次：逐一重新計數→借數數加算或減算→按數群運算。在教學基本口算時，要重視讓學生逐步掌握按數群運算的方法。所謂數群，是指學生在計數時能將最后說出的數作為所數過的一群對象的總體來把握。所謂按群計數，就是計數時不以某個物體為單位，而是以數群為單位，如兩個兩個地數、五個五個地數，等等。同時我們還應該注意，在教學初期，為了達到算法指導下的正確計算，可不做計算速度的要求。
其次，應注重退位減法與表內除法的思維教學。小學生正處于“具體運算階段”，思維的可逆性剛剛出現，只能進行初步的邏輯推理。而20以內退位減法和表內除法在很大程度上依賴于學生的逆向思維。因此教學口算方法時，要特別強化退位減法和表內除法的基本計算思維（算減想加、算除想乘）的教學，以幫助學生掌握基本方法，同時有意識地培養學生的逆向思維能力。
再次，應注意口算訓練的科學性。要提供訓練材料，選擇訓練時機，注意訓練方法，考慮訓練周期，做到適時、適量、適度。具體說來，一要注意加強課堂練習，采用講練結合的方式及時鞏固所學口算內容；二要注意練習的針對性，抓住難點反復練習，不能平均用力；三要注意練習形式的多樣化，提高學生口算的積極性，避免簡單的機械重復。
3，如何加強估算意識？
做算具有重要的應用價值，是學生應該具備的重要的計算技能。隨著計算技術的進一步發展，大量的計算并不要求進行精確的計算，一個人在日常生活中進行估算的次數，遠比精確計算的次數多得多。在小學階段的計算教學中，與估算相關的內容很多，如估計商的近似值、試商、估計小數乘法的結果、用估算進行驗算，等等。要體現《標準》中“加強估算”的要求，可以著力于以下兩方面：
（1）培養數感是打好估算的基礎。
數感是對數和數的關系的一種良好的直覺。在估算中數感主要表現為能在具體情境中把握數的相對大小關系，能為解決問題而選擇適當的算法，能對結果的合理性作出解釋。估算可以發展學生對數的認識，培養數感；同時，良好的數感又是學生進行估算的必要基礎。除了在數的認識時要加強數感的培養，在數的運算過程中更應結合具體計算培養學生的數感。
（2）掌握估算方法，養成估算習慣。
有研究表明，小學生最常使用的估算方法主要有三種：簡約、轉換和補償。所謂“簡約”，是指學生在估算時先把數簡化成比較簡單的形式。例如估算“495＋310”，把495看作500，把310看作300，這樣估算時只要想比較簡單的形式“500＋300”即可。所謂“轉換”，是指學生在估算時把一種問題轉換成另一種問題來思考。例如，估算加法問題“602＋597＋589”，把加法問題轉換為乘法問題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所謂“補償”，則是學生在進行簡約或轉換時，進行一些調整，以補償前面運算中的不足，使估算比較準確。例如，“602＋597＋589”這一問題，學生在轉換時可能會進一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800，因為我在將每一個數都簡化成600時，用加的部分比用減的更多一些。”
我們在教學中也常常發現，有些學生在計算時會出現一些莫名其妙的錯誤。對此，我們應讓學生養成及時估算檢查的習慣，每做完一道題目，可以先估計一下數值，然后與實際計算所得的答案比較，及時覺察出錯誤并加以更正。
案例4：（北師大版《數學》三上）
一個同學說“我有一串五色珠子，共98顆，每種顏色顆數都相等。”另一位同學經過估算指出“這是不可能的”。這里，后一位同學就是用估算進行了判斷。他可能用乘法的思路：5乘一個數的得數個位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余數的。
可見，養成了估算的良好習慣，能解釋結果的合理性，驗證了計算的精確度。
4，如何體現算法多樣化？
《標準》中指出：“由于學生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應新生學生的想法，鼓勵學生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”要體現“算法多樣化”的思想，應注重以下三方面：
（1）理解算法多樣化的內涵。
