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                負(fù)整數(shù)

         分?jǐn)?shù)

                負(fù)分?jǐn)?shù)

（正整數(shù)和0統(tǒng)稱為自然數(shù)）

與以往相比，這個規(guī)定蘊含的主要變化有：（1）明確規(guī)定了0是自然數(shù)。過去教材把“用來表示物體個數(shù)的1，2，3，4，…的數(shù)，叫做自然數(shù)”。“0和自然數(shù)都是整數(shù)。”而現(xiàn)在則是：正整數(shù)和0統(tǒng)稱自然數(shù)。（2）增加了認(rèn)識負(fù)整數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，從而在小學(xué)階段完成了對整數(shù)的認(rèn)識。

二，整數(shù)的認(rèn)識。

首先認(rèn)識自然數(shù)，是因為生活中存在著各種各樣不同的數(shù)量，學(xué)生在入學(xué)前，就有了一定的生活經(jīng)驗。通過數(shù)數(shù)，在認(rèn)識最基本的數(shù)學(xué)符號1，2，3，…的同時知道自然數(shù)的作用是用來表示物體的個數(shù)。初步體會數(shù)學(xué)的作用和特征，即數(shù)學(xué)可以解決生活中有關(guān)數(shù)及其關(guān)系的問題以及數(shù)學(xué)的抽象性和符號性。

教材處理自然數(shù)的認(rèn)識大致可以分為四大塊：認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)、認(rèn)識比100大的數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)、認(rèn)識負(fù)數(shù)。在安排認(rèn)識100以內(nèi)數(shù)的時候，大多教材都會細分為三個階段：第一階段：認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)（含10以內(nèi)數(shù)的加減）。第二階段：認(rèn)識11——20之間的各數(shù)（含20以內(nèi)數(shù)的加減）。第三階段：認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)（含相應(yīng)的加減和表內(nèi)乘除）。

認(rèn)識比100大的數(shù)，不同版本有不同的處理。人教版和北師大版教材分兩段完成：（1）認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)；（2）認(rèn)識萬級、億級的數(shù)。蘇教版教材分三段完成：（1）認(rèn)識千以內(nèi)的數(shù)；（2）認(rèn)識萬以內(nèi)的數(shù)；（3）認(rèn)識萬級、億級的數(shù)。

“因數(shù)與倍數(shù)”的教學(xué)既幫助學(xué)生進一步理解和認(rèn)識整數(shù)，又為分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)提供準(zhǔn)備，一般另設(shè)單元，放在教材適當(dāng)?shù)奈恢谩?/span>

“認(rèn)識負(fù)數(shù)”一般另設(shè)一個單元，放在教材的某一冊中。

1，認(rèn)數(shù)教學(xué)以理解數(shù)的意義為重點。

讓學(xué)生理解數(shù)的意義、建立正確的數(shù)的概念是認(rèn)數(shù)教學(xué)的任務(wù)。理解數(shù)的意義一般有兩個角度：一是從數(shù)的組成去建構(gòu)，二是聯(lián)系實際來體會。傳統(tǒng)教學(xué)偏重前者，新課程則認(rèn)為把這兩個角度有機地結(jié)合起來效果更好。而且聯(lián)系實際體會數(shù)的意義，更有利于學(xué)生在現(xiàn)實生活中應(yīng)用自己認(rèn)識的數(shù)。

理解數(shù)的意義包括：

數(shù)的含義。如：認(rèn)識整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)，探索各種數(shù)之間的聯(lián)系，會進行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的相互轉(zhuǎn)化；能感受大數(shù)的意義并進行估計；知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。

計數(shù)技能。如：能認(rèn)、讀、寫數(shù)；會用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置；認(rèn)識數(shù)位，了解十進制計數(shù)法，識別數(shù)位上數(shù)字的意義。

數(shù)的相對大小關(guān)系。如：認(rèn)識“＜，=，＞”的含義，能夠用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大小；會比較小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)大小。

數(shù)學(xué)交流。如：能運用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并進行交流；在熟悉的生活場景中，了解負(fù)數(shù)的意義，會用負(fù)數(shù)表示生活中一些常見的問題。

數(shù)學(xué)活動。如：能找出10以內(nèi)某個自然數(shù)的小于100的所有倍數(shù)，知道2，3，5的倍數(shù)特征；能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)、最小公倍數(shù)；能找出1——100中某個自然數(shù)的所有因數(shù)；能找出兩個數(shù)的公因數(shù)、最大公因數(shù)。

（1）讓學(xué)生在生動具體的情境中認(rèn)識數(shù)。

小學(xué)生，尤其是低年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極性，在一定程度上取決于他們對學(xué)習(xí)素材的感受與興趣。現(xiàn)實的、有趣的、具有挑戰(zhàn)性的問題情境，容易激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識，激起學(xué)習(xí)的愿望，調(diào)動學(xué)生解決問題的策略與機智。因此這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)該注意從學(xué)生熟悉的生活情境或童話世界出發(fā)，選擇學(xué)生身邊的、生動有趣的、有利于學(xué)生主動探索的事物，創(chuàng)設(shè)鮮明的問題情境。

案例1：“0的認(rèn)識”（江蘇  談曉曄  郭慶松）

①（出示0的卡通形象）“0”自我介紹說：“小朋友，我的名字叫零，我神通廣大，無處不在。想想你在哪兒見過我呢？”（讓學(xué)生盡情地說。）

②“0”接著說：“那么你們知道我可以表示哪些意思呢？”（讓學(xué)生說說自己對0的認(rèn)識。）

③今天這節(jié)課我們來認(rèn)識0。

提示課題：0的認(rèn)識。

●創(chuàng)設(shè)情境，探究新知。

①教師講述：“在一個天氣晴朗的星期天，四只小兔約好了到野外去采蘑菇，我們來看看，它們分別采了多少個蘑菇。”（出示下圖）

讓學(xué)生思考每只小兔采的蘑菇可以用哪一個數(shù)來表示。

學(xué)生介紹時，教師對應(yīng)寫出3，2，1，0。教師在寫0時，注意動作慢一點，讓學(xué)生看清楚0是怎么寫的。同時強調(diào)說明，“一個也沒有”用0表示，0與1，2，3一樣也是一個數(shù)。

②先出示下圖，讓學(xué)生想一想，兩幅圖表示怎樣的一件事情，再跟同桌說一說。

提問：“原來的蘿卜數(shù)用什么數(shù)表示？現(xiàn)在呢？”教師強調(diào)一個蘿卜也沒有用0表示。

“你會寫0嗎？”讓學(xué)生先想一想怎樣寫0，再讓學(xué)生嘗試在“日”字格里書寫0。

教師引導(dǎo)全班對幾個同學(xué)的書寫作出評價，同時教師強調(diào)寫0時的起筆、拐彎和收筆，強調(diào)拐彎要圓滑。

學(xué)生獨立完成書本上的描紅后繼續(xù)在田字格里寫出兩個0，教師巡視，注意對個別困難學(xué)生進行指導(dǎo)。

學(xué)生在小組內(nèi)互相對所寫的0進行評價。

③教師：“通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道0這個數(shù)可以表示什么？是不是所有的0都表示一個都沒有呢？請同學(xué)們拿出自己的直尺，看一看直尺開始的地方是幾？”

講述：“在這里0表示起點，用尺子量長度時，從0 開始量起。”

談話：“直尺上的數(shù)是怎樣排列的？請你從左到右依次讀一讀。”

④小結(jié)：“通過剛才的學(xué)習(xí)，你能說說0能表示什么意思嗎？”

這節(jié)課的特色有以下幾點：一是創(chuàng)設(shè)了生動有趣的情境，以情境支撐數(shù)的理解。二是數(shù)形結(jié)合，利用實物、圖片幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。在教學(xué)中，通過數(shù)與物一一對應(yīng)的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體物體的多少到抽象出數(shù)的過程，幫助學(xué)生理解數(shù)。三是濃縮數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程，突出“0”的教學(xué)。我們知道，在早期的美索不達米亞數(shù)學(xué)時代就有使用60進制計數(shù)法的記錄，然而到了希臘數(shù)學(xué)的黃金時代卻一度失去了它的魅力，直到公元8世紀(jì)鳊數(shù)學(xué)家認(rèn)識到“0”的作用后，才真正獲得位值概念的基礎(chǔ)。從數(shù)字1——9到數(shù)字“0”的產(chǎn)生，這期間經(jīng)歷了若干世紀(jì)的發(fā)展歷程，學(xué)生卻要在短短的一課時內(nèi)解決，因此頗費心思。在本節(jié)課中，教師通過讓學(xué)生觀察物體數(shù)量從有到無的過程，分析數(shù)的變化，進而選擇合適的數(shù)值表示……這一系列過程幫助學(xué)生去認(rèn)識“0”；然后從理解“0”的意義到寫“0”，再到“0”還可以表示其他的意義這些教學(xué)環(huán)節(jié)，為學(xué)生提供了在自主探索、比較、分析、判斷、概括的思維活動中體驗、理解、掌握知識。即使是寫數(shù)字，也要讓學(xué)生動腦筋想一想如何寫，然后再書寫，讓學(xué)生養(yǎng)成有步驟地思考問題、解決問題的習(xí)慣，在獨立思考、合作交流中完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

結(jié)合情境認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)，是認(rèn)數(shù)的開始，這階段的教學(xué)對建立數(shù)的概念十分重要。有的老師認(rèn)為，許多學(xué)生入學(xué)前都已經(jīng)會數(shù)數(shù)了，現(xiàn)在只要寫好數(shù)就行了。其實不然，教學(xué)10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識應(yīng)注意：①物體個數(shù)與數(shù)一一對應(yīng)，不能允許口中按順序數(shù)數(shù)，卻不能與物體個數(shù)對應(yīng)。②物體個數(shù)與數(shù)字一一對應(yīng)，每個不同的數(shù)量與不同的數(shù)學(xué)符號（數(shù)字）對應(yīng)。③注意選擇不同的情境和不同的學(xué)具，幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。如3可以表示所有數(shù)量是3個的物體，而與物體的大小、形狀、質(zhì)量等狀態(tài)無關(guān)。④知道數(shù)的作用不但可以用來表示數(shù)量的多少（基數(shù)），還可以表示順序（序數(shù)）和編碼，如3可以表示有3個物體，也可以表示第3個物體。

（2）理解數(shù)的意義要與數(shù)的讀寫和計算緊密結(jié)合起來。

首先，正確理解數(shù)的意義是讀好數(shù)、寫好數(shù)的基礎(chǔ)，可使學(xué)生在讀數(shù)、寫數(shù)時事半功倍。例如：在認(rèn)識整百數(shù)時，可讓學(xué)生經(jīng)歷以下過程：

①親身經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，真正感受100有多少。可以讓學(xué)生數(shù)小棒、小方塊或其他各種不同物體，一個一個地數(shù)，十個十個地數(shù)。親身經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過程，比起看課件演示或聽老師口頭描述，更有利于學(xué)生形成數(shù)感。

②經(jīng)歷100個一到1個一百的過程，建立計數(shù)單位的概念。親自動手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，經(jīng)歷100個一到1個一百的過程，建立以“百”做計數(shù)單位的概念。

③經(jīng)歷1個一百到幾個一百的過程。把各自的一百放到一起，就是幾個一百，通過合作得到幾百。由于有前面數(shù)數(shù)的經(jīng)歷，容易使學(xué)生明白：幾個一百是幾百，幾百就是幾百個1。

④借助計數(shù)器上的算珠與實物的對比，體會一個算珠放在不同的位置上，可以表示1個（1根小棒）、10個（10根小棒或1小捆小棒）、100個（100根小棒或10小捆小棒、1大捆小棒），實現(xiàn)以一當(dāng)十、當(dāng)一百的飛躍。

⑤實物、算珠與寫數(shù)、讀數(shù)對比。如真正含有300根小棒的3大捆小棒，與計數(shù)器百位上的3個算珠，和寫法300對照起來，最終完成對幾百的認(rèn)識。

在活動中，學(xué)生體會到同一個數(shù)字在不同數(shù)位上表示的數(shù)值是不同的，初步滲透位值思想，幫助學(xué)生進一步理解數(shù)，從而達到更好地掌握數(shù)的讀寫的目的。

反之，熟練地讀數(shù)、寫數(shù)，也能更好地幫助學(xué)生理解數(shù)的意義。例如：在認(rèn)識整萬數(shù)時，教材介紹了我國的計數(shù)習(xí)慣，根據(jù)已有知識，給出各個數(shù)位的名稱和順序，讓學(xué)生聯(lián)系數(shù)的意義，通過類比，推出數(shù)位的名稱及順序，認(rèn)識新的計數(shù)單位，完善對數(shù)位順序表的認(rèn)識。

