導(dǎo)讀
本文既可作為高中生(高二, 高三)的課外知識拓展, 也可用于大學(xué)生加深對坐標(biāo)變換的理解.
我們初中學(xué)過反比例函數(shù)
并且知道反比例函數(shù)的圖像是雙曲線. 兩條曲線, 所以是雙曲線, 沒有問題
.
但是上了高二以后才知道, 不是所以的兩條曲線都叫雙曲線的, 必須要到兩個定點的距離之差是一個常數(shù)的點的軌跡才能叫雙曲線, 偏一點都不行. 那么問題來了:
反比例函數(shù)的圖像是真·雙曲線嗎?
更進一步地:
如果是, 那么
它的焦點在哪里?
是多少?
準(zhǔn)線是什么?
下面始終假設(shè)
來討論.
首先, 我們可以作一些合理的猜測. 如果是雙曲線, 那么坐標(biāo)軸就是它的漸近線. 由于兩漸近線垂直, 所以應(yīng)該是等軸雙曲線. 所以離心率
. 進一步地,
和
是它的兩個頂點, 所以
. 這樣,
就可以都算出來了.
那么上面的猜測對不對呢? 我們通過精確的計算來說明這個問題.
要想知道反比例函數(shù)的圖像是不是雙曲線, 在原有的坐標(biāo)系下看不出來, 要重新建立一個坐標(biāo)系, 使得雙曲線能有一個形如
的標(biāo)準(zhǔn)方程. 所以按下面這個方式建立一個新的坐標(biāo)系:
我把這個坐標(biāo)系叫做紅坐標(biāo)系, 原坐標(biāo)系叫黑坐標(biāo)系, 并且紅坐標(biāo)系中的一切我都用紅色字來表示. 這樣一來, 就有兩套坐標(biāo)系了, 于是每個點都有兩個坐標(biāo), 在不同的坐標(biāo)系中有不同的坐標(biāo). 例如說, 如果一個點在黑坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是
, 經(jīng)過簡單的計算, 可以算出這個點在紅坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是
.
對于一般的點的兩個坐標(biāo), 有這樣的關(guān)系(紅轉(zhuǎn)黑):
或者(黑轉(zhuǎn)紅):
如圖:
這個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式可以用高中的知識證明, 但是非常煩瑣. 如果用大學(xué)的矩陣知識來證明,卻是十分簡單.
有了這組坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式, 我們可以開始解決問題了. 通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式, 可以把黑坐標(biāo)系下的曲線方程轉(zhuǎn)換成紅坐標(biāo)系下的曲線方程, 看看是什么樣子的. 我們的反比例函數(shù)圖像在黑坐標(biāo)系下的方程是
利用紅轉(zhuǎn)黑的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式, 可以得出圖像在紅坐標(biāo)系下的方程為
天哪! 這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程! 在紅坐標(biāo)系下, 它終于現(xiàn)形了! 一切都已經(jīng)變得很熟悉:
焦點是
;
;
準(zhǔn)線是
;
要注意的是, 上面的結(jié)論是在紅坐標(biāo)系下的, 要得到黑坐標(biāo)系下的答案, 還要再用一下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式.
根據(jù)紅轉(zhuǎn)黑的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式, 黑坐標(biāo)系下的焦點坐標(biāo)是:
也就是
和
;
是雙曲線的固有屬性, 在不同的坐標(biāo)系下當(dāng)然是一樣的;
根據(jù)黑轉(zhuǎn)紅的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式, 黑坐標(biāo)系下的準(zhǔn)線方程是:
也就是
和
.
到現(xiàn)在為止, 已經(jīng)圓滿地解決了文章開頭的疑問. 實際上, 大學(xué)的解析幾何有這樣的結(jié)論: 對于曲線
如果
, 那么它表示雙曲線(或雙曲線的退化形式);
如果
, 那么它表示拋物線(或拋物線的退化形式);
如果
, 那么它表示橢圓(或橢圓的退化形式).
利用這個結(jié)論, 將'雙勾函數(shù)':
的表達式化簡得
, 可知其圖像也是真·雙曲線(另一條漸近線是
).
