8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點
的距離分別為
，焦點
的面積為
，則在橢圓
中， ①
＝，且當即為短軸端點時，最大為＝；②，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：①；②。比如：
①短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為________（答：6）；
②設P是等軸雙曲線右支上一點，F1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；
③雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝，F1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且是與等差中項，則＝__________（答：）；
④已知雙曲線的離心率為2，F1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，．求該雙曲線的標準方程（答：）；
9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。
10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝，若弦AB所在直線方程設為，則＝。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。比如：
①過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；
②過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ΔABC重心的橫坐標為_______（答：3）；
11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=－；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。比如：
①如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；
②已知直線y=－x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______（答：）；
③試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱（答：）；
特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！
12．你了解下列結論嗎？
（1）雙曲線的漸近線方程為；
（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數，≠0）。
如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_______（答：）
（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；
（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準距為；
（5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；
（6）若拋物線的焦點弦為AB，，則①；②
（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點
13．動點軌跡方程：
（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；
（2）求軌跡方程的常用方法：
①直接法：直接利用條件建立之間的關系；
如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程．（答：或）；
②待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數。
如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為 （答：）；
③定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；
如(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=600，則動點P的軌跡方程為 （答：）；（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______ （答：）；(3) 一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為 （答：雙曲線的一支）；
④代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；
如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________（答：）；
⑤參數法：當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程）。
如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。（答：）；（2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是____（答：）；（3）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是________（答：）；
注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。
如已知橢圓的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足（1）設為點P的橫坐標，證明；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當時不存在；當時存在，此時∠F1MF2＝2）
②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.
③在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.
④如果在一條直線上出現“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉化.
14、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：
（1） 給出直線的方向向量或；
（2）給出與相交,等于已知過的中點;
（3）給出,等于已知是的中點;
（4）給出,等于已知與的中點三點共線;
（5） 給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等于已知三點共線.
（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即
（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角。
（8）給出,等于已知是的平分線/
（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;
（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;
（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（14）在中，給出等于已知通過的內心；
（15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；
（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;