教材編排一般是先認(rèn)識一個范圍的數(shù)，接著就是學(xué)習(xí)這個范圍內(nèi)的數(shù)的有關(guān)運算。所以認(rèn)識數(shù)的教學(xué)必須為數(shù)的運算的教學(xué)作鋪墊。讀寫教學(xué)中要注意：①在低年級，對數(shù)的分解和組成，要作為基本的技能來訓(xùn)練；在高年級，要在讀寫中體會數(shù)的分解與組成。②讀寫數(shù)教學(xué)的重點是萬以內(nèi)數(shù)的讀法和寫法。③讀寫數(shù)教學(xué)的難點是多位數(shù)的讀法和寫法，特別是中間有0的數(shù)的讀、寫。突破的方法是先分級，再從高往低逐級讀，實在了讀法，寫法也就不難了。

現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書大多沒有用文字形式總結(jié)多位數(shù)的讀法和寫法，這并不是不重視讀數(shù)與寫數(shù)的基本方法，而是為教學(xué)留出空間，由教師組成學(xué)生體驗方法、交流方法。學(xué)生總結(jié)的方法是自己真實的體會和經(jīng)驗，是主動獲得知識的表現(xiàn)。

2，了解十進制計數(shù)法對理解數(shù)的意義有重要作用。

整數(shù)的計數(shù)方法是十進制計數(shù)法，學(xué)生了解十進制計數(shù)法對理解整數(shù)的意義有重要的作用。十進制計數(shù)法的主要內(nèi)容有兩部分：一是計數(shù)單位間的關(guān)系——每相鄰兩個計數(shù)單位間的進率是10；二是計數(shù)法的位值原則——哪一個數(shù)位上的數(shù)是幾，就表示有幾個這樣的單位。

（1）認(rèn)識10是關(guān)鍵。

學(xué)生從認(rèn)識1，2，3…起，老師就應(yīng)幫助學(xué)生體會，數(shù)字是用來表示生活中各種不同的數(shù)量的，每一個不同的數(shù)量，都用一個不同的符號（數(shù)字）來表示。當(dāng)數(shù)量從9增加1到了10，按理應(yīng)該用一個新的符號來表示，但這樣一來，如果每一個不同的數(shù)量，都用一個不同的符號（數(shù)字）來表示，就需要有無限多的符號。前人在9的后面用“10”來表示，沒有創(chuàng)造使用新符號，而是例行了一個數(shù)位，十位上的“1”就代表10，這樣就方便多了，一個10和幾個1是十幾，就有了11，12，13…，這就是位值制的基礎(chǔ)。這樣，0到9十個數(shù)字就可以表示出生活中無限多的物體的個數(shù)。這個創(chuàng)造太科學(xué)了，可以讓學(xué)生從中體會到數(shù)學(xué)的抽象性與符號性的好處。所以，教學(xué)中建立好10的概念非常重要。

（2）按單位數(shù)數(shù)。

為幫助學(xué)生了解十進制計數(shù)法，可以通過一個單位、一個單位地數(shù)，逐步建立新的計數(shù)單位。學(xué)生在學(xué)習(xí)萬以內(nèi)數(shù)的時候，就要明確地知道，10個一是一十、10個十是一百、10個百是一千、10個千是一萬，即10個單位就是一個相鄰的較大單位。學(xué)習(xí)比萬大的數(shù)，可以一邊數(shù)一邊接受10個萬是十萬、10個十萬是一百萬、10個百萬是一千萬，從而引出了新的計數(shù)單位十萬、百萬和千萬。一千萬一千萬、一億一億、十億十億…地數(shù)，教學(xué)計數(shù)單位億、十億、百億和千億。在一個單位、一個單位地數(shù)的活動中，學(xué)生充分體會每數(shù)滿10個單位就產(chǎn)生一個新的計數(shù)單位，感受了兩個相鄰計數(shù)單位間的進率都是10。

（3）不斷擴展數(shù)位順序表。

隨著認(rèn)識的數(shù)越來越大，教師應(yīng)不斷擴充完善數(shù)位順序表。從認(rèn)識10～20的數(shù)起，就讓學(xué)生了解個位和十位。認(rèn)識百以內(nèi)數(shù)時，及時補充認(rèn)識百位。在“認(rèn)識萬以內(nèi)數(shù)”的時候，第一次出現(xiàn)了數(shù)位順序表。在認(rèn)識整數(shù)的最后一個單元里，學(xué)生將認(rèn)識萬級和億級的數(shù)以及比億更大的數(shù)。數(shù)位順序表可以分兩次擴展，先擴展到萬級，把十萬、百萬、千萬這三個計數(shù)單位引上計數(shù)器，了解個、十、百……千萬在計數(shù)時的排列順序。然后讓學(xué)生在數(shù)位順序表里填寫十萬位、百萬位和千萬位，通過填寫知道從個位到千萬位的數(shù)位順序，初步把這些數(shù)位分成個級和萬級。再擴展到億級，表里的內(nèi)容也豐富了，有數(shù)級、數(shù)位、計數(shù)單位。教材把億級及相關(guān)的數(shù)位、計數(shù)單位都留給學(xué)生填寫，讓他們知道數(shù)級、數(shù)位和計數(shù)單位間的對應(yīng)關(guān)系。在整理了數(shù)位順序表后，還應(yīng)通過“每相鄰兩個計數(shù)單位之間有什么關(guān)系”這個問題，概括地講述十進制計數(shù)法。

體會位值原則，有助于學(xué)生了解十進制計數(shù)法，理解數(shù)的意義并掌握讀數(shù)、寫數(shù)的方法。

下面的案例2中，教師通過組織學(xué)生玩抽簽游戲，使學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實的素材，自己理解和解釋不同位值上的數(shù)所表示的意義，既有趣，又充滿了數(shù)學(xué)的味道。

案例2：“萬以內(nèi)數(shù)的大小比較”教學(xué)片斷

●第一次抽簽，從個位抽起。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②第一次抽到的數(shù)字放在個位上，第二次抽到的放在十位上，第三次……③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏；④能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束。

師：我們把全班同學(xué)分為兩個隊，一個叫黃河隊，另一個叫長江隊。請兩位同學(xué)代表來抽簽。

（黃河隊抽到3，長江隊抽到8。把3與8的卡片分別貼到個位上。）

師：現(xiàn)在能定勝負(fù)嗎？可以玩下一輪了嗎？

生1：雖然8比3大，但還不能確定勝負(fù)。

師：為什么？

生2：因為8是代表8個1，3是代表3個1，如果其他數(shù)位上的數(shù)字兩隊都一樣，就可能贏。

師：那我們接著抽吧！

（黃河隊抽到9，長江隊抽到5。把9與5的卡片分別貼到十位上。）

師：目前哪個隊抽到的數(shù)比較大呢？

生1：黃河隊。

師：現(xiàn)在能定勝負(fù)嗎？

生1：還要看百位。

師：是不是抽了百位就可以定勝負(fù)了呢？

生3：還不行。

生4：要所有的位都抽出來，才知道誰能贏！

學(xué)生抽出結(jié)果后，教師板書：4593＜7358。

師：長江隊贏了！請大家像老師這樣做好記錄。

師：通過剛才的游戲，你有什么話想說？

師：最關(guān)鍵的一抽是哪一抽？為什么？是不是還可以這樣想：一個是4000多，5000不到，另一個已是7000多了，當(dāng)然7000多的大。（一起把4和7圈上）

師：假如黃河隊的千位上抽的也是7呢？7593和7358怎樣比較？

生：如果千位的數(shù)一樣，就看百位，百位上的數(shù)大這個數(shù)就大。

師：這時該圈哪兩個數(shù)字？（5和3）

師：如果黃河隊的千位上抽的是0呢？該怎么比較？

●第二次抽簽，從千位抽起。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②第一次抽到的數(shù)字放在千位上，第二次抽到的放在百位上，第三次……③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏；④能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊抽到8，長江隊抽到5。把8與5的卡片分別貼到千位上。）

師：讓我們接著抽。

生：不用抽了。黃河隊贏了，因為8個千比5個千大。

師：假如長江隊百位上抽到9，黃河隊百位上抽到6，能贏回來嗎？

生1：不能。因為百位就是抽到9，也只代表900，都不夠1000，而剛才黃河隊比長江隊多3000。

師：百位、十位和個位都抽到9呢？

生2：老師，不用再抽了，勝負(fù)已經(jīng)知道了。玩下一輪吧！

師：記錄還是要做的，怎么寫？

生：8□□□＞5□□□。

●第三次抽簽，由抽簽者自己決定放在哪一位上。

游戲規(guī)則：①每次兩隊各派一個代表抽簽；②每一次抽到的數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上；③哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏；④能確定勝負(fù)時，本輪比賽結(jié)束。

（黃河隊抽到3，學(xué)生把3放到個位上，長江隊抽到7，學(xué)生把7放到百位上。）

師：請你們說說，為什么這樣放？

生1：我抽到的3太小了，放在個位比較好，讓出高位給大數(shù)字。

生2：我抽的7比較大，本來想放到千位，但要是等一下，我們組還有人手氣比我好，抽到8或9，放在千位更好，所以把7放在百位。

師：要是等一下抽到的數(shù)都比8小，怎么辦？

生2：那也沒辦法，博一博唄！

生3：也不一定輸，還得看第三組抽到什么數(shù)。

……

生：黃河隊贏了，因為9853＞6728。

師：請同學(xué)們小組交流剛才大家提出的問題：①比較的方法；②數(shù)位相同時怎樣比較；③萬以內(nèi)數(shù)的比較和千以內(nèi)數(shù)的比較有什么不同；④比較的時候有沒有簡便的方法。

師：該老師玩一玩了。我抽出四個數(shù)字，幫我記一下：3，9，2，6。用這四個數(shù)字組成一個最大的四位數(shù)是多少？最小的呢？你能組成第二大的或第二小的嗎？

在一些課堂上，老師通常把知識怎樣發(fā)生的、問題怎樣解決以及解決的策略和結(jié)果都通過講解呈現(xiàn)給學(xué)生。具體到比較數(shù)的大小，一般是先教比較數(shù)的大小的方法，再運用這個法則判斷兩個數(shù)的大小。而這節(jié)課另辟蹊徑。教師創(chuàng)設(shè)情境，利用比賽的形式，激起學(xué)生的求知欲望，脫離枯燥的比較數(shù)的大小的方法，以對數(shù)的意義和位值原理的理解支撐數(shù)的相對大小關(guān)系的比較。教師利用任務(wù)驅(qū)動的方式，設(shè)置富有挑戰(zhàn)性的教學(xué)內(nèi)容（哪一隊抽到的數(shù)字組成的四位數(shù)大，哪一隊就贏），讓學(xué)生在解決問題中感受數(shù)的意義，發(fā)展數(shù)感；教師設(shè)計的游戲規(guī)則饒有深意——①第一次從低位抽起；②第二次從高位抽起；③第三次每抽到一個數(shù)字由抽簽者自己決定放在哪一位上。游戲中教師讓學(xué)生充分交流，讓學(xué)生在游戲中自我完善對數(shù)的相對大小的認(rèn)識，在不斷的比較中優(yōu)化、加深了對數(shù)位、計數(shù)單位、十進制的認(rèn)識，強化對數(shù)的理解。整節(jié)課中，沒有教學(xué)比較大小的方法，但每抽出一個數(shù)位上的數(shù)，會引起孩子們的關(guān)注和思考，老師抓住這種時機及時讓他們討論（現(xiàn)在能定勝負(fù)嗎？可以玩下一輪了嗎？最關(guān)鍵的一抽是哪一抽？為什么？），這樣，數(shù)的大小比較法則背后的道理就由學(xué)生分析出來了。游戲后，老師及時讓學(xué)生總結(jié)比較兩個四位數(shù)的大小的方法，由于有了前面的活動和討論，學(xué)生就有了要說的話：“比較兩個位數(shù)相同的數(shù)的大小，先比較它們的最高位……”這樣抽象的法則，變成了學(xué)生生動的語言。

3，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中形成數(shù)感。

“數(shù)感”主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達的交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎY(jié)果的合理性作出解釋。

“數(shù)感”并不神秘。它是人對數(shù)與運算的一般理解，這種理解使人將數(shù)與現(xiàn)實情境聯(lián)系起來，使人眼中看到的世界有了量化的意味。