所謂算法就是指解決各種數學問題的程序與方法，具體包括運算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規則組成，因此運算方法與解題策略有共性也有區別。前者更偏重于技能，可以通過練習獲得，并進而成為技巧，而后者雖然也可進行訓練，但由于信息復雜，更多要依靠思維能力。兩者無本質區別，只有層次之差。
（2）找準算法多樣化的前提。
現代學習心理學研究表明，實施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎上，否則多樣化就會導致泛化。以學生思維憑借的依據看，可以分為基于動作的思維、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應該提倡優化，而且必須優化，只是優化的過程應是學生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制規定和主觀臆斷的過程，應讓學生逐步找到適合自己的最優算法。
（3）把握算法優化的標準。
過去我們僅僅用成為認為唯一合理的方法作為基本算法教給學生。現在我們認為的基本算法是什么呢？其實，基本算法并不是唯一算法，基本算法應該是指同一思維層次上的方法群。以此為基礎，這里提出判定基本算法的三個維度：一是從心理學維度看，多數學生喜歡的方法；二是從教育學維度看，教師易教、學生易學的方法；三是從學科維度看，對后續知識的掌握有價值的方法。理想的基本算法是三位一體的。在小學階段，隨著年級的升高對學科維度要求會逐漸增強。
四，當前計算教學存在的基本矛盾和處理策略。
依據筆者的調查和分析，課程改革之后計算教學中出現了一些亟須解決的基本矛盾。現分別加以分析，以尋求良好的處理策略。
1，情境創設與復習鋪墊。
現在的計算教學幾乎不見了過去教學中的“復習鋪墊”，取而代之的是“情境創設”。目前大多計算教學的一般教學流程常常是：教師創設情境、學生提出問題、獨立思考算法、反饋交流算法、自主選擇算法。為此，許計算課不是從“買東西”開始，就是到“逛商場”結束。一些教師在上課時首先關注的不是學習內容本身，而是如何挖空心思創設新奇誘人的所謂“情境”。現在的計算教學，很難再看到過去常見的復習鋪墊了。難道情境創設和復習鋪墊真是水火不相容嗎？情景創設和復習鋪墊之間到底是怎樣的關系？
建構主義學習理論認為，學習總是與一定的社會文化背景即“情境”相聯系的，在實際情境下進行學習，有利于意義建構。的確良好的問題情境能有效地激活學生的有關經驗、體驗。《標準》也非常強調，計算教學時“應通過解決實際問題進一步培養數感，增進學生對運算意義的理解”；“應使學生經歷從實際問題中抽象出數量關系，并運用所學知識解決問題的過程”；“避免將運算與應用割裂開來”。
然而任何事物都不是絕對的。因為數學的來源，一是來自數學外部現實社會的發展需要；二是來自數學內部的矛盾，即數學本身發展的需要。數學兩方面的來源都可能成為我們展開教學的背景。例如，“負數”過去很少出現在小學，現在《標準》規定要引進負數。現實生活中存在著大量的具有相反意義的量，可以作為提示負數的素材；同時，從數學本身出發，為了解決諸如“2－3”不夠減的矛盾，也需要引進一種新的數，同樣是小學生易于感知的問題情境。這里，選擇兩種角度之一導入都是可取的。
問題的另一方面，計算教學之前還要不要“復習鋪墊”呢？其實，新課前的復習鋪墊其主要目的，一是為了通過再現或再認等方式激活學生頭腦中已有的相關舊知，二是為新知學習分散難點。前者，只要有必要，則無可厚非。問題在于后者。常常有人為了使教學“順暢”，設計了一些過渡性、暗示性問題，甚至人為設置了一條狹隘的思維通道，使得學生無需探究或者只要稍加嘗試結論就出來了。例如，教學一年級“9加幾）時，有人精心設計了如下鋪墊：
其實，計算9加幾時，由于學生的生活背景和思考角度不同，不同的學生會想到不同的方法。教師應允許學生采用多樣化的方法，不必把學生的思維局限在把另一個加數分成1和幾的這一種所謂“湊十法”。顯然這種把知識嚼爛再喂給學生的“鋪墊”，對于發展學生主動獲取知識的學習能力是不利的。
可見，創設情境和復習鋪墊并不是對立的矛盾，并不是所有的計算教學都必須從生活中找“原型”，選擇怎樣的引入方式取決于計算教學的內容特點和學生的學習起點。
