第三章 基本初等函數(shù)Ⅱ（三角函數(shù)）
3.1任意角三角函數(shù)
一、知識導(dǎo)學(xué)
1．角：角可以看成由一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的幾何圖形.角的三要素是：頂點、始邊、終邊.角可以任意大小，按旋轉(zhuǎn)的方向分類有正角、負(fù)角、零角.
2．弧度制：任一已知角的弧度數(shù)的絕對值
，其中
是以
作為圓心角時所對圓弧的長，為圓的半徑.規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制.
3．弧度與角度的換算：；
；1.用弧度為單位表示角的大小時，弧度（rad）可以省略不寫.度不可省略.
4．弧長公式、扇形面積公式：,其中為弧長，為圓的半徑.圓的周長、面積公式是弧長公式和扇形面積公式中當(dāng)時的情形.
5．任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)是一個任意大小的角，角終邊上任意一點P的坐標(biāo)是，它與原點的距離是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別是.這六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).
6．三角函數(shù)的定義域
三角函數(shù) | 定義域 |
| R |
| R |
|
|
|
|
|
|
|
|
7．三角函數(shù)值的符號：各三角函數(shù)值在第個象限的符號如圖所示（各象限注明的函數(shù)為正，其余為負(fù)值）
可以簡記為“一全、二正、三切、四余”為正.
二、疑難知識導(dǎo)析
1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角
（1）角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角（或說這個角屬于第幾象限）.它的前提是“角的頂點為原點，角的始邊為軸的非負(fù)半軸.否則不能如此判斷某角為第幾象限.若角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說這個角不屬于任何象限.
（2）與角終邊相同的角的集合表示.
，其中為任意角.終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個，它們相差整數(shù)倍.
2．值得注意的幾種范圍角的表示法
“0～間的角”指；“第一象限角”可表示為；“小于90的角”可表示為.
3．在弧度的定義中與所取圓的半徑無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).
4．確定三角函數(shù)的定義域時，主要應(yīng)抓住分母為零時比值無意義這一關(guān)鍵.當(dāng)終邊在坐標(biāo)軸上時點P坐標(biāo)中必有一個為0.
5．根據(jù)三角函數(shù)的定義可知：（1）一個角的三角函數(shù)值只與這個角的終邊位置有關(guān)，即角與的同名三角函數(shù)值相等；（2），故有，這是三角函數(shù)中最基本的一組不等關(guān)系.
6．在計算或化簡三角函數(shù)關(guān)系式時，常常需要對角的范圍以及相應(yīng)三角函數(shù)值的正負(fù)情況進(jìn)行討論.因此，在解答此類問題時要注意：（1）角的范圍是什么？（2）對應(yīng)角的三角函數(shù)值是正還是負(fù)？（3）與此相關(guān)的定義、性質(zhì)或公式有哪些？
三、經(jīng)典例題導(dǎo)講
[例1] 若A、B、C是的三個內(nèi)角，且，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（ ）
①. ②. ③. ④.
A．1 B.2 C.3 D.4
錯解： ∴ ，故選B
錯因：三角形中大角對大邊定理不熟悉，對函數(shù)單調(diào)性理解不到位導(dǎo)致應(yīng)用錯誤
正解：法1在中，在大角對大邊，
法2 考慮特殊情形，A為銳角，C為鈍角，故排除B、C、D，所以選A .
[例2]已知角的終邊關(guān)于軸對稱，則與的關(guān)系為 .
錯解：∵角的終邊關(guān)于軸對稱，∴+，（
錯因：把關(guān)于軸對稱片認(rèn)為關(guān)于軸的正半軸對稱.
正解：∵角的終邊關(guān)于軸對稱
∴ 即
說明：（1）若角的終邊關(guān)于軸對稱，則與的關(guān)系為
（2）若角的終邊關(guān)于原點軸對稱，則與的關(guān)系為
（3）若角的終邊在同一條直線上，則與的關(guān)系為
[例3] 已知 ，試確定的象限.
錯解：∵，∴是第二象限角，即
從而
故是第三象限角或第四象限角或是終邊在軸負(fù)半軸上的角.
錯因：導(dǎo)出是第二象限角是正確的，由即可確定，
而題中不僅給出了符號，而且給出了具體的函數(shù)值，通過其值可進(jìn)一步確定的大小，即可進(jìn)一步縮小所在區(qū)間.
正解：∵，∴是第二象限角，
又由知
，故是第四象限角.
[例4]已知角的終邊經(jīng)過，求的值.
錯解：
錯因：在求得的過程中誤認(rèn)為0
正解：若，則，且角在第二象限
若，則，且角在第四象限
說明：（1）給出角的終邊上一點的坐標(biāo)，求角的某個三解函數(shù)值常用定義求解；
（2）本題由于所給字母的符號不確定，故要對的正負(fù)進(jìn)行討論.
[例5] （1）已知為第三象限角，則是第 象限角，是第 象限角；
（2）若，則是第 象限角.
解：（1）是第三象限角，即
，
當(dāng)為偶數(shù)時，為第二象限角
當(dāng)為奇數(shù)時，為第四象限角
而的終邊落在第一、二象限或軸的非負(fù)半軸上.
（2）因為，所以為第二象限角.
點評：為第一、二象限角時，為第一、三象限角，為第三、四象限角時，為第二、四象限角，但是它們在以象限角平分線為界的不同區(qū)域.
[例6]一扇形的周長為20，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？
解：設(shè)扇形的半徑為，則扇形的弧長
扇形的面積
所以當(dāng)時，即時.
點評：涉及到最大（小）值問題時，通常先建立函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用函數(shù)求最值的方法確定最值的條件及相應(yīng)的最值.
[例7]已知是第三象限角，化簡.
解：原式＝＝
又是第三象限角，
所以，原式＝.
點評：三角函數(shù)化簡一般要求是：（1）盡可能不含分母；（2）盡可能不含根式；（3）盡可能
使三角函數(shù)名稱最少；（4）盡可能求出三角函數(shù)式的值.本題的關(guān)健是如何應(yīng)用基本關(guān)系式脫去根式，進(jìn)行化簡.
[例8] 若角滿足條件，則在第（ ）象限
A.一 B.二 C.三 D.四
解：角在第二象限.故選B.
[例9] 已知，且.
（1）試判斷的符號；
（2）試判斷的符號.
解：（1）由題意，，
，所以.
（2）由題意知為第二象限角，，所以.
四、典型習(xí)題導(dǎo)練
1．已知鈍角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為 ）
A． B． C． D．
2．角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對稱，則β為（ ）
A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，則角α的集合為（ ）
A．[2k－，2k +] B.( 2k－,2k+)
C.( 2k－，2k+)∪ D.以上都不對
4．當(dāng)0＜x＜時,則方程cos (cosx)=0的解集為( )
A. B. C. D.
5．下列四個值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小關(guān)系是( )
A.cos3＜tg3＜ctg3＜sine B.sin3＞cos3＞tg3＞ctg3
C.cot3＜tan3＜cos3＜sin3 D.sin3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0, ),則下面四式: 中正確命題的序號是 .
①sinx＜x＜tgx ②sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
③sin3x+cos3x＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四組角：(1)k+；(2)k-；(3)2k±；(4)-k+(k∈z)其中終邊相同的是（ ）
A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3)
C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的終邊過點(sin30°，-cos30°),則sinα等于（ ）
A. B.－ C.－ D.－
9．函數(shù)y= 的定義域是______,值域是______.
10．若點P在第一象限，則在［０，2］內(nèi)的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.
