淺析第五公設的證明及其影響與意義
由于歐幾里德的 第五公設陳訴不夠自明，又更像一條定理，因而引起人們的極大關注。數學家試圖從歐幾里德的其他公設與公理中將其推導出來。這種嘗試，使數學家忙碌了兩千多年，雖然提出了這樣或那樣的證明，但最終發覺在每個證明中或早或遲都使用了等價第五公設的一條命題（即是這些證明逃脫不了循環論證的命運）。盡管如此，在一些研究中還是孕育了積極的思想。
以下給出各時代有代表的數學家給出的第五公設證明過程。
首先歐幾里德第五公設：若一條直線與另外兩條直線相交，當有一側的兩個同側內角之和小于兩直角是，則這兩條直線就在這一側相交。
一、公元五世紀普羅克魯斯對第五公設的試證過程：設共面的兩條直線L1與L2被第三條直線L3所截，在直線L3的一側構成同側內角α和β，并且α＋β＜2d(d表示直角)，求證L1與L2兩直線必相交。
γ |
α |
H |
α1 |
L3 |
L |
L1 |
A |
圖1.1 |
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β |
C |
這樣就證明了兩條直線L1，L2必相交，并且交點在被第三條直線L3所截的同側內角之和小于兩直角的一側（證畢）。
普羅克魯斯在這個證明中作了兩個假設。
（1） 當C點沿直線無限遠離B點時，距離H=CD，將無限增大。
（2） 兩條平行線之間的距離是有限的，并且處處相等。
事實上，（1）是對的，它可利用《幾何原本》中的公設4和公理5推導出；而（2）是錯的，它是一個與第五公設等價的命題。普羅克魯斯的“證明”顯然沒有達到目的。
二、意大利數學家薩開里對第五公設的試證過程：薩開里考慮底邊AB上兩底角都是直角，并且兩條側邊AD和BC相等的四邊形ABCD（圖1.2）。他首先證明AB和CD的中點連線EF與上下底邊垂直，并且兩個底角∠C=∠D，這時三種可能：
(1) ∠C和∠D都是鈍角（鈍角假設）
(2) ∠C和∠D都是直角（直角假設）
(3) ∠C和∠D都是銳角（銳角假設）
其中，鈍角假設易被否定，而直角假設可推導出第五公設成立，于是只要否定銳角假設即可。薩開里企圖由銳角假設成立而引出矛盾。他推導三十多步都沒有找出矛盾，在深入展開推論，則建立了復雜的幾何體系，其中有一部分結論于直覺不符，卻找不到在邏輯上的自相矛盾的地方。例如，他證明了，這兩條直線在它公垂線兩側相互無界的分離；或者沒有公共的垂線，這兩條直線在一個方向無限接近，而在另一方向則無界的分離。這些結論從邏輯上挑不出任何毛病，但他卻認為這些結論不合情理，于是由此斷定銳角假設是不真實的。這樣，他自認為自己證明了第五公設。實際上，薩開里得到的一系列異于直覺的推論正是屬于非歐幾何的可惜他自己并未察覺這一點而把他否定了。
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D |
A |
B |
C |
E |
F |
圖1.2 |
三、德國數學家蘭伯特也有類似的對第五公設的試證。他于1766年在其著作《平行線理論》中考慮有三個內角都是直角的四邊形ABCD(圖1.3).他對第四個內角的三種可能性分別做了分析：直角假設等價于第五公設；銳角假設不可能，他與公設4，公理5矛盾；對于從銳角假設推導出的結論，他猜想可能應用于虛半徑球面的圖形上，蘭伯特的幾何觀點是比較先進的，他認為任何一組假設，如果不導致假設矛盾，那么一定提供一種可能的幾何。蘭伯特比他用時代的人走了更正確的途徑，他預感到第五公設問題的真正的答案
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D |
A |
B |
C |
圖1.3 |
。
數學的特殊成果，一般不會只是個人的工作。這種數學積累的發展，特別適用于創立非歐幾里德幾何的情形。前面已經介紹的是非歐幾何的先行者。而非歐幾何的發現者，應屬于以下三個數學家——德國的高斯；匈牙利的波爾約；俄國的羅巴切夫斯基。
高斯在19世紀初也曾試圖證明第五公設。他在1817年的同信中即談到“所要證明的部分是不可能的……”1824年，在一封信上說“三角形的三內角之和小于180度這假定引導特殊的，與我們的幾何完全相異的幾何”。但是由于種種原因，高斯生前并未發表關于非歐幾何的任何研究成果。
波爾約在1823年已得到關于新的平行線理論的結果，1832年一附錄的形式在他父親的一本書后發表了他的研究成果《絕對空間的科學》，其中論述的“絕對幾何”就是非歐幾何。由于他的工作得不到同時代的數學家的理解，特別是得不到高斯的理解，從此他放棄了數學研究。
圖1.4 |
C |
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D |
A |
B |
F |
C |
ω |
E |
G |
羅巴切夫斯基建立的非歐幾何在當時沒有得到人們的承認。在他去世后，意大利數學家貝爾特拉米于1868年發表論文《關于非歐幾里德幾何的解釋》，其中給出了羅巴切夫斯基幾何的第一個模型——具有負常曲率的為球面，使得羅巴切夫斯基幾何有了現實的意義。可以說這時人們對羅氏幾何看法的轉折點。此后又有克萊因和龐加萊關于羅巴切夫斯基幾何的解釋。使得羅氏幾何最終被人們所確立。
羅巴切夫斯基成功的建立了一種非歐幾何，解決了第五公設問題，即它不可能用除它以外的歐幾里德的其余公理加以證明的。1899年，數學家希爾伯特在其《幾何基礎》中最終彌補了歐幾里德公理系統的不足之處，提供了一個完善的公理系統。
這樣，兩千多年來歐幾里德幾何作為反映現實世界的唯一正確的幾何空間的地位被動搖，為創立不同的幾何學開辟了道路。而第五公設的證明所帶來的影響也是深遠的。
非歐幾何的創立在數學中導入了富有革命性的思想。一開始被視為離經叛道，為人所不容，后經過一代又一代數學家的努力才使人們最終接受和理解。17世紀初期，生產的發展和科學技術的進步給數學不斷提出新的問題。如在變速運動中如何解決速度，路程與時間的變化問題等，解決這些問題，必須使用——變量數學，作為非歐幾何的解析幾何因運而生，他將代數與幾何統一起來，使常量數學進入了變量數學；微分幾何創立與18世紀，當時研究內容只涉及用分析方法研究位于歐式空間中的曲線，曲面的性質。1827年高斯發表《關于曲面的一般研究》，提出了內蘊曲面理論，為微分幾何的研究注入了新的思想，即將參數表示的曲面本身視為一個空間，它的特性不依賴與他的包容空間，開創微分幾何的現代研究。1854年黎曼《論作為幾何學基礎的假設》中，創立了黎曼幾何學。為物理與力學的研究提供了各種空間模式和數學工具，如愛因斯坦的廣義相對論就是一黎曼幾何為數學工具的例證。
15－16世紀文藝復興時期，隨著繪畫和建筑藝術的發展，歐洲學者發現透視原理。1639年法國數學家G.Desargues,在其著作《試圖處理圓錐與平面相交情況初稿》，通過對透視的研究，提出了射影幾何的一些概念
