普通高中課程標準實驗教科書A版《數學1》人民教育出版社2007年第2版第25頁習題1.2組第4題是一道意境深遠的應用題，在高三復習函數的應用時我們將其改造成如下一道最優化應用題，本文試圖從解題思路和解法方面作些探討與讀者交流。
題目 如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點的距離是2
，從點
沿海岸正東12處有個城鎮，假設一個人駕駛的小船的平均速度為3/
，步行的速度為5/，試問此人在何處靠岸從小島到城鎮所用時間最短，最短時間是多少？
思路一、構建函數模型
分析 這是一道最優化問題，其一般思路是建立函數模型求函數最值。這里邊有兩個關鍵，首先是選擇合適的變元作為自變量這一點非常重要，自變量的選擇直接影響函數模型的建立和后面求最值方法的選擇及解法的繁難，其次是根據函數解析式怎樣求出函數最值。本題可選擇線段長為自變量也可選擇角為自變量。
1.設線段長為自變量
解 設此人在海岸點處靠岸，點到點的距離，則，
，又設小島到城鎮所需要的時間為小時。則與間的函數關系式為，即。
法1（判別式法）設，此函數是原函數的核心部分，當最小值時最小。由得，兩邊平方整理得，因方程有實根，所以有，解得，所以，此時方程有兩個相等實根，故當時，。
故此人應在海岸線上距點處靠岸，從小島到城鎮所用時間最短，最短時間是2小時56分鐘。
點評 本解法通過設線段長為自變量建立函數模型，先將實際問題轉化為一個無理函數的最值問題，再通過平方法，將函數問題轉化為一元二次方程，最后用判別式法求出的取值范圍，從而求出問題的最值。
法2（導數法）函數兩邊同時對求導得，，令得，又本題在內只有一個極值點，據題意本題有最小值，故當時，，下同法1這里從略。
2.設角為自變量
解 設，則，從而，所以
，因為，又，所以。化切為弦得，即，這個函數的核心部分是，則問題轉化為求這個核心函數的最小值。該函數的最小值求法很多，下面給出三種解法。
法3（導數法）式子兩邊同時對求導得，，令得，又本題只有一個極值點，據題意本題有最小值，故當時，所以，即當時，。
法4（數形結合）由聯想到斜率公式，如圖，此式是過兩點的直線的斜率，因為為銳角，所以點在第二象限的橢圓上，由圖可知當直線與橢圓相切時，斜率最大，又橢圓在點處的切線方程為，又因為此切線經過點，將點的坐標代入得，所以，所以，。
點評 由函數式子結構特點聯想到斜率公式，由點的坐標聯想到橢圓方程，數形結合聯想豐富，解法有創意。
法5（用弦函數的有界性）由得，由正弦函數的有界性知，所以，所以。當時，則有，移項得，兩邊平方整理得，解得，所以，所以，。
思路二 構建物理模型
此題可類比光學知識解決。光學費馬原理告訴我們：兩點之間光沿著所需時間為最短的路徑傳播。我們又知道光在兩種媒介傳播時遵循折射定律：光在兩種媒介中的傳播速度之比等于入射角與反射角的正弦之比。
法6（用光學知識）把分別視為的入射光線和折射光線，設入射角為折射角為，依題意，類比光學原理和折射定律，當，即時所用時間最短，此時，又，所以，。
點評 綜合運用多學科知識思考問題解決問題，是素質教育和新課改的要求。本解法聯想到物理光學知識，構造物理模型用物理學知識解決數學問題，學科內容相互交叉思想方法相互深透，體現綜合素質，解法新穎獨特有創意，構造物理模型解決數學問題，它山之石可以攻玉。