2，算理直觀與算法抽象。
曾有一些教師認為，計算教學沒有什么道理可講，只要讓學生掌握計算方法后，反復“演練”就可以達到正確、熟練的要求了。結果不少學生雖然能夠依據計算法則進行計算，但因為算理不清，知識遷移的范圍就極為有限，無法適應計算中千變萬化的各種具體情況。
算理是指四則計算的理論依據，它是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識。算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導下的一些人為規定。算理為算法提供了理論指導，算法使算理具體化。學生在學習計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎和可能。因此在計算教學中重視算理和算法是一個十分重要的課題。
現在，在計算教學中教師們都十分重視讓學生理解算理，特別是讓學生在直觀形象中理解算理，讓學生不僅知道計算方法，而且知道駕馭方法的原理。
案例5：“一位數乘兩位數的筆算”（蘇教版《數學》二下）
首先出示情境圖——兩只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14個。讓學生提出問題：一共摘了多少個桃？并列出乘法算式2×14。
接著，讓學生獨立思考，自主探索計算方法。有的學生看圖知道了得數，有的學生用加法算出得數，有的學生用小棒擺出了得數，也有少數學生用乘法算出了得數。
然后，組織學生交流匯報自己的計算方法。老師在分別肯定與評價的同時，結合學生的匯報，板書了這樣的豎式（下左圖）：
同時，老師結合講解，分別演示教具、學具操作過程，又結合圖片進行了數形對應。
最后，老師引導學生觀察這種初始豎式，通過講解讓學生掌握簡化豎式的寫法（上右圖），再讓學生運用簡化豎式進行計算練習。
上述案例反映了現在計算教學中的又一對基本矛盾——算理直觀與算法抽象，在教具演示、學具操作、圖片對照等直觀刺激下，學生通過數形結合的方式，對算理的理解可謂十分清晰，但是好景不長，當學生還流連在直觀形象的算理中，馬上就得面對十分抽象的算法，接下去的計算都是直接運用抽象的簡化算法進行計算。
筆者認為，在算理直觀與算法抽象之間應該架設一座橋梁，讓學生在充分體驗中逐步完成“動作思維→形象思維→抽象思維”的發展過程。上述案例中，形成了初始豎式后，不必過早抽象出一般算法，而應該讓學生運用這種初始模式再計算幾道題，見如下教學片斷：
師：（在學生理解了14×2的初始豎式后）我們一起來用這樣的豎式計算。
（請三名學生上臺板演，其余學生自己嘗試解答）
師：我們看黑板上的豎式。這些算式有什么共同的地方？
生1：它們都是兩位數和一位數乘。
生2：第一次乘下來都得一位數，第二次乘下來都得兩位數。
生3：我發現第二次乘下來都得整十的數。
生4：我發現得數個位上的數就是第一次乘得的數，得數十位上的數就是第二次乘得的數。
師：大家觀察得都很仔細。那么你覺得像這樣寫怎么樣？
生1：比較清楚。
生2：清楚是清楚，不過有點繁，有些好像不要寫兩次的。
師：是啊，要是能簡單些就好了。
生3：其實這個豎式積里十位上的數字可以移動到個位數字的左邊來，其余可以擦去的。
師：哦，你的想法挺好的，我們一起來看屏幕——
（屏幕上動畫演示豎式由繁到簡的過程。）
師：老師也來寫一次，你們看——這樣寫比原來是否是簡單多了？ 1 4
×2
2 8
生：（齊）是！
師：我們以后列乘法豎式時，可以選擇簡單的方法來寫。
師：剛才寫的三道豎式，你們能不能把它們改成簡單的寫法？
（原來板演的三名學生上臺，其余學生也動手將初始寫法改成簡單寫法。）
在以上教學過程中，教師沒有簡單地讓學生用所謂簡化豎式計算，而是在實際計算中使學生進一步理解一位數乘兩位數的算理，同時通過觀察、比較找出這些初始豎式的共同點，進而產生簡化豎式的需要，在此基礎上自然引出簡化模式。
可見，計算教學既需要讓學生在直觀在理解算理，也需要讓學生掌握抽象的法則，更需要讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。
3，算法多樣與算法優化。