“數(shù)感”十分重要。它關(guān)系到人的數(shù)學(xué)意識，即能用數(shù)學(xué)的視角去觀察現(xiàn)實，能以數(shù)學(xué)的思維研究現(xiàn)實，能用數(shù)學(xué)的方法解決實際實際問題。一句話，它關(guān)系到人擁有的數(shù)學(xué)知識是“活”的還是“死”的。

“數(shù)感”需要培養(yǎng)。數(shù)感與具有數(shù)學(xué)知識的多少、與理解數(shù)學(xué)知識的程度有關(guān)，但絕不是正比例關(guān)系。數(shù)感更多地表現(xiàn)為應(yīng)用數(shù)與運算的態(tài)度與意識，突出表現(xiàn)為主動、自覺地應(yīng)用。小學(xué)生的數(shù)感與有沒有得到培養(yǎng)成正相關(guān)。這種培養(yǎng)需要老師的精心設(shè)計。

4，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要和作用。

除了“空間觀念”曾被列入原《大綱》外，數(shù)感、符號感、統(tǒng)計觀念等都是由《標(biāo)準(zhǔn)》首次明確地列為數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容。《標(biāo)準(zhǔn)》把數(shù)學(xué)思考落實到建立初步的兩“感”、兩“觀念”上，落實到學(xué)生認(rèn)識并掌握重要的數(shù)學(xué)知識的過程中。

符號感主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表現(xiàn)；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達的問題。

符號感是人對符號的意義、符號的作用的理解以及主動地使用符號的意識和習(xí)慣。這里包含三層意思：一是理解各種數(shù)學(xué)符號的意義，即表示什么意思，在什么時候使用以及怎樣使用，這是發(fā)展符號感的基礎(chǔ)。二是理解數(shù)學(xué)符號的作用與價值：為什么使用符號、有哪些好處，這是發(fā)展符號感的重點。三是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)時，在獨立思考和與人交流時，都能經(jīng)常地、主動地甚至創(chuàng)造性地使用符號，這是具有符號感的表現(xiàn)。

發(fā)展學(xué)生的符號感可以從以下幾方面進行：

（1）結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，體會數(shù)學(xué)符號的作用。

常見的數(shù)學(xué)語言有文字語言和符號語言，符號語言是在文字語言的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，它把文字語言的主要內(nèi)容以直觀、形象的方式簡練地表示出來，方便人們進行表達、交流、思考以及解決問題。

教學(xué)常用的數(shù)學(xué)符號，首先要注意結(jié)合具體的情境，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要，體會由于使用符號，才能清楚、簡便地表達這些具體情境中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。數(shù)學(xué)符號為我們進行表達和交流帶來了便捷。其次要在具體的情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號表示，使學(xué)生認(rèn)識符號、會用符號，體會到符號是語言的一種形式，數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)語言的一部分。

（2）參與創(chuàng)造符號，體會符號發(fā)展過程。

數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)教科書里有很多。如表達大小關(guān)系的符號“＜”，“＞”和“=”；表達運算的符號“＋”，“－”，“×”，“÷”；表達運算順序的小括號、中括號；0，1，2，3，…，9是數(shù)字符號，它們能組成無數(shù)個數(shù)；小數(shù)點、分?jǐn)?shù)線、百分號、千分號等是特定的數(shù)學(xué)符號；字母也可以作為符號，用來表達數(shù)量關(guān)系、計算公式……這些符號是人們公認(rèn)的，習(xí)慣使用的，屬于數(shù)學(xué)事實。

當(dāng)學(xué)生在具體的情境中體會到需要符號的時候，先讓學(xué)生經(jīng)歷自己創(chuàng)造數(shù)學(xué)符號的過程，體會到數(shù)學(xué)符號原來并不神秘，是人創(chuàng)造的，在長期的生產(chǎn)生活中不同的符號在使用時逐步發(fā)展統(tǒng)一成現(xiàn)在的符號。這也能幫助學(xué)生形成符號感。

數(shù)學(xué)符號的教學(xué)，教師一般比較多地采取簡單告訴的方法，容易使學(xué)生對數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生神秘感。下面的案例中，老師就很好地幫助學(xué)生消除了這種神秘感。

案例3：“循環(huán)小數(shù)”教學(xué)片斷

師：（指板演題）“3.333…”中不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪一個？（3）在“5.32727……”中依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（2，7）在“6.416416……”中不斷地重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字是哪幾個？（4，1，6）

師：我們能不能想一個辦法，讓循環(huán)小數(shù)的寫法簡單一些，比如，去掉省略號，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字只寫一次，也依然能讓人看出這個循環(huán)小數(shù)的意思？

……

生1：我想了一個辦法，3.333…寫作3.(3)；5.32727…寫作5.3(27)；6.416416…寫作6.(416)。

生2：我的辦法是，3.333…寫作3.3；5.32727…寫作5.327；6.416416…寫作6.416。

生3：我的辦法是，3.333…寫作3.（無限）；5.32727…寫作5.3（無限）；6.416416…寫作6.（無限）。

生4：我的辦法是，3.333…寫作3.3（3無限）；5.32727…寫作5.327（27無限）；6.416416…寫作6.416（416無限）。

生5：我的辦法是，3.333…寫作

師：你認(rèn)為哪種符號比較好？

生1：不要有漢字比較好。

生2：第五種辦法比較好，簡潔明了。

生3：我認(rèn)為

教師不急于把簡便寫法告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生自己想辦法去創(chuàng)造符號，使學(xué)生在想辦法的過程中體會到數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生的需要，體會到數(shù)學(xué)知識中符號是一種約定俗成，符號不再那么神秘，而當(dāng)有些學(xué)生的思路接近數(shù)學(xué)上的約定俗成時，他們體會到的是一種學(xué)習(xí)成功的滿足。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生對所創(chuàng)造的符號進行認(rèn)論，進一步體會數(shù)學(xué)符號簡捷明了的特點。

（3）鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地使用自己的獨特符號。

數(shù)學(xué)符號中還有一類不容忽視。這類符號只屬于個人，是個人創(chuàng)造并習(xí)慣使用的。這類符號更有利于人開展數(shù)學(xué)思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和找到解決問題的方法，更便于表達和交流。在過去的數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往忽視了這一類數(shù)學(xué)符號。在使用自己的符號時，最能體會符號的價值，最能感受符號對自己思維的幫助，也最能積累使用符號的經(jīng)驗。這些正是符號感最重要的部分。所以應(yīng)盡量鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地使用自己的獨特符號。

5，幫助學(xué)生認(rèn)識負(fù)數(shù)，實現(xiàn)認(rèn)識數(shù)的質(zhì)的飛躍。

現(xiàn)實世界中存在著許多具有相反方向的量，或某種量的增大和減小，也可用這種量的某一狀態(tài)為標(biāo)準(zhǔn)，把它們看作是向兩個方向變化的量。要確切地表示這種具有相反方向的量，僅僅運用原有數(shù)（自然數(shù)和分?jǐn)?shù)）就不夠了，還必須把這兩個互為相反的方向表示出來，于是產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。數(shù)從表示數(shù)量的多少到不但表示數(shù)量的多少，還表示相反方向的量，是數(shù)的發(fā)展的一個飛躍，老師要幫助學(xué)生完成這個飛躍。

正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識，過去安排在中學(xué)有理數(shù)中學(xué)習(xí)，《標(biāo)準(zhǔn)》高速安排在小學(xué)的第二學(xué)段初步認(rèn)識負(fù)數(shù)，有利于完整地建立整數(shù)的概念。教學(xué)時要注意：（1）通過豐富多彩的現(xiàn)實生活情境，幫助學(xué)生了解負(fù)數(shù)的意義。（2）借助直觀，理解相反的分界點與“0”的關(guān)系。知道0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。（3）通過分步呈現(xiàn)數(shù)軸（不用告訴數(shù)軸名稱）等辦法，使學(xué)生認(rèn)識到正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0。

案例4：“認(rèn)識負(fù)數(shù)”教學(xué)片斷（江蘇  繆宇虹）

老師搜集了某天四個城市的最低溫度資料，并用溫度計圖片顯示：香港19攝氏度，請學(xué)生認(rèn)讀香港的最低氣溫，并介紹如何讀溫度計。此后依次出示上海（3攝氏度）與南京（0攝氏度）的溫度計圖片，請學(xué)生分別認(rèn)讀，并進行比較。再提問：在數(shù)學(xué)上怎樣區(qū)分零上3攝氏度和零下3攝氏度呢？教師講解：規(guī)定零上3攝氏度記作+3攝氏度或3攝氏度，規(guī)定零下3攝氏度記作-3攝氏度。然后詳細介紹讀法和寫法。最后總結(jié)：“現(xiàn)在，我們可以說那一天上海的氣溫是+3℃，北京的氣溫是-3℃……”

●感知生活中的正數(shù)和負(fù)數(shù)。

師：新疆吐魯番是我國海拔最低的地區(qū)，你知道它的海拔高度是多少？

出示海拔高度圖：

教師依次提問：“從圖中你知道了什么？”“以海平面為標(biāo)準(zhǔn)，珠穆朗瑪峰比海平面高，吐魯番盆地比海平面低。”“你能用今天學(xué)的知識表示這兩個地方的海拔高度嗎？”最后小結(jié)：“用正負(fù)數(shù)還可以區(qū)分海平面以上的高度和海平面以下的高度。”

此后請學(xué)生做如下練習(xí)：

（1）用正數(shù)或者負(fù)數(shù)表示下面各地的海拔高度。（出示海拔高度圖）

中國最大的咸水湖——青海湖的海拔高度高于海平面3139米。

世界最低最咸的湖——死海低于海平面400米。

世界海拔高度最低的國家——馬爾代夫比海平面高1米。

（2）說說下面的海拔高度是高于海平面還是低于海平面？

里海是世界上最大的湖，水面的海拔高度是-28米。

太平洋的馬里亞納海溝是世界上最深的海溝，最深處海拔-11034米。

●描述正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義。

出示：+3，-3，40，-12，-400，-155，+8848

師：你能將這些數(shù)分分類嗎？

師：像+3，40，+8848這樣的數(shù)都是正數(shù)，像-3，-12，-400，-155這樣的數(shù)都是負(fù)數(shù)。

師：從溫度計上觀察，0攝氏度以上的數(shù)都是正數(shù)，0攝氏度以下的數(shù)都是負(fù)數(shù)。海平面以上的數(shù)都是正數(shù)，海平面以下的數(shù)都是負(fù)數(shù)。

師：0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0。

●尋找生活中的正數(shù)和負(fù)數(shù)。

師：在生活中，哪里見過負(fù)數(shù)？

學(xué)生說出存折、電梯面板等等，老師要求學(xué)生說明這些負(fù)數(shù)的意思。

師：（電腦出示有關(guān)圖片）像零攝氏度以上與零攝氏度以下、海平面以上和海平面以下、地面以上和地面以下、存入和取出、比賽的得分和失分、股價的上漲和下跌等等，都是具有相反意義的量，都可以用正負(fù)數(shù)來表示。課后請同學(xué)們搜集有關(guān)負(fù)數(shù)在生活中應(yīng)用的資料，下節(jié)課來交流。

三、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。

在表達平均分的結(jié)果的時候，遇到了分的結(jié)果比1還要小的情況，比如一半、小半、大半等，如何表示這樣的結(jié)果呢？這時候只有自然數(shù)顯然是不夠的，于是引進了分?jǐn)?shù)。這時候認(rèn)識的分?jǐn)?shù)，都是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的。這就是“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”。后來擴展到不但可以把一個物體平均分，如果把一些物體、一個計量單位等看作一個整體，平均分以后，其中的一份或者幾份，雖然是一個或幾個，可以用自然數(shù)來表示，但也可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾。這樣建立的分?jǐn)?shù)概念就基本完整了，這也就是教材中的“分?jǐn)?shù)的意義”。

分?jǐn)?shù)的意義與運算的教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。分?jǐn)?shù)的意義對于小學(xué)生來說是個比較抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排，分兩次完成對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，加上最后認(rèn)識的百分?jǐn)?shù)，對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識分成了三個階段：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一般安排在第一學(xué)段；“分?jǐn)?shù)的意義”一般安排在第二學(xué)段；在這兩個單元中認(rèn)識的分?jǐn)?shù)都是正分?jǐn)?shù)。在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的四則運算后，又安排認(rèn)識百分?jǐn)?shù)。

1，在與自然數(shù)的聯(lián)系中借助直觀來初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”，是學(xué)生第一次建立分?jǐn)?shù)的概念，教材安排一般有以下特點：

