淺析數學思想方法在教學中的滲透
摘要：中學數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體，現行數學教材的編排是沿知識的縱向展開的，數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，沒有明確的揭示和總結。這樣就產生了如何處理數學思想方法教學的問題。數學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。教學應以貫徹滲透性原則為主線，結合落實反復性、系統性和明確性的原則．它們相互聯系，相輔相成，共同構成數學思想方法教學的指導思想。
關鍵詞：數學思想、數學方法、滲透、構建
一、數學思想方法教學與能力的關系
思想方法就是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實踐，一再被證明為正確、可以反復被應用到新的思維活動中，并產生出新的結果。數學思想方法，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論（概念、定理、公式、法則等）的本質認識。所以，數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。數學方法是指從數學角度提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）的過程中所采用的各種方式、手段、途徑等。數學思想和數學方法是緊密聯系的，一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。
數學思想方法是形成學生的良好的認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。中學數學教學大綱中明確指出：數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想方法。數學思想和方法納入基礎知識范疇，足見數學思想方法的教學問題已引起教育部門的重視，也體現了我國數學教育工作者對于數學課程發展的一個共識。這不僅是加強數學素養培養的一項舉措，也是數學基礎教育現代化進程的必然與要求。這是因為數學的現代化教學，是要把數學基礎教育建立在現代數學的思想基礎上，并使用現代數學的方法和語言。因此，探討數學思想方法教學的一系列問題，已成為數學現代教育研究中的一項重要課題。
從心理發展規律看，初中學生的思維是以形式思維為主向辨證思維過渡，高中學生的思維則是辨證思維的形成。進行數學思想方法教學，不僅有助于學生從形式思維向辯證思維過渡，而且是形成和發展學生辯證思維的重要途徑。
從認知心理學角度看，數學學習過程是一個數學認知結構的發展變化過程，這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的。所謂同化，就是主體把新的數學學習內容納入到自身原有的認知結構中去，把新的數學材料進行加工改造，使之與原教學學習認知結構相適應。所謂順應，是指主體原有的數學認識結構不能有效地同化新的學習材料時，主體調整成改造原來的數學內部結構去適應新的學習材料．在同化中，數學基礎知識不具備思維特點和能動性，不能指導“加工”過程的進行。而心理成份只給主體提供愿望和動機，提供主體認知特點，僅憑它也不能實現“加工”過程。數學思想方法不僅提供思維策略(設計思想)，而且還提供實施目標的具體手段(解題方法)。實際上數學中的轉化、化歸就是實現新舊知識的同化。與同化一樣，順應也在數學思想方法的指導下進行。積極進行數學思想方法教學，將極大地促進學生的數學認知結構的發展與完善。
從學習遷移看，數學思想方法有利于學生學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以極大地提高學習質量和數學能力。布魯納認為 “學習基本原理的目的，就在于促進記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來。高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具。”由此可見，數學思想方法作為數學學科的“一般原理”，在教學中是至關重要的，因此，對于中學生，不管他們將來從事什么工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學思想方法將隨時隨地發生作用，使他們受益終生。
二、數學思想方法的教學原理
數學思想方法的教學原理是說明數學思想方法的教學規律的。中學數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體，現行數學教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，并沒有明確的揭示和總結。這樣就產生了如何處理數學思想方法教學的問題。進行數學思想方法的教學，必須在實踐中探索規律，以構成數學思想方法教學的指導原則。數學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來說，應以貫徹滲透性原則為主線，結合落實反復性、系統性和明確性的原則．它們相互聯系，相輔相成，共同構成數學思想方法教學的指導思想。（如下圖所示）