數學課程改革實施的初期，大家對“算法多樣化”感覺很新鮮，計算教學一改過去“教材選定算法→教師講解算法→學生模仿算法→練習強化算法”的機械模式，出現了非常可喜的變化，“算法多樣化”已成為計算教學最明顯的特征。
案例6：“兩位數減一位數的退位減法”（北師大版《數學》一下）
首先，教師通過問題情境出示例題33-7。然后，經過老師的精心“引導”，出現了多樣化的算法，老師花了將近一課時進行了展示（還分別用動畫式課件進行演示）：
（1）33-1-1-1-1-1-1-1=26
（2）33-3=30，30-4=26
（3）33-10=23，23+3=26
（4）13-7=6，20+6=26
（5）10-7=3，23+3=26
（6）33-13=20，20+6=26
（7）33-6=27，27-1=26
……
最后，老師說：“你們喜歡用什么用什么樣的算法就用什么樣的算法。”
課后，筆者與上課老師進行了交流，老師說：“現在計算教學一定要算法多樣化，算法越多越能體現課改精神。”筆者又詢問了課堂上想出第一種算法的學生：“你真是這樣算的嗎？”學生說：“我才不愿意用這種笨方法呢！是老師課前吩咐我這么說的。”筆者連續問了好幾個學生，竟沒有一個學生用這種逐個減1的方法。那么后面的幾種算法（特別是第六、第七種）真是學生自己想出來的嗎？
上述案例反映了在計算教學中少數老師對算法多樣和算法優化這對基本矛盾的認識模糊。算法多樣化應是一種態度，是一個過程，算法多樣化不是教學的最終目的，不能片面追求形式化。老師不必煞費苦心“索要”多樣化的算法，也不必為了體現多樣化刻意引導學生尋求“低思維層次算法”。即使有時是教材編排的算法，但在實際教學中沒有出現，即學生已經超越了“低思維層次算法”，教師可以不再出示，沒有必要走回頭路。
4，解決問題與技能形成。
《標準》中不再設置專門的“應用題”領域，而是注重讓學生“經歷將一些實際問題抽象為數與代數問題的過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能，并能解決簡單的問題”。
現在的計算課，如何處理解決實際問題與計算技能形成之間的矛盾？計算本身的問題如何解決？
我們發現，為了體現計算與應用的密切聯系，在計算教學時不少教師總是從實際問題引入，在學生初步理解了算理后，馬上就去解決大量的實際問題。表面上看，學生的應用意識得到了培養，但另一方面我們也發現，學生常常是算式列對了，計算錯誤率卻很高。一段時間下來，學生的計算能力并未達到目標，于是再反過來進行大量的訓練，使得不少學生短時間內似乎計算正確率和速度提高不少，但實際上違背了學生的認知規律，學生的計算技能并沒有實質性的提高，更為嚴重的是，這種簡單化的處理大大挫傷了學生的學習熱情。
教育心理學認為，計算是一種智力操作技能，而知識轉化為技能是需要過程的，計算技能的形成具有自身獨特的規律。學生計算技能的形成一般要經歷四個階段，即：認知階段、分解階段、組合階段、自動化階段。認知階段主要是讓學生理解算理、明確方法，這比較容易做到，而后面三個階段常常被老師們忽視。一般說來，復雜的計算技能總是可以分解為單一技能，對分解的單一技能進行訓練逐漸組合，才能形成復合性技能，再通過綜合訓練就可以達到自動化階段。
誠然，過去計算教學中單調、機械的大量重復性的過度訓練是要不得的，但是，在計算教學時只注重算理理解和解決實際問題，對計算技能形成的過程如晴蜓點水一帶而過，也是不利于培養學生的計算能力的。特別需要指出的是，在學生初步理解算理、明確算法后，不必馬上去解決實際問題，因為這時正是計算技能形成的關鍵階段，應該根據計算技能形成的規律，及時組織練習。具體地說，可以先針對重點、難點進行專項和對比練習，再根據學生的實際體驗，適時縮減中間過程，進行歸類和變式練習，最后再讓學生面對實際問題，掌握相應的策略。
總之，計算教學的基本矛盾的平衡對于數學課程改革的成敗有重要的影響，數學課程改革的深入推進也對計算教學的基本矛盾起著緩和或激化的作用。計算教學的基本矛盾也會出現不同的表現形式。在處理這些矛盾時，應該從數學教育本質出發，在大膽創新的同時，吸取傳統教學中的優勢，以計算教學基本矛盾的平衡為導向，促進計算教學的深入改革，為切實提高學生的計算能力和數學素養打好基礎。