（1）單位“1”由一個物體組成；即每次平均分的都是1個物體，如一個餅、一個圓等。

（2）只認(rèn)識真分?jǐn)?shù)以及分子分母相等的假分?jǐn)?shù)。因為分得的結(jié)果，每一份都比1小。取一份或幾份或全部，所得的分?jǐn)?shù)都小于1或等于1。

（3）分母都比較小。

（4）不概括分?jǐn)?shù)的定義，只通過直觀描述初步建立分?jǐn)?shù)概念。

由于是對分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，應(yīng)充分運用形象和直觀手段，讓學(xué)生在具體的情境中操作感悟，如通過操作活動初步理解分?jǐn)?shù)，能夠?qū)D與分?jǐn)?shù)相互表示。通常見到的課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）創(chuàng)設(shè)一個平均分的情境引出分?jǐn)?shù)；（2）動手操作（如折紙、涂陰影等）感知和初步理解分?jǐn)?shù)；（3）在練習(xí)（圖與數(shù)相互表示）中鞏固和進一步理解分?jǐn)?shù)。

也有的教師在教學(xué)過程中，不但做到了讓學(xué)生通過操作活動初步理解分?jǐn)?shù)，并能夠?qū)D與分?jǐn)?shù)相互表示，而且還能明確相對大小，感受量變與質(zhì)變的規(guī)律。這類課的課堂結(jié)構(gòu)一般是：

（1）從自然數(shù)過渡到分?jǐn)?shù)；

（2）理解二分之一的含義；

（3）學(xué)習(xí)單位“1”的大小與相應(yīng)二分之一大小的關(guān)系；

（4）在練習(xí)中不斷加深對分?jǐn)?shù)的理解，出現(xiàn)分子與分母相等的分?jǐn)?shù)、零分?jǐn)?shù)等；

（5）歸納解決問題的思路。

案例5：“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”教學(xué)片斷（江蘇  張齊華）

●情境——沖突

出示主題情境圖。

引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）把4個蘋果平均分給2人，每人分得幾個？

（2）把2瓶礦泉水平均分給2人，每人分得幾瓶？

結(jié)合學(xué)生的交流，教師揭示：每份分得同樣多，數(shù)學(xué)上叫做“平均分”。

（3）把1個蛋糕平均分給2人，每人分得多少？

結(jié)合學(xué)生的交流，自然引出“一半”。

（4）每人分得的蘋果、礦泉水可以用以前學(xué)過的數(shù)來表示，那“一半”該用怎樣的數(shù)來表示呢？

學(xué)生交流各自的想法，教師結(jié)合學(xué)生的交流，揭示課題：認(rèn)識分?jǐn)?shù)。

●活動——建構(gòu)

著力建構(gòu)“二分之一”。

（1）直觀感知，初步認(rèn)識。

①引導(dǎo)：我們把蛋糕平均分成了幾份？“一半”是其中的幾份？

揭示：“一半”正好是2份中的1份，可以用

②追問：這一份（指2份中的1份）是蛋糕的

小結(jié)：把一個蛋糕平均分成2份，每份都是它的

（2）動手操作，深化認(rèn)識。

①出示一張長方形紙，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣表示它的

②出示操作要求：先折一折，再用斜線把它的

③學(xué)生動手操作并表示出長方形紙的

④組織學(xué)生交流各自的表示方法。

⑤深究：折法不同，涂色部分的形狀也不同，為什么涂色部分都是長方形的

結(jié)合學(xué)生的交流，教師小結(jié)：不管怎樣對折，只要平均分成2份，每份都是長方形的

（3）觀察判斷，拓展認(rèn)識。

①出示如下四個圖形。引導(dǎo)學(xué)生思考：下列圖形中，哪些圖形的涂色部分可以用

②學(xué)生交流，并說明判斷理由。

③小結(jié)：只有把一個圖形平均分成2份，每份才是這個圖形的

類比遷移，認(rèn)識“幾分之一”。

（1）提問：認(rèn)識了

學(xué)生交流，教師板書學(xué)生交流中提到的部分分?jǐn)?shù)。

（2）引導(dǎo)：能不能也用某個圖形表示出你想認(rèn)識的幾分之一？

學(xué)生動手折長方形、正方形或圓形紙，并給其中的一份涂上顏色，表示幾分之一。

（3）交流：你表示出了幾分之一？你是怎么表示的？

學(xué)生結(jié)合自己的操作活動，交流自己表示的分?jǐn)?shù)及其表示方法。

（4）從學(xué)生中收集長方形、正方形和圓三種不同圖形的

學(xué)生交流，教師引導(dǎo)學(xué)生深入理解：不管什么圖形，只要平均分成4份，其中的每份都是這個圖形的

……

●應(yīng)用——提升

關(guān)于分?jǐn)?shù)的聯(lián)想。（教師依次出示如下三幅圖。）

（1）法國國旗讓你聯(lián)想到了幾分之一？你能具體說說哪一部分大約是法國國旗的

學(xué)生交流并小結(jié)：法國國旗中的每一部分都大約是它的

（2）畫面中的五角星，讓你聯(lián)想到了幾分之一？

（3）圖中的巧克力，讓你聯(lián)想到了幾分之一？

①學(xué)生一般首先會聯(lián)想到

②引導(dǎo)：同樣一塊巧克力，換一個角度觀察，你還能聯(lián)想到幾分之一？

結(jié)合學(xué)生的交流，教師隨機出示如上中圖和右圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考：如果每人分這塊巧克力的

③小結(jié)：同樣一塊巧克力，從不同角度觀察，聯(lián)想到的分?jǐn)?shù)也各不相同。

這節(jié)課，老師創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的郊游、分東西的情境，讓學(xué)生自己在表達分的結(jié)果時體會到：自然數(shù)不能表達這樣一些結(jié)果，于是引出了數(shù)的擴展的需要，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機。在分蘋果、礦泉水和蛋糕這一解決問題的過程中，隨著問題發(fā)展所呈現(xiàn)的思維沖突，又自然引導(dǎo)學(xué)生的思維從“整數(shù)”突圍出來，為學(xué)生實現(xiàn)“由整數(shù)向分?jǐn)?shù)”的自然過渡構(gòu)筑了良好的思維空間。“一半”是學(xué)生的生活經(jīng)驗，而“

“平均分”是初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)，是產(chǎn)生一個分?jǐn)?shù)的前提。教師運用三個教學(xué)策略，強化學(xué)生對“平均分”的重視。第一次是教師巧妙地引導(dǎo)學(xué)生喚醒原有的“平均分”的經(jīng)驗，為初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)做好適宜的認(rèn)知鋪墊；第二次是圍繞不同圖形的

2，分?jǐn)?shù)的意義教學(xué)要著力解決對單位“1”的深入理解。

“分?jǐn)?shù)的意義”這個單元，是讓學(xué)生在對分?jǐn)?shù)有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進一步系統(tǒng)地認(rèn)識分?jǐn)?shù)。其重點是把第一次的初步認(rèn)識進一步擴展。其特點是：（1）單位“1”由“一個”變成“一些”；（2）給出分?jǐn)?shù)的定義。

教學(xué)時，主要突出“也可以把一堆物體看作是一個整體來平均分”的思想。如一堆蘋果，一個班級的人數(shù)，等等，如果看成一個整體也平均分的話，分得的結(jié)果，每份也可以就是這個整體的幾分之一。而這個幾分之一，可能含有一個、兩個或若干個，表述成“表示這樣的一份或幾份的數(shù)是這個整體的幾份之幾”。我們可以通過下面的案例感受教師如何精心設(shè)計教學(xué)過程，解決單位“1”可以由多個物體組成這個教學(xué)難點的。

案例6：“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)片斷（江蘇  夏青峰）

（1）出示下圖：

師：陰影部分可用什么分?jǐn)?shù)來表示？

生1：

生2：

……

師：怎么都認(rèn)為是

生：我把這個長方形平均分成3份，陰影部分是這樣的1份，就是

屏幕顯示三等分線：

師：那也就是說，這里的

學(xué)生回答，老師完成下面板書：把一個長方形平均分成3份，表示這樣1份的數(shù)。

（2）屏幕出示：

師：陰影部分又可用什么分?jǐn)?shù)表示：

生：

師：這次不是

生：

生：

……

屏幕顯示八等分的虛線：

師：這次能說出是幾分之幾了吧？！

生：我認(rèn)為是

師：好的。那反過來說，這里的

師生共同完成板書：把一個圓平均分成8份，表示這樣3份的數(shù)。

3，屏幕出示：

師：露出的部分是一個整體的

學(xué)生畫。

師：誰愿意把你的作品與大家分享？

生1：（展示）

師：可以這樣畫嗎？

生：可以。因為這里一共有4個小三角形，露出來的是1個，就是它的

師：還有不同的畫法嗎？

學(xué)生紛紛展示自己的作品。

師：判斷這些圖形是否符合要求，關(guān)鍵看什么？

生：關(guān)鍵看是否一共畫了4個三角形。

師：怎樣的4個三角形？

生：和露出來（的三角形）一樣的4個三角形。

師：好。看大家是否猜中了。這個整體究竟是什么呢？

屏幕出示下圖1。

   （圖1）                      （圖2）

（學(xué)生表現(xiàn)出詫異的神色。）

生1：老師，不對。這4個三角形不連在一起，不是一個整體。

生2：我覺得是對的。雖然它們不連在一起，但是我們可以把它看成是一個整體。

生3：我覺得它不能看成一個整體，因為一個三角形就是一個整體，而這是4個三角形。

生4：我認(rèn)為它是一個整體。比如，一個人，我們可以看成是一個整體；一組人，我們與可以看成是一個整體；一個班的人，也可以看成是一個整體。

……

學(xué)生出現(xiàn)了交流與辯論，最后大家基本統(tǒng)一了意見。

屏幕出示上圖2。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的時候，我們通常是出示標(biāo)好等分線的圖形，讓學(xué)生說出陰影部分占整個圖形的幾分之幾。而夏老師出示的圖形卻沒有等分線，他讓學(xué)生致病猜一猜是幾分之幾，這不僅要求學(xué)生運用分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義去思考問題，而且對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感起著積極的作用。看部分想整體的教學(xué)環(huán)節(jié)，真是設(shè)計精妙，一箭雙雕。它在加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)的理解、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象能力的同時，還幫助學(xué)生實現(xiàn)了從把單個物體看成一個整體，到把一些物體看成一個整體的思維跨越，抓住了學(xué)生認(rèn)知的難點，進行了有效的突破。

3，抓住百分?jǐn)?shù)的特征進行教學(xué)。

說到百分?jǐn)?shù)，要分清兩種情況：一種是分母是100的分?jǐn)?shù)，另一種是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。我們所說的百分?jǐn)?shù)，一般指后者，它在寫法（和讀法）上與前者也有區(qū)別，用百分號（%）來表示。認(rèn)識百分?jǐn)?shù)要注意以下幾點：

（1）分?jǐn)?shù)既可以表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，也可以表示具體的數(shù)量。百分?jǐn)?shù)只表示兩個數(shù)之間的關(guān)系，并不表示具體的數(shù)量。

（2）由于以上原因，分?jǐn)?shù)可能有單位，也可能沒有單位，但百分?jǐn)?shù)不能加上單位，這是它與分?jǐn)?shù)的不同。

（3）分?jǐn)?shù)一般用最簡分?jǐn)?shù)的形式表示，但百分?jǐn)?shù)為了便于比較，分母固定為100，所以當(dāng)分子分母不互質(zhì)時，不用約分成最簡分?jǐn)?shù)的形式，也不用化成帶分?jǐn)?shù)，而且分子也可能是小數(shù)。

（4）由于百分?jǐn)?shù)的廣泛應(yīng)用，認(rèn)識百分?jǐn)?shù)應(yīng)該聯(lián)系學(xué)生的生活實際，并通過日常生活的運用加深理解概念，體會百分?jǐn)?shù)的好處。

案例7：“百分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)片斷

（上課前一天老師布置學(xué)生在生活中找一個實際應(yīng)用的百分?jǐn)?shù)。）

師：請同學(xué)們拿出在生活中找到的實際應(yīng)用的百分?jǐn)?shù)，說說是在哪兒找到的。

學(xué)生匯報自己找到的百分?jǐn)?shù)。

生：我在報紙上找到的。

一件上衣的布料，棉的含量是65%，滌綸的含量是35%。

……

師：聽了同學(xué)們的匯報，有的是在生活當(dāng)中找到了百分?jǐn)?shù)，有的是對生活當(dāng)中一些現(xiàn)象做了一些分析、計算得到的百分?jǐn)?shù)。總之說明一個問題，生活之間百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用非常廣泛。我也找了，愿不愿意看看我找的？