1．滲透性原則：在具體知識教學中，一般不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的學習情境與教學過程，著意引導學生領會蘊涵在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。數學思想方法與具體的數學知識雖然是一個有機整體，它們相互關聯，相互依存，協同發展，但是具體數學知識的數學并不能替代數學思想方法的數學。一般來說，數學思想方法的教學總是以具體數學知識為載體，在知識的教學過程中實現的。數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題、體現數學思想的手段和工具。所以，數學思想方法具有高度的抽象性與概括性。如果說數學方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數學方法的概括的數學思想，卻只表現為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數學思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實現的，必須要日積月累，長期滲透才能逐漸為學生所掌握。
數學思想方法的滲透主要是在具體知識的教學過程中實現的。因此，要貫徹好滲透性原則，就要不斷優化教學過程。比如，概念的形成過程；公式、法則、性質、定理等結論的推導過程；解題方法的思考過程；知識的小結過程等，只有在這些過程的教學中，數學思想方法才能充分展現它們的活力。取消或壓縮教學的思維過程，把數學教學看為知識結論的教學，就失去了滲透數學思想方法的機會，使數學思想方法無有用武之地。
2．反復性原則：學生對數學思想方法的領會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認識規律。因此，這個認識過程具有長期性和反復性的特征．
從一個較長的學習過程看，學生對每種數學方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程．如對同一數學思想方法，應該注意其在不同知識階段的再現，以加強學生對數學思想方法的認識．
另外，由于個體差異的存在，與具體的數學知識相比，學生對數學思想方法的掌握往往表現出更大的不同步性．在教學中，應注意給中差生更多的思考，接受理解的時間，逾越了這個過程，或人為地縮短，會導致學生囫圇吞棗，長此以往，會形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。
3．系統性原則：與具體的數學知識一樣，數學思想方法只有形成具有一定結構的系統，才能更好地發揮其整體功能。數學思想方法有高低層次之別，對于某一種數學思想而言，它所概括的一類數學方法，所串聯的具體數學知識，也必須形成自身的體系，才能為學生理解和掌握，這就是數學思想方法教學的系統性原理。
對于數學思想方法的系統性的研究，一般需要從兩個方面進行：一方面要研究在每一種具體數學知識的教學中可以進行哪些數學思想方法的教學。另一方面，又要研究一些重要的數學思想方法可以在那些知識點的教學中進行滲透，從而在縱橫兩個維度上整理出數學思想方法的系統。例如《數列》這一章，就體現了函數與方程、等價轉化、分類討論等重要的數學思想以及待定系數法、配方法、換元法、消元法、“歸納一猜想一證明”等基本的數學方法。
4．明確性原則：在中學數學各科教材中，數學思想方法的內容顯得薄弱，除了一些具體的數學方法比較明確外，一些重要的數學思想方法都沒有比較明確和系統的闡述，而它們一直蘊含在基礎知識的教學之中。從數學思想方法教學的整個過程來看，只是長期、反復、不明確的滲透，將會影響學生認識從感性到理性的飛躍，妨礙了學生有意識地去掌握和領會。滲透性和明確性是數學思想方法教學辯證的兩個方面。因此，在反復滲透的教學過程中，利用適當時機，對某些數學思想方法進行概括、強化和提高，對它的內容、名稱、規律、使用方法適度明確化，是掌握、運用數學思想方法并轉化為能力的前提，所以數學思想方法的教學應貫徹明確性原則。貫徹數學思想明確化原則，是讓學生理解數學思想的關鍵，是熟練掌握、靈活運用、轉化為能力的前提。
例如在解題教學中，可經常采用一題多解，多題一解的教學方法明確數學思想方法。一題多解是運用不同的數學思想方法，尋求多種解法；多題一解又是運用同一種數學思想方法于多種題目之中。但是在教學中，往往缺乏從數學思想方法的高度去闡明其中的本質和通法。我們在解題教學中，將蘊含其中的數學思想方法明確化，有利于學生掌握其中規律，使學生的認識能力產生飛躍。
三、中學數學中的主要思想方法
1．中學數學中的主要思想：函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。
（1）函數與方程思想：就是用函數的觀點、方法研究問題，將非函數問題轉化為函數問題，通過對函數的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉化為函數問題，建立函數關系，研究這個函數，得出相應的結論。中學數學中，方程、數列、不等式等問題都可利用函數思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函數值域的考察加以解決。例如1990年全國高考題：如果實數x、y滿足（x-2）2 + y2 =3，那么
（2）數形結合思想:數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學,因而數學研究總是圍繞著數與形進行的。“數”就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；“形”就是圖形、圖象、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形。華羅庚曾說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。例如：已知x1是方程x+ lgx =3的根，x2是x+10x =3的根，則x1+x2等于（ ）（A）6（B）3（C）2（D）1 . 分析：構造函數y=lgx，y=10x，y=3－x，由于y=lgx與y=10x互為反函數，圖象關于直線y=x對稱，而直線y=3－x 與y=x互相垂直，所以y=3－x與y=lgx和y=3－x與y=10x的交點P1（x1，y1）P2（x2，y2）是關于直線y=3－x 與y=x的交點M（x0，y0）對稱的，故x1+x2=2 x0=3，選（B），（圖略）．
