【九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）】三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個點(diǎn)在同一個圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:
（1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;
（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);
（3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕;
【歐拉線】
定義：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。
歐拉線定理：三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線。
歐拉線的性質(zhì)：
1、在任意三角形中，以上四點(diǎn)共線。銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和
2、歐拉線上的四點(diǎn)中，九點(diǎn)圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。
3、歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr．
【費(fèi)馬點(diǎn)】
定義：在一個三角形中，到3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)叫做這個三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。
費(fèi)馬點(diǎn)的判定
（1）對于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點(diǎn)E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費(fèi)馬點(diǎn)。
（2）如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120°，這個內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；如果3個內(nèi)角均小于120°，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。
費(fèi)馬點(diǎn)性質(zhì)：
（1）平面內(nèi)一點(diǎn)P到△ABC三頂點(diǎn)的之和為PA+PB+PC，當(dāng)點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)時，距離之和最小。
（2）.特殊三角形中，三內(nèi)角皆小于120°的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側(cè)做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后連接AA1,BB1,CC1,則三線交于一點(diǎn)P,則點(diǎn)P就是所求的費(fèi)馬點(diǎn).
(3).特殊三角形中，若三角形有一內(nèi)角大于或等于120度,則此鈍角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)
(4)特殊三角形中，當(dāng)△ABC為等邊三角形時,此時外心與費(fèi)馬點(diǎn)重合
【四點(diǎn)共圓基本證明方法】
證明四點(diǎn)共圓有下述一些基本方法：
方法1：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個圓上，若能證明這一點(diǎn)，即可肯定這四點(diǎn)共圓．
方法2：把被證共圓的四個點(diǎn)連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點(diǎn)共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點(diǎn)共圓，且斜邊上兩點(diǎn)連線為該圓直徑。）
方法3：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對角互補(bǔ)或能證明其一個外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對角時，即可肯定這四點(diǎn)共圓．
方法4：把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點(diǎn)分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點(diǎn)兩兩連結(jié)并延長相交的兩線段，若能證明自交點(diǎn)至一線段兩個端點(diǎn)所成的兩線段之積等于自交點(diǎn)至另一線段兩端點(diǎn)所成的兩線段之積，即可肯定這四點(diǎn)也共圓．（割線定理的逆定理）