師出示：瀘州老窖的酒精度52%，洋河大曲的酒精度38%，王子啤酒的酒精度3.1%。

師：人們屢什么那么喜歡用百分?jǐn)?shù)呢？用百分?jǐn)?shù)到底有什么好處？我覺得這個問題很有必要研究。

師：除了這兩個問題外，你們還想弄清楚什么問題啊？

生思考后，自由提出自己想問的問題。

師：我們把這些問題稍微整理一下，寫在黑板上，作為我們今天研究的問題。

師板書：

1，百分?jǐn)?shù)的意義是什么？

2，用百分?jǐn)?shù)有什么好處？

3，百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)有什么不同？

師：你們看，這幾個問題，是黃老師一個一個地講給你們聽呢，還是你們自己研究？

生：（異口同聲）自己研究。

●探究百分?jǐn)?shù)的意義。

請同學(xué)研究你找到的生活中的百分?jǐn)?shù)，并填寫在老師設(shè)計好的表格里面。

《百分?jǐn)?shù)的意義和讀寫法》

調(diào)查紀(jì)要單

學(xué)生獨立研究，教師巡視。

匯報結(jié)果。

師：你是怎么比較得出瀘州老窖的酒精度含量很高，在各種酒中是比較厲害的？

（瀘州老窖的酒精度52%；洋河大曲的酒精度38%；王子啤酒的酒精度3.1%。）

生：從這些百分?jǐn)?shù)中很容易看出瀘州老窖的酒精度含量很高。因為百分?jǐn)?shù)的分母都是100，只要比較三個百分?jǐn)?shù)的分子就可以了。

生：我認(rèn)為百分?jǐn)?shù)的最大好處就是分母都是100，便于比較大小。

……

●小組合作學(xué)習(xí)，比較百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的不同。

師：接下來我們就比較一下百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)，到底有哪些不同。請小組合作討論，并填寫下面的表格。

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)，教師巡視。

匯報結(jié)果。

生：我們認(rèn)為它們的意義不同，百分?jǐn)?shù)后面不帶單位。

生：寫法不同。百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而是采用百分號（%）來表示。

生：讀法不同。百分?jǐn)?shù)一般讀作“百分之幾”，不讀“一百分之幾”。

生：百分?jǐn)?shù)可以不是最簡分?jǐn)?shù)，如52%。分?jǐn)?shù)就不一樣，有時要約成最簡分?jǐn)?shù)。

生：百分?jǐn)?shù)的式子可以是小數(shù)，如3.1%，分?jǐn)?shù)不同。

……

百分?jǐn)?shù)是在日常生產(chǎn)和生活中使用頻率很高的知識，學(xué)生雖未正式認(rèn)識百分?jǐn)?shù)，但對百分?jǐn)?shù)卻并非一無所知。因此，老師上課前讓學(xué)生調(diào)查生活中的百分?jǐn)?shù)的做法是完全可行的，還可以讓學(xué)生從中體會到百分?jǐn)?shù)在生活中的廣泛應(yīng)用，認(rèn)識到知識對于個人的意義，對激發(fā)內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機起到了很好的作用。更為可貴的是，老師在這節(jié)課中，直接把學(xué)生調(diào)查到的數(shù)據(jù)和問題作為學(xué)習(xí)和研究的對象，學(xué)生是在理解和解釋自己及同學(xué)調(diào)查得來的數(shù)據(jù)的過程中認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的。

“誰和誰比？”“哪個量是單位‘1’？”“這個分?jǐn)?shù)表示的意義是什么？”這本來是數(shù)學(xué)老師經(jīng)常在上課時問的問題。很多時候，學(xué)生是在老師的幫助下，通過課本例題認(rèn)識百分?jǐn)?shù)的，通常中老師引導(dǎo)全班共同弄清老師作為例題教學(xué)提出的問題，并以提問的方式來問，回答問題的只能是少數(shù)人。不同的是，這節(jié)課，每人一張學(xué)習(xí)表，每人收集到的事例和數(shù)據(jù)不盡相同。這種一人一表、一人一例的方法，與全班共同研究一個例題的方法相比，好就好在“迫使”每一個學(xué)生都必須獨立思考，都必須在不同的情境中回答相同的問題，既需要每個人獨立思考，也可以隨時交流，有困難的學(xué)生，可以隨時向老師或同伴請教。大量的實例有助于學(xué)生在整體上把握百分?jǐn)?shù)的概念和意義，體會它的作用和好處。

有一種延續(xù)了半個世紀(jì)的教學(xué)方式，被有的專家稱為“集體作業(yè)的教學(xué)方式”。這就是先出現(xiàn)一個問題，然后請同學(xué)站起來應(yīng)答，當(dāng)幾個人解決了，就相信全班都會了。這種教學(xué)方式教師之所以喜歡，是因為它既能活躍課堂氣氛，又便于控制教學(xué)節(jié)奏和進度。蘇霍姆林斯基認(rèn)為“這種方式容易造成表面的積極性和一切順利的假象。在這樣的方式下，那些中等學(xué)生是否也有獨立思考、獨立解決問題的體驗，我們?nèi)圆坏枚?#8221;基礎(chǔ)既落實到位，又落實到人，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)提倡的“關(guān)注每一個孩子的發(fā)展”的理念。

新課程特別強調(diào)問題在學(xué)習(xí)活動中的重要性。一方面強調(diào)通過問題來進行學(xué)習(xí)，把問題看作是學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿學(xué)習(xí)過程的主線；另一方面通過學(xué)習(xí)來生成問題，把學(xué)習(xí)過程看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程。總之，問題意識是學(xué)生進行學(xué)習(xí)特別是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)的心理要素。上述案例，教師引領(lǐng)學(xué)生積極地、科學(xué)地、有創(chuàng)造性地提出問題，并嘗試去解決問題，有助于學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

四、小數(shù)的認(rèn)識。

我們現(xiàn)在常用的計數(shù)制是十進制，它的重要特征是位值制，即寫在不同位置上的數(shù)字表示著不同的值。當(dāng)人們在度量可以分割的量時，常常把作為單位的量細分為它的

在小學(xué)里學(xué)生還要遇到無限循環(huán)小數(shù)，它可由不能化成十進分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)改寫而成，所以無限循環(huán)小數(shù)也都可以改寫成分?jǐn)?shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)范圍里的數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)不能由分?jǐn)?shù)改寫得到，它是無理數(shù)的一川表現(xiàn)形式。在小學(xué)生認(rèn)識的數(shù)里，只有圓周率

小數(shù)概念的引入，通常有兩種做法：一是從生活實例出發(fā)；二是從表示度量結(jié)果的需要出發(fā)。這都是小學(xué)生能夠理解的。

通常認(rèn)識小數(shù)也分為兩個階段：第一階段是小數(shù)的初步認(rèn)識，特點是：（1）聯(lián)系生活實際中具體的量來認(rèn)識小數(shù)；（2）以一位小數(shù)為主；（3）不定義小數(shù)，只描述為：像0.5，1.06，16.85，…這樣的數(shù)叫做小數(shù)。第二階段較系統(tǒng)地認(rèn)識小數(shù)的意義。特點是：（1）給出小數(shù)的定義：分母是10，100，…的分?jǐn)?shù)，可以用小數(shù)表示；（2）再次擴展數(shù)位順序表，建立十分位、百分位、千分位……的概念；（3）運用小數(shù)的計數(shù)單位分析小數(shù)的組成、小數(shù)的性質(zhì)，比較小數(shù)的大小；（4）把非整萬（億）的大數(shù)改寫成以萬（億）為單位的小數(shù)等。

1，充分運用生活經(jīng)驗，建立小數(shù)概念。

雖然小數(shù)實際上是一種特殊的分?jǐn)?shù)，是分?jǐn)?shù)的另一種表示形式。但在生活中最常見到的是小數(shù)，如2.45元，30.8米，2.5噸等具體的數(shù)量，而不是分?jǐn)?shù)。所以學(xué)生認(rèn)識小數(shù)，不一定要從分?jǐn)?shù)的概念入手，可以由測量長度的結(jié)果不是整米數(shù)、物品的價格不是整元數(shù)出發(fā)引入小數(shù)。也可以直接運用生活中各種鮮活的實例，讓學(xué)生感受小數(shù)的現(xiàn)實作用。學(xué)生已有的經(jīng)驗?zāi)軌蛑С謱W(xué)生理解小數(shù)的意義，發(fā)現(xiàn)小數(shù)的性質(zhì)，進行比較大小的活動，從而實現(xiàn)感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍。

2，數(shù)形結(jié)合，教學(xué)小數(shù)的知識。

小數(shù)的意義是比較抽象的數(shù)學(xué)概念，小數(shù)的性質(zhì)也是抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律，小學(xué)生掌握這些知識是有一定困難的。如果把抽象的數(shù)學(xué)知識與具體的圖形聯(lián)系起來，挖掘和利用概念中的直觀成分，能有效地降低教學(xué)的難度。如用大正方形表示整數(shù)“1”，它的十分之幾、百分之幾分別表示成一位小數(shù)、兩位小數(shù)；依托直尺顯示幾厘米是百分之幾米，是零點零幾米；在數(shù)軸上建立點與相應(yīng)的一位小數(shù)、兩位小數(shù)的聯(lián)系……這些都有助于學(xué)生領(lǐng)會小數(shù)的知識。

3，始終把小數(shù)的意義作為教學(xué)重點。

小數(shù)的意義是進一步學(xué)習(xí)小數(shù)的性質(zhì)、比較小數(shù)大小的規(guī)劃、改寫大數(shù)的方法的基礎(chǔ)。

十進分?jǐn)?shù)除了可以寫成分母是10，100，1000，…的分?jǐn)?shù)形式外，還可以寫成另一種形式，即小數(shù)。具體地說，分母是10的分?jǐn)?shù)還可以寫成一位小數(shù)，一位小數(shù)表示十分之幾；分母是100的分?jǐn)?shù)還可以寫成兩位小數(shù)，兩位小數(shù)表示百分之幾……教學(xué)小數(shù)的意義，要讓學(xué)生理解并掌握這些關(guān)系，這就是學(xué)生需要建立的小數(shù)概念。

教學(xué)小數(shù)的意義，要不要從一位小數(shù)到兩位小數(shù)，再到三位小數(shù)、四位小數(shù)依次逐一進行？我們認(rèn)為不一定。因為一位小數(shù)與十分之幾的相互關(guān)系在三年級時已經(jīng)了解，只不過學(xué)生對這種關(guān)系只有初步的感受，并不是很清楚。三位小數(shù)、四位小數(shù)與一位小數(shù)、兩位小數(shù)在意義上有區(qū)別，但本質(zhì)上又是相通的，有一致的方面。一位小數(shù)與兩位小數(shù)的意義和讀寫方法，對三、四位小數(shù)具有可遷移性。因此，教學(xué)時，可以兩位小數(shù)的意義為主要研究對象，向前聯(lián)系一位小數(shù)與整數(shù)，往后發(fā)展到三位小數(shù)和四位小數(shù)，逐漸形成比較完整的小數(shù)概念以及計數(shù)方法。

4，利用知識遷移，建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

遷移，指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)對小數(shù)的學(xué)習(xí)特別是小數(shù)意義的理解有直接、顯著的影響；小數(shù)的意義和整數(shù)的大小比較或加減計算對小數(shù)的大小比較或加減計算有直接、顯著的影響。反過來，后者的學(xué)習(xí)對前也有促進作用。遷移，有時在聽教師講解的過程中實現(xiàn)。例如，“5分米和4分米分別是幾分之幾米”是學(xué)生已有的知識，只要通過提問，引起學(xué)生的回憶和思考，就不難解決。然后不妨直接告訴學(xué)生：“

5，溝通整數(shù)與小數(shù)計數(shù)與比較方法的關(guān)系。

整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)方法是一致的，相鄰兩個計數(shù)單位間的進率都是“十”，小數(shù)的計數(shù)方法是整數(shù)計數(shù)方法的擴展。教學(xué)中要設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，將整數(shù)的計數(shù)方法遷移到小數(shù)，為學(xué)生在計數(shù)的經(jīng)驗和方法上建立聯(lián)系。不僅如此，還要利用這些活動幫助學(xué)生整理認(rèn)數(shù)系統(tǒng)，把原來認(rèn)識的整數(shù)數(shù)位表擴充到小數(shù)，把分單位和小數(shù)的計數(shù)單位聯(lián)系起來，使學(xué)生逐步在頭腦中建構(gòu)起完整的認(rèn)數(shù)體系。