（3）分類討論思想：就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。
數學中的分類有現象分類和本質分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特征、外部關系為根據的，如復數分為實數與虛數等，這種分法看上去一目了然，但不能揭示所分對象之間的本質聯系；后一種分類是按對象的本質特征、內部聯系進行分類的，如函數按單調性或有界性分類，多面體按柱、錐、臺分類等。引起分類討論的主要原因有：①由數學概念引起的分類討論；②由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討論；③由數學式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論；④由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；⑤對于含有參數的問題要對參數的允許值進行全面的分類討論。
（4）化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程?；瘹w與轉化的一般原則是：①化歸目標簡單化原則；②和諧統一性原則（化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量、形、關系方面趨于統一的方向進行，使問題的條件與結論表現得更均勻和恰當。）；③具體化原則；④標準形式化原則（將待解問題在形式上向該類問題的標準形式化歸。標準形式是指已經建立起來的數學模式。如二次函數y=ax2+bx+c （a≠0）；橢圓方程
高中數學涉及最多的是轉化思想，如超越方程代數化、三維空間平面化、復數問題實數化等，為了實現轉化，相應地產生了許多的數學方法，如消元法、換元法、圖象法、待定系數法、配方法等。通過這些數學方法的使用，使學生充分領略數學思想在數學領域里的地位與作用。
2．中學數學中的基本數學方法
（1）數學中的幾種常用求解方法：配方法、消去法、換元法、待定系數法、數學歸納法、坐標法、參數法、構造法、數學模型法等；
（2）數學中的幾種重要推理方法：綜合法與分析法、完全歸納法與數學歸納法、演繹法、反證法與同一法；
（3）數學中的幾種重要科學思維方法：觀察與試嘗、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、比較與分類、歸納與類比、直覺與頓悟等。
四、數學思想方法教學途徑的探索
1．在基礎知識的教學過程中，適時滲透數學思想方法
在教學過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質、公式的推導過程和例題的求解的過程，基本數學思想和數學方法都是在這個過程中形成和發展的，數學基本技能也是在這個過程學習和發展的，數學的各種能力也是在這個過程中得到培養和鍛煉的，數學思想和數學觀念也是在這個過程中形成的。
（1）重視概念的形成過程
概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結果。而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據數學思想方法的指導。因而概念教學應當完整地體現這一過程，引導學生揭示隱藏于概念之中的思維內核。例如，高一新教材，數學第一冊（上）第二章函數，有關函數的單調性的知識，是數形結合思想滲透教學的最好材料，教學中要充分抓住這一有利時機。函數f（x）在區間A上是增函數或減函數可直觀地用下圖示意：
通過圖象的直觀性，可使學生深刻理解函數的單調性，也使學生對增函數、減函數的定義有更加明確的認識。
（2）引導學生對定理、公式的探索、發現、推導的過程
在定理、性質、法則、公式、規律等的教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法指導下，弄清每個結論的因果關系，最后再引導學生歸納得出結論。
例如，高一新教材，數學第一冊（上）第三章數列，教師要不失時機地引導學生觀察發現數列是特殊的函數，關于等差數列，由通項公式和求和公式看出，an和Sn都是n的函數，當d≠0時，an是n的一次函數，Sn是n的二次函數。因此可以用一次、二次函數的有關知識來解決等差數列的通項、前n項和的問題。函數的圖象是函數的靈魂。an =a1 +(n－1)d的圖象是一條直線上的點．Sn =na1 +
2．在小結復習的教學過程中，揭示、提煉概括數學思想方法
由于同一內容可蘊含幾種不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常分布在許多不同的基礎知識之中，及時小結、復習以進行強化刺激，讓學生在腦海中留下深刻的印象，這樣有意識、有目的地結合數學基礎知識，揭示、提煉概括數學思想方法，既可避免單純追求數學思想方法教學欲速則不達的問題，又明快地促使學生認識從感性到理性的飛躍。例如，《數列》這一章，體現了函數與方程、等價轉化、分類討論等重要的數學思想以及待定系數法、配方法、換元法、消元法、“歸納一猜想一證明”等基本的數學方法。復習小結時可配合知識點和典型例題強化訓練。
3．抓好運用，不斷鞏固和深化數學思想方法
在抓住學習重點、突破學習難點及解決具體數學問題中，數學思想方法是處理這些問題的精靈，這些問題的解決過程，無一不是數學思想方法反復運用的過程，因此，時時注意數學思想方法的運用既有條件又有可能，這是進行數學思想方法教學行之有效的普遍途徑．數學思想方法也只有在反復運用中，得到鞏固與深化．例如2000年全國高考題：設{
分析：題設給出了數列相鄰兩項所滿足的關系式（遞推公式）和首項
如果注意到遞推公式是關于
由
①
②
參考文獻：
1．陳英和《認知發展心理學》浙江人民出版社，1996.12
2．沈文選《中學數學思想方法》湖南師范大學出版社，1999.4
3．吳立崗《教學的原理、模式和活動》廣西教育出版社，1998.3