學(xué)生已經(jīng)掌握的比較整數(shù)大小的知識，有些可以應(yīng)用于比較小數(shù)的大小，也有些需要在認(rèn)識上做必要的調(diào)整。如，在整數(shù)中，位數(shù)多的數(shù)一定比位數(shù)少的數(shù)大（四位數(shù)大于三位數(shù)）。而在小數(shù)中未必一定如此（三位小數(shù)不一定比兩位小數(shù)大）。因此，從比較整數(shù)的大小到比較小數(shù)的大小，不是單純的認(rèn)知同化和方法遷移。

綜上所述，理解數(shù)的意義是數(shù)學(xué)課程的重要任務(wù)。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)的概念。這些概念本身是抽象的，只有為學(xué)生提供充分的可以感知的現(xiàn)實背景，才能使學(xué)生真正理解數(shù)的意義，建立數(shù)感。

把握基本矛盾  走向有效教學(xué)

——“數(shù)的運算”備課解讀與難點透視

江蘇  徐  斌

課改前，關(guān)于“數(shù)的運算”教學(xué)議論很多：

——中國學(xué)生的計算能力全球最高，為什么要進行改革？

——計算教學(xué)過于形式化、技巧化，嚴(yán)懲脫離學(xué)生生活實際；

——計算教學(xué)的訓(xùn)練單調(diào)枯燥，嚴(yán)重挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；

——過分強調(diào)精確計算，忽視了估算能力的培養(yǎng)；

……

課改后，關(guān)于“數(shù)的運算”教學(xué)仍然議論很多：

——學(xué)生的計算能力（口算能力和筆算能力）嚴(yán)重下降；

——在計算目標(biāo)（速度和正確率）方面兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重；

——計算器的引入干擾了學(xué)生計算能力的形成；

——“算法多樣化”影響了課堂教學(xué)的效率；

……

如何應(yīng)對“數(shù)的運算”教學(xué)改革中的問題？本文試從數(shù)的運算的重要意義與價值、教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)的變化出發(fā)，針對目前數(shù)的運算教學(xué)中普遍存在的基本矛盾進行分析并提出解決策略。

一，“數(shù)的運算”的重要意義和價值。

“數(shù)的運算”在整個小學(xué)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容中占有相當(dāng)大的比重。正確認(rèn)識計算在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，準(zhǔn)確了解計算的內(nèi)在思想和方法，能使我們的計算教學(xué)更加科學(xué)有效。

數(shù)的運算是人們在日常生活中應(yīng)用最多的數(shù)學(xué)知識，因此它歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本內(nèi)容，培養(yǎng)小學(xué)生的計算能力也一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一。計算教學(xué)直接關(guān)系著學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能的掌握，關(guān)系著學(xué)生觀察、記憶、思維等能力的發(fā)展，關(guān)系著學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣、情感、意志等非智力因素的培養(yǎng)。一定的計算能力是每個公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。

1，在日常生活中有廣泛的應(yīng)用。

數(shù)的運算是人們認(rèn)識客觀世界的周圍事物的重要工具之一。從抽象的觀點看，客觀世界的表現(xiàn)形式可以概括為：數(shù)量、空間和時間及相互之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)的角度看，主要表現(xiàn)在數(shù)、量、形三個方面，而計量是離不開數(shù)的運算的，空間形式及其關(guān)系要量化也離不開數(shù)與計算。任何學(xué)科規(guī)律歸結(jié)為公式后基本上都要運用四則混合運算來計算。

2，對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力有重要作用。

學(xué)習(xí)數(shù)的運算的過程就是發(fā)展邏輯思維能力的過程。數(shù)的運算的概念、性質(zhì)、法則、公式之間都有內(nèi)在聯(lián)系，存在著嚴(yán)密的邏輯性。每個概念、性質(zhì)、法則、公式的引入與建立，都要經(jīng)過抽象、概括、判斷、推理的思維過程。學(xué)生學(xué)習(xí)、理解和掌握這些概念、性質(zhì)、法則、公式，都要經(jīng)過從具體到抽象、從感性到理性的過程。學(xué)生把這些應(yīng)用到實際中去，還要經(jīng)過由一般到特殊的演繹過程。因此，數(shù)的運算的學(xué)習(xí)有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力。

3，有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育。

數(shù)的運算是在人類的生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，由低級到高級、從簡單到復(fù)雜。而數(shù)的運算中又有很多相互依存、對立統(tǒng)一的概念和計算方法。如整數(shù)與分?jǐn)?shù)、約數(shù)與倍數(shù)，加與減、乘與除、通分與約分，等等。教學(xué)中闡明這些相互依存的概念與概念、計算方法與計算方法之間的關(guān)系，有利于滲透數(shù)學(xué)思想方法的教育。

二，內(nèi)容變化解讀。

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是計算機和計算器的普及，“數(shù)的運算”中哪些知識是大多數(shù)人最常用和最基礎(chǔ)的，也在發(fā)生著變化。了解和研究這種變化，重新審視相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和要求，是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教材改革研究的任務(wù)之一。

1，加強的內(nèi)容。

（1）注重計算與日常生活的聯(lián)系。

過去一提到計算，常常和“抽象”、“單調(diào)”、“枯燥”等詞語聯(lián)系在一起，計算教學(xué)陷入了一些誤區(qū)。與傳統(tǒng)的計算相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》注重了通過實際情境使學(xué)生體驗、感受和理解運算的意義。《標(biāo)準(zhǔn)》中提出：“經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題。”“經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維。”

誠然，計算本身具有較強的抽象性，但其反映的內(nèi)容又常常是現(xiàn)實的，與人們的生活、生產(chǎn)有著十分密切的聯(lián)系。新課程注重計算的現(xiàn)實意義，適當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷一些現(xiàn)實情境，使學(xué)生通過活動體驗、感受和理解運算的意義、來源、現(xiàn)實背景和本質(zhì)。

（2）加強計算器的運用。

計算器的運用一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)討論的焦點。《標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)重視運用現(xiàn)代信息技術(shù)，特別要充分考慮計算器、計算機對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，大力開發(fā)并向?qū)W生提供更為豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。”

借助計算器不僅有利于學(xué)生進行較復(fù)雜的運算，解決實際問題，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力。一方面，學(xué)生可以用它進行大數(shù)目的加、減、乘、除四則運算，節(jié)約時間，提高計算的速度；另一方面，借助計算器可以引導(dǎo)學(xué)生探索一些復(fù)雜的、更為現(xiàn)實的應(yīng)用問題。計算器進入課堂，能逐步把學(xué)生從繁瑣的技巧性計算中解放出來，以學(xué)習(xí)更多有用的數(shù)學(xué)內(nèi)容。

當(dāng)然，計算器的引入是一種新的改革和試驗，需要我們深入研究，防止簡單化處理，特別是在低年級學(xué)生形成基本計算能力的時候要慎用，在高年級學(xué)生學(xué)習(xí)中也要注意不能養(yǎng)成完全依賴計算器的習(xí)慣。

（3）強化估算的作用。

估算是人們在日常生活、工作和生產(chǎn)中，對一些無法或沒有必要進行精確測量和計算的數(shù)量所進行的近似或粗略估計的一種方法。

如仿，復(fù)雜的計算都可以由計算機或計算器來完成，與此同時，日常生活或工作中估算的作用也越來越突出。如，人們在使用工具進行計算時，由于操作上的失誤會使計算結(jié)果有很大的誤差，這就要求人們具有一定的估算能力，能對計算結(jié)果的合理性進行判斷，并對其合理性作出解釋。另外，估算還可以用于平時的計算，在計算前對結(jié)果進行估算，可以使學(xué)生合理、靈活地用多種方法去思考問題；在計算后對結(jié)果進行估算，可以使學(xué)生獲得一種最有價值的檢驗結(jié)果的方法。所以估算能力是現(xiàn)代化社會生活的需要，是衡量人們計算能力的一個重要標(biāo)準(zhǔn)。重視、加強估算已成為一個世界性的潮流。

《標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出要培養(yǎng)估算能力。在第一學(xué)段中強調(diào)“能結(jié)合具體情境進行估算，并解釋估算的過程”，在第二學(xué)段中強調(diào)“在解決具體問題的過程中，能選擇合適的估算方法，養(yǎng)成估算的習(xí)慣。”

2，削弱的內(nèi)容。

（1）刪減珠算的內(nèi)容。

珠算作為我國傳統(tǒng)的計算工具，在歷史上發(fā)揮了重要的作用，同時，珠算教學(xué)的形象性對于學(xué)生智力開發(fā)也有很大的促進作用。但是隨著計算機的不斷普及，人們基本上已經(jīng)不采用珠算計算的方法。因此《標(biāo)準(zhǔn)》中基本不介紹珠算，取而代之的是計算器。

（2）刪減繁瑣的運算步驟。

在整數(shù)運算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：“進行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。”而在這里“簡單”運算的含義具體包括：“加、減法以兩三位為主”，“乘法是三位數(shù)乘兩位數(shù)”，“除法是三位數(shù)除以兩位數(shù)”。在小數(shù)、分?jǐn)?shù)運算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“會分別進行簡單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。”

（3）刪減運算的數(shù)目要求。

在口算方面，《標(biāo)準(zhǔn)》提出：“會口算百以內(nèi)一位數(shù)乘、除兩位數(shù)。”在筆算方面，提出：“能筆算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。”

我們知道，同一類計算題目，數(shù)目較大的運算比數(shù)目較小的運算錯誤率有成倍的增長。因此降低計算中的數(shù)目要求，也就降低了學(xué)生的錯誤率，減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān)。

三，教學(xué)要點。

第一學(xué)段總體要求：“應(yīng)重視口算，加強估算，提倡算法多樣化；應(yīng)減少單純的技能性訓(xùn)練，避免繁雜計算和程式化地敘述‘算理’。”

第二學(xué)段總體要求：“應(yīng)重視口算，加強估算，鼓勵算法多樣化；應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題抽象出數(shù)量關(guān)系，并運用所學(xué)知識解決問題的過程；應(yīng)避免繁雜的運算，避免將運算與應(yīng)用割裂開來，避免對應(yīng)用題進行機械的程式化訓(xùn)練。”

在實際的教學(xué)中，要特別注意如下問題的解決。

1，如何建立四則運算概念？

首先，應(yīng)注重在具體情境中體會運算意義。四則運算是小學(xué)數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的知識。一般對加法的定義是：“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。”減法的定義是：“已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。”乘法的定義是：“求相同加數(shù)的和的簡便運算。”除法的定義是：“已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。”這些運算定義雖然在表述上已經(jīng)比較直觀，但對于低年級的小學(xué)生來說，仍是十分抽象的。心理學(xué)研究表明，當(dāng)一個數(shù)的運算與所代表的情境中的物體相聯(lián)系時，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意義。情境可以賦予數(shù)以意義，從而使抽象的數(shù)成為具體的物體。因此《標(biāo)準(zhǔn)》提出“結(jié)合具體情境”的要求。

案例1：“加法”（人教版《數(shù)學(xué)》一上）

教材創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的活動情境圖“折紙游戲”：已經(jīng)折了1只紅色的紙鳥，2只藍色的紙鳥。

教學(xué)時，可以組織學(xué)生觀察并述說：紅色紙鳥的只數(shù)可以用“1”表示，藍色紙鳥的只數(shù)可以用“2”表示，一共折的紙鳥只數(shù)可以用“3”表示；要求一共有多少只紙鳥，可以把“1”和“2”合并起來，在數(shù)學(xué)上把這種運算叫做“加法”，寫成“1＋2=3”；然后讓學(xué)生聯(lián)系情境說一說“1”和“2”，“3”和“＋”各表示什么含義；最后再通過小朋友把兩只手里的氣球合并以及讓學(xué)生動手?jǐn)[學(xué)具等活動，逐步形成對加法意義的認(rèn)識。

這樣，學(xué)生對加法含義的理解是建立在豐富的感性積累基礎(chǔ)之上，在頭腦中形成鮮明的動態(tài)表象，從而獲得關(guān)于加法運算意義的準(zhǔn)確理解。

案例2：“乘法”（蘇教版《數(shù)學(xué)》一下）

教材通過情境圖，首先讓學(xué)生在具體活動中感知“幾個幾”：免有3個2，雞有4個3；再讓學(xué)生用已經(jīng)學(xué)過的連加進行計算：2＋2＋2=6，3＋3＋3＋3=12。

接著通過操作學(xué)具和觀察花片活動，使學(xué)生進一步體驗“幾個幾”：3個5可以寫成5＋5＋5=15，5個3可以寫成3＋3＋3＋3＋3=15。

然后通過計算桌子上電腦的臺數(shù)：2＋2＋2＋2=8，講述——“4個2相加，可以寫成2×4=8或4×2=8”。同時結(jié)合教學(xué)乘號、乘數(shù)、積等名稱和乘法算式的讀法。

這樣的編排和教學(xué)，改變了過去強調(diào)“相同加數(shù)”、“相同加數(shù)的個數(shù)”、“每份數(shù)”、“份數(shù)”、“被乘數(shù)”、“乘數(shù)”等過分形式化的概念以及所謂被乘數(shù)和乘數(shù)不能換位置的人為障礙，強化了乘法的本質(zhì)——同數(shù)相加。學(xué)生認(rèn)識乘法的過程，成了快樂的學(xué)習(xí)體驗過程，成了理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的過程。

2，如何重視口算教學(xué)？

口算也稱心算，是一種不借助計算工具，僅依靠記憶與思維，直接算出結(jié)果的計算方式。口算基于個人對數(shù)的基本性質(zhì)和算術(shù)運算的理解，它不僅僅是筆算的基礎(chǔ)，而且也是運算中獨立的一部分，同時口算在日常生活中有著很高的應(yīng)用價值。口算還是數(shù)感發(fā)展過程中的一個重要部分。

在教學(xué)中具體落實“重視口算”的目標(biāo)，應(yīng)注重如下兩點：

（1）在數(shù)形結(jié)合中理解口算原理。

數(shù)的運算，其實質(zhì)是對現(xiàn)實生活中物體的個數(shù)進行運算，可以說小學(xué)階段的每個算式都可以在生活中找到實例。在讓學(xué)生理解口算的算理時，除了要與實際情境相結(jié)合，還要逐步過渡為數(shù)學(xué)的語言符號。

案例3：“整百數(shù)加、減整百數(shù)”（北師大版《數(shù)學(xué)》二下）

首先創(chuàng)設(shè)“買電器”的情境：洗衣機500元，電冰箱1200元，電視機800元，電風(fēng)扇160元。提出問題：“爸爸買一臺洗衣機和一臺電視機共花多少錢？”列式：500＋800。接著通過具體的人民幣（都是百元面值）的呈現(xiàn)，引發(fā)學(xué)生思考：5加8等于13，500＋800=1300。

然后通過計數(shù)器演示：5個百加8個百是13個百，也就是1300。最后讓學(xué)生說說自己的思考和計算過程。

這樣，由具體實物（百元人民幣形象地表示計算單位“百”）的操作過渡到半形象半抽象的計數(shù)器（百位上算珠操作）演示，再通過學(xué)生在頭腦中的表象運演，使學(xué)生逐步理解口算的算理（5個百加8個百是13個百，就是1300）。這樣的教學(xué)符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律：直觀動作思維→抽象邏輯思維。

（2）科學(xué)合理地訓(xùn)練，強化基本口算。

在小學(xué)的口算內(nèi)容中，兩個一位數(shù)相加與其相對應(yīng)的減法、表內(nèi)乘法與其相對應(yīng)的除法是四則運算中的基本口算，俗稱“四張九九表”，這“四表”是一切計算的基礎(chǔ)，務(wù)必使學(xué)生達到“脫口而出”的熟練程度。為此，在口算教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解算理、掌握算法，還要注重口算訓(xùn)練的科學(xué)合理性。

筆者調(diào)查了當(dāng)前小學(xué)生基本口算能力的現(xiàn)狀和錯誤分布情況，發(fā)現(xiàn)在低年級階段有些老師過分提高口算的速度要求（每分鐘30道甚至50道），而中高年級則忽視基本口算訓(xùn)練，過分依賴筆算。

要強化基本口算，首先應(yīng)重視基本口算方法的教學(xué)。小學(xué)生口算的方法一般有三個層次：逐一重新計數(shù)→借數(shù)數(shù)加算或減算→按數(shù)群運算。在教學(xué)基本口算時，要重視讓學(xué)生逐步掌握按數(shù)群運算的方法。所謂數(shù)群，是指學(xué)生在計數(shù)時能將最后說出的數(shù)作為所數(shù)過的一群對象的總體來把握。所謂按群計數(shù)，就是計數(shù)時不以某個物體為單位，而是以數(shù)群為單位，如兩個兩個地數(shù)、五個五個地數(shù)，等等。同時我們還應(yīng)該注意，在教學(xué)初期，為了達到算法指導(dǎo)下的正確計算，可不做計算速度的要求。

其次，應(yīng)注重退位減法與表內(nèi)除法的思維教學(xué)。小學(xué)生正處于“具體運算階段”，思維的可逆性剛剛出現(xiàn)，只能進行初步的邏輯推理。而20以內(nèi)退位減法和表內(nèi)除法在很大程度上依賴于學(xué)生的逆向思維。因此教學(xué)口算方法時，要特別強化退位減法和表內(nèi)除法的基本計算思維（算減想加、算除想乘）的教學(xué)，以幫助學(xué)生掌握基本方法，同時有意識地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

再次，應(yīng)注意口算訓(xùn)練的科學(xué)性。要提供訓(xùn)練材料，選擇訓(xùn)練時機，注意訓(xùn)練方法，考慮訓(xùn)練周期，做到適時、適量、適度。具體說來，一要注意加強課堂練習(xí)，采用講練結(jié)合的方式及時鞏固所學(xué)口算內(nèi)容；二要注意練習(xí)的針對性，抓住難點反復(fù)練習(xí)，不能平均用力；三要注意練習(xí)形式的多樣化，提高學(xué)生口算的積極性，避免簡單的機械重復(fù)。

3，如何加強估算意識？

做算具有重要的應(yīng)用價值，是學(xué)生應(yīng)該具備的重要的計算技能。隨著計算技術(shù)的進一步發(fā)展，大量的計算并不要求進行精確的計算，一個人在日常生活中進行估算的次數(shù)，遠比精確計算的次數(shù)多得多。在小學(xué)階段的計算教學(xué)中，與估算相關(guān)的內(nèi)容很多，如估計商的近似值、試商、估計小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進行驗算，等等。要體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》中“加強估算”的要求，可以著力于以下兩方面：

（1）培養(yǎng)數(shù)感是打好估算的基礎(chǔ)。

數(shù)感是對數(shù)和數(shù)的關(guān)系的一種良好的直覺。在估算中數(shù)感主要表現(xiàn)為能在具體情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系，能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ軐Y(jié)果的合理性作出解釋。估算可以發(fā)展學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識，培養(yǎng)數(shù)感；同時，良好的數(shù)感又是學(xué)生進行估算的必要基礎(chǔ)。除了在數(shù)的認(rèn)識時要加強數(shù)感的培養(yǎng)，在數(shù)的運算過程中更應(yīng)結(jié)合具體計算培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

（2）掌握估算方法，養(yǎng)成估算習(xí)慣。

有研究表明，小學(xué)生最常使用的估算方法主要有三種：簡約、轉(zhuǎn)換和補償。所謂“簡約”，是指學(xué)生在估算時先把數(shù)簡化成比較簡單的形式。例如估算“495＋310”，把495看作500，把310看作300，這樣估算時只要想比較簡單的形式“500＋300”即可。所謂“轉(zhuǎn)換”，是指學(xué)生在估算時把一種問題轉(zhuǎn)換成另一種問題來思考。例如，估算加法問題“602＋597＋589”，把加法問題轉(zhuǎn)換為乘法問題：“600乘3是1800，所以答案差不多是1800左右。”而所謂“補償”，則是學(xué)生在進行簡約或轉(zhuǎn)換時，進行一些調(diào)整，以補償前面運算中的不足，使估算比較準(zhǔn)確。例如，“602＋597＋589”這一問題，學(xué)生在轉(zhuǎn)換時可能會進一步想：“答案大約是1800，而且會稍小于1800，因為我在將每一個數(shù)都簡化成600時，用加的部分比用減的更多一些。”

我們在教學(xué)中也常常發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在計算時會出現(xiàn)一些莫名其妙的錯誤。對此，我們應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成及時估算檢查的習(xí)慣，每做完一道題目，可以先估計一下數(shù)值，然后與實際計算所得的答案比較，及時覺察出錯誤并加以更正。

案例4：（北師大版《數(shù)學(xué)》三上）

一個同學(xué)說“我有一串五色珠子，共98顆，每種顏色顆數(shù)都相等。”另一位同學(xué)經(jīng)過估算指出“這是不可能的”。這里，后一位同學(xué)就是用估算進行了判斷。他可能用乘法的思路：5乘一個數(shù)的得數(shù)個位要么是0要么是5，不可能是8。也可能是用除法的思路：98除以5，是有余數(shù)的。

可見，養(yǎng)成了估算的良好習(xí)慣，能解釋結(jié)果的合理性，驗證了計算的精確度。

4，如何體現(xiàn)算法多樣化？

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)新生學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”要體現(xiàn)“算法多樣化”的思想，應(yīng)注重以下三方面：

（1）理解算法多樣化的內(nèi)涵。

所謂算法就是指解決各種數(shù)學(xué)問題的程序與方法，具體包括運算的方法與解題策略。這兩者都由一定的程序與規(guī)則組成，因此運算方法與解題策略有共性也有區(qū)別。前者更偏重于技能，可以通過練習(xí)獲得，并進而成為技巧，而后者雖然也可進行訓(xùn)練，但由于信息復(fù)雜，更多要依靠思維能力。兩者無本質(zhì)區(qū)別，只有層次之差。

（2）找準(zhǔn)算法多樣化的前提。

現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)研究表明，實施算法多樣化也是有前提的，各種不同算法要建立在思維等價的基礎(chǔ)上，否則多樣化就會導(dǎo)致泛化。以學(xué)生思維憑借的依據(jù)看，可以分為基于動作的思維、基于形象的思維、基于符號與邏輯的思維。顯然這三種思維并不在同一層次上，不在同一層次上的算法就應(yīng)該提倡優(yōu)化，而且必須優(yōu)化，只是優(yōu)化的過程應(yīng)是學(xué)生不斷體驗與感悟的過程，而不是教師強制規(guī)定和主觀臆斷的過程，應(yīng)讓學(xué)生逐步找到適合自己的最優(yōu)算法。

（3）把握算法優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn)。

過去我們僅僅用成為認(rèn)為唯一合理的方法作為基本算法教給學(xué)生。現(xiàn)在我們認(rèn)為的基本算法是什么呢？其實，基本算法并不是唯一算法，基本算法應(yīng)該是指同一思維層次上的方法群。以此為基礎(chǔ)，這里提出判定基本算法的三個維度：一是從心理學(xué)維度看，多數(shù)學(xué)生喜歡的方法；二是從教育學(xué)維度看，教師易教、學(xué)生易學(xué)的方法；三是從學(xué)科維度看，對后續(xù)知識的掌握有價值的方法。理想的基本算法是三位一體的。在小學(xué)階段，隨著年級的升高對學(xué)科維度要求會逐漸增強。

四，當(dāng)前計算教學(xué)存在的基本矛盾和處理策略。

依據(jù)筆者的調(diào)查和分析，課程改革之后計算教學(xué)中出現(xiàn)了一些亟須解決的基本矛盾。現(xiàn)分別加以分析，以尋求良好的處理策略。

1，情境創(chuàng)設(shè)與復(fù)習(xí)鋪墊。

現(xiàn)在的計算教學(xué)幾乎不見了過去教學(xué)中的“復(fù)習(xí)鋪墊”，取而代之的是“情境創(chuàng)設(shè)”。目前大多計算教學(xué)的一般教學(xué)流程常常是：教師創(chuàng)設(shè)情境、學(xué)生提出問題、獨立思考算法、反饋交流算法、自主選擇算法。為此，許計算課不是從“買東西”開始，就是到“逛商場”結(jié)束。一些教師在上課時首先關(guān)注的不是學(xué)習(xí)內(nèi)容本身，而是如何挖空心思創(chuàng)設(shè)新奇誘人的所謂“情境”。現(xiàn)在的計算教學(xué)，很難再看到過去常見的復(fù)習(xí)鋪墊了。難道情境創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)鋪墊真是水火不相容嗎？情景創(chuàng)設(shè)和復(fù)習(xí)鋪墊之間到底是怎樣的關(guān)系？

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)總是與一定的社會文化背景即“情境”相聯(lián)系的，在實際情境下進行學(xué)習(xí)，有利于意義建構(gòu)。的確良好的問題情境能有效地激活學(xué)生的有關(guān)經(jīng)驗、體驗。《標(biāo)準(zhǔn)》也非常強調(diào)，計算教學(xué)時“應(yīng)通過解決實際問題進一步培養(yǎng)數(shù)感，增進學(xué)生對運算意義的理解”；“應(yīng)使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，并運用所學(xué)知識解決問題的過程”；“避免將運算與應(yīng)用割裂開來”。

然而任何事物都不是絕對的。因為數(shù)學(xué)的來源，一是來自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實社會的發(fā)展需要；二是來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，即數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)兩方面的來源都可能成為我們展開教學(xué)的背景。例如，“負(fù)數(shù)”過去很少出現(xiàn)在小學(xué)，現(xiàn)在《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定要引進負(fù)數(shù)。現(xiàn)實生活中存在著大量的具有相反意義的量，可以作為提示負(fù)數(shù)的素材；同時，從數(shù)學(xué)本身出發(fā)，為了解決諸如“2－3”不夠減的矛盾，也需要引進一種新的數(shù)，同樣是小學(xué)生易于感知的問題情境。這里，選擇兩種角度之一導(dǎo)入都是可取的。

問題的另一方面，計算教學(xué)之前還要不要“復(fù)習(xí)鋪墊”呢？其實，新課前的復(fù)習(xí)鋪墊其主要目的，一是為了通過再現(xiàn)或再認(rèn)等方式激活學(xué)生頭腦中已有的相關(guān)舊知，二是為新知學(xué)習(xí)分散難點。前者，只要有必要，則無可厚非。問題在于后者。常常有人為了使教學(xué)“順暢”，設(shè)計了一些過渡性、暗示性問題，甚至人為設(shè)置了一條狹隘的思維通道，使得學(xué)生無需探究或者只要稍加嘗試結(jié)論就出來了。例如，教學(xué)一年級“9加幾）時，有人精心設(shè)計了如下鋪墊：

其實，計算9加幾時，由于學(xué)生的生活背景和思考角度不同，不同的學(xué)生會想到不同的方法。教師應(yīng)允許學(xué)生采用多樣化的方法，不必把學(xué)生的思維局限在把另一個加數(shù)分成1和幾的這一種所謂“湊十法”。顯然這種把知識嚼爛再喂給學(xué)生的“鋪墊”，對于發(fā)展學(xué)生主動獲取知識的學(xué)習(xí)能力是不利的。

可見，創(chuàng)設(shè)情境和復(fù)習(xí)鋪墊并不是對立的矛盾，并不是所有的計算教學(xué)都必須從生活中找“原型”，選擇怎樣的引入方式取決于計算教學(xué)的內(nèi)容特點和學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。

2，算理直觀與算法抽象。

曾有一些教師認(rèn)為，計算教學(xué)沒有什么道理可講，只要讓學(xué)生掌握計算方法后，反復(fù)“演練”就可以達到正確、熟練的要求了。結(jié)果不少學(xué)生雖然能夠依據(jù)計算法則進行計算，但因為算理不清，知識遷移的范圍就極為有限，無法適應(yīng)計算中千變?nèi)f化的各種具體情況。

算理是指四則計算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。算理為算法提供了理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。學(xué)生在學(xué)習(xí)計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎(chǔ)和可能。因此在計算教學(xué)中重視算理和算法是一個十分重要的課題。

現(xiàn)在，在計算教學(xué)中教師們都十分重視讓學(xué)生理解算理，特別是讓學(xué)生在直觀形象中理解算理，讓學(xué)生不僅知道計算方法，而且知道駕馭方法的原理。

案例5：“一位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”（蘇教版《數(shù)學(xué)》二下）

首先出示情境圖——兩只猴子摘桃子，每只猴子都摘了14個。讓學(xué)生提出問題：一共摘了多少個桃？并列出乘法算式2×14。

接著，讓學(xué)生獨立思考，自主探索計算方法。有的學(xué)生看圖知道了得數(shù)，有的學(xué)生用加法算出得數(shù)，有的學(xué)生用小棒擺出了得數(shù)，也有少數(shù)學(xué)生用乘法算出了得數(shù)。

然后，組織學(xué)生交流匯報自己的計算方法。老師在分別肯定與評價的同時，結(jié)合學(xué)生的匯報，板書了這樣的豎式（下左圖）：

同時，老師結(jié)合講解，分別演示教具、學(xué)具操作過程，又結(jié)合圖片進行了數(shù)形對應(yīng)。

最后，老師引導(dǎo)學(xué)生觀察這種初始豎式，通過講解讓學(xué)生掌握簡化豎式的寫法（上右圖），再讓學(xué)生運用簡化豎式進行計算練習(xí)。

上述案例反映了現(xiàn)在計算教學(xué)中的又一對基本矛盾——算理直觀與算法抽象，在教具演示、學(xué)具操作、圖片對照等直觀刺激下，學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的方式，對算理的理解可謂十分清晰，但是好景不長，當(dāng)學(xué)生還流連在直觀形象的算理中，馬上就得面對十分抽象的算法，接下去的計算都是直接運用抽象的簡化算法進行計算。

筆者認(rèn)為，在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成“動作思維→形象思維→抽象思維”的發(fā)展過程。上述案例中，形成了初始豎式后，不必過早抽象出一般算法，而應(yīng)該讓學(xué)生運用這種初始模式再計算幾道題，見如下教學(xué)片斷：

師：（在學(xué)生理解了14×2的初始豎式后）我們一起來用這樣的豎式計算。

（請三名學(xué)生上臺板演，其余學(xué)生自己嘗試解答）

師：我們看黑板上的豎式。這些算式有什么共同的地方？

生1：它們都是兩位數(shù)和一位數(shù)乘。

生2：第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得兩位數(shù)。

生3：我發(fā)現(xiàn)第二次乘下來都得整十的數(shù)。

生4：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)個位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，得數(shù)十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù)。

師：大家觀察得都很仔細。那么你覺得像這樣寫怎么樣？

生1：比較清楚。

生2：清楚是清楚，不過有點繁，有些好像不要寫兩次的。

師：是啊，要是能簡單些就好了。

生3：其實這個豎式積里十位上的數(shù)字可以移動到個位數(shù)字的左邊來，其余可以擦去的。

師：哦，你的想法挺好的，我們一起來看屏幕——

（屏幕上動畫演示豎式由繁到簡的過程。）

師：老師也來寫一次，你們看——這樣寫比原來是否是簡單多了？                     1 4

                     ×2

                     2 8

生：（齊）是！

師：我們以后列乘法豎式時，可以選擇簡單的方法來寫。

師：剛才寫的三道豎式，你們能不能把它們改成簡單的寫法？

（原來板演的三名學(xué)生上臺，其余學(xué)生也動手將初始寫法改成簡單寫法。）

在以上教學(xué)過程中，教師沒有簡單地讓學(xué)生用所謂簡化豎式計算，而是在實際計算中使學(xué)生進一步理解一位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，同時通過觀察、比較找出這些初始豎式的共同點，進而產(chǎn)生簡化豎式的需要，在此基礎(chǔ)上自然引出簡化模式。

可見，計算教學(xué)既需要讓學(xué)生在直觀在理解算理，也需要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

3，算法多樣與算法優(yōu)化。

數(shù)學(xué)課程改革實施的初期，大家對“算法多樣化”感覺很新鮮，計算教學(xué)一改過去“教材選定算法→教師講解算法→學(xué)生模仿算法→練習(xí)強化算法”的機械模式，出現(xiàn)了非常可喜的變化，“算法多樣化”已成為計算教學(xué)最明顯的特征。

案例6：“兩位數(shù)減一位數(shù)的退位減法”（北師大版《數(shù)學(xué)》一下）

首先，教師通過問題情境出示例題33-7。然后，經(jīng)過老師的精心“引導(dǎo)”，出現(xiàn)了多樣化的算法，老師花了將近一課時進行了展示（還分別用動畫式課件進行演示）：

（1）33-1-1-1-1-1-1-1=26

（2）33-3=30，30-4=26

（3）33-10=23，23+3=26

（4）13-7=6，20+6=26

（5）10-7=3，23+3=26

（6）33-13=20，20+6=26

（7）33-6=27，27-1=26

……

最后，老師說：“你們喜歡用什么用什么樣的算法就用什么樣的算法。”

課后，筆者與上課老師進行了交流，老師說：“現(xiàn)在計算教學(xué)一定要算法多樣化，算法越多越能體現(xiàn)課改精神。”筆者又詢問了課堂上想出第一種算法的學(xué)生：“你真是這樣算的嗎？”學(xué)生說：“我才不愿意用這種笨方法呢！是老師課前吩咐我這么說的。”筆者連續(xù)問了好幾個學(xué)生，竟沒有一個學(xué)生用這種逐個減1的方法。那么后面的幾種算法（特別是第六、第七種）真是學(xué)生自己想出來的嗎？

上述案例反映了在計算教學(xué)中少數(shù)老師對算法多樣和算法優(yōu)化這對基本矛盾的認(rèn)識模糊。算法多樣化應(yīng)是一種態(tài)度，是一個過程，算法多樣化不是教學(xué)的最終目的，不能片面追求形式化。老師不必煞費苦心“索要”多樣化的算法，也不必為了體現(xiàn)多樣化刻意引導(dǎo)學(xué)生尋求“低思維層次算法”。即使有時是教材編排的算法，但在實際教學(xué)中沒有出現(xiàn)，即學(xué)生已經(jīng)超越了“低思維層次算法”，教師可以不再出示，沒有必要走回頭路。

4，解決問題與技能形成。

《標(biāo)準(zhǔn)》中不再設(shè)置專門的“應(yīng)用題”領(lǐng)域，而是注重讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實際問題抽象為數(shù)與代數(shù)問題的過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題”。

現(xiàn)在的計算課，如何處理解決實際問題與計算技能形成之間的矛盾？計算本身的問題如何解決？

我們發(fā)現(xiàn)，為了體現(xiàn)計算與應(yīng)用的密切聯(lián)系，在計算教學(xué)時不少教師總是從實際問題引入，在學(xué)生初步理解了算理后，馬上就去解決大量的實際問題。表面上看，學(xué)生的應(yīng)用意識得到了培養(yǎng)，但另一方面我們也發(fā)現(xiàn)，學(xué)生常常是算式列對了，計算錯誤率卻很高。一段時間下來，學(xué)生的計算能力并未達到目標(biāo)，于是再反過來進行大量的訓(xùn)練，使得不少學(xué)生短時間內(nèi)似乎計算正確率和速度提高不少，但實際上違背了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生的計算技能并沒有實質(zhì)性的提高，更為嚴(yán)重的是，這種簡單化的處理大大挫傷了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

教育心理學(xué)認(rèn)為，計算是一種智力操作技能，而知識轉(zhuǎn)化為技能是需要過程的，計算技能的形成具有自身獨特的規(guī)律。學(xué)生計算技能的形成一般要經(jīng)歷四個階段，即：認(rèn)知階段、分解階段、組合階段、自動化階段。認(rèn)知階段主要是讓學(xué)生理解算理、明確方法，這比較容易做到，而后面三個階段常常被老師們忽視。一般說來，復(fù)雜的計算技能總是可以分解為單一技能，對分解的單一技能進行訓(xùn)練逐漸組合，才能形成復(fù)合性技能，再通過綜合訓(xùn)練就可以達到自動化階段。

誠然，過去計算教學(xué)中單調(diào)、機械的大量重復(fù)性的過度訓(xùn)練是要不得的，但是，在計算教學(xué)時只注重算理理解和解決實際問題，對計算技能形成的過程如晴蜓點水一帶而過，也是不利于培養(yǎng)學(xué)生的計算能力的。特別需要指出的是，在學(xué)生初步理解算理、明確算法后，不必馬上去解決實際問題，因為這時正是計算技能形成的關(guān)鍵階段，應(yīng)該根據(jù)計算技能形成的規(guī)律，及時組織練習(xí)。具體地說，可以先針對重點、難點進行專項和對比練習(xí)，再根據(jù)學(xué)生的實際體驗，適時縮減中間過程，進行歸類和變式練習(xí)，最后再讓學(xué)生面對實際問題，掌握相應(yīng)的策略。

總之，計算教學(xué)的基本矛盾的平衡對于數(shù)學(xué)課程改革的成敗有重要的影響，數(shù)學(xué)課程改革的深入推進也對計算教學(xué)的基本矛盾起著緩和或激化的作用。計算教學(xué)的基本矛盾也會出現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式。在處理這些矛盾時，應(yīng)該從數(shù)學(xué)教育本質(zhì)出發(fā)，在大膽創(chuàng)新的同時，吸取傳統(tǒng)教學(xué)中的優(yōu)勢，以計算教學(xué)基本矛盾的平衡為導(dǎo)向，促進計算教學(xué)的深入改革，為切實提高學(xué)生的計算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)打好基礎(chǔ)。