從具象到抽象
——談高一年級數(shù)學《充要條件》章節(jié)
劉向軍
高一新生開學不到兩周，有一個學生陷入了抑郁狀態(tài)，根源之一是聽不懂高一年級數(shù)學《充要條件》這一章節(jié)的內(nèi)容了。
老師在課堂上講概念的時候似乎也能聽得懂，老師在講題的時候似乎也能聽得懂，但并不真的懂；問了老師兩次還是不能完全明白，也和學生交流過，可還是不能完全明白：這個學生說著就哭了起來，顯然他陷入了思維的障礙中，目前無法越過。
這是一個概念問題、知識問題也是一個解題技巧問題，但最根本的還是一個思維的層級躍遷問題，或者說是認知圖式的建構問題。要解決這些問題，就需要在思維躍遷的每一個層面都要有清晰而深刻的認識并使之熟練。
首先要引導學生在具象的層面上建構概念。
如果你是全年級個子最高的學生，根據(jù)這個條件可以推導出你一定也是你們班級個子最高的學生。這個生活道理淺顯易懂，但不要因為它的淺顯易懂而就輕易地忽視了它對后續(xù)學習的重要性，因為一旦進入數(shù)學建模，其抽象性和復雜性就隨之出現(xiàn)。
上面的生活情形如果把前者記作P后者記為Q，由P可以推導出Q，也就是說如果你是年級個子最高的學生，那你一定是你們班級個子最高的學生，我們就把它表達為P是Q的充分條件——全面的、徹底的、足夠的邏輯關系。但從Q不能推出P，也就是說， Q只是P的必要條件——必定、必須、不可缺少的條件，但不是P的充分條件。
再換一個角度看生活中的具象。如果你前一段的體重是100斤，而現(xiàn)在變成了101斤，那么顯然你的體重增加了一斤；如果再隔一段你體重減掉了1斤的話，那一定要恢復到原來的100斤。這當然更是生活中非常淺顯易懂的現(xiàn)象，但是不要輕視它，它同樣是理解抽象建模的鑰匙。
對上面的生活情形，如果用P表示前者，用Q表示后者，那么就可以說由P可以推導出Q，由Q也可以推導出P，二者彼此是對方的既充分又必要的條件。
教學到這個層級時，學生對充分條件與必要條件的概念才有了初步的認識，在抽象的層面上對具象的生活有了初級建模，當然這對于高中數(shù)學的學習而言還不夠。
數(shù)學上的兩個抽象符號P和Q，它們可以越來越遠離具象的生活而表達某種抽象的數(shù)學意義與關系，此時，在分析、推導二者之間的邏輯關系時就越來越復雜了。但是不管怎么復雜，如果學生對充要條件的基本概念與推導有清醒的、深刻的、熟練的掌握的話，也就是說能夠在擺脫具象背景的層面上開始抽象的符號推演的話，后續(xù)復雜的充要條件的數(shù)學推演就主要只是一個技巧與熟練程度的問題。當然，在更加熟練的推演中，學生就能夠建構新的更具抽象味道的認知圖式與數(shù)學建模。
如果學生在這個層面上遇到學習困難的話，最大可能是因為對初級層面的概念的認識及其推導還不夠熟練，還沒有真正理解，也沒有熟練記憶。也就是說，學生還沒有能夠把立足具象生活的數(shù)學建模變成自己新的認知起點——讓基本的概念與其推演成為后續(xù)抽象計算的“具象存在”。
一個陷入困境的學生如何走出困境呢？有以下幾個具體的方法。
第一，回到教材中，真正深刻理解概念并推演。
第二，和老師辯論，和同學辯論，在思維碰撞中來矯正和強化自己的思維。
第三，把自己理解的講給同學，在講述的過程中強化和優(yōu)化自己的認知。
第四，向多個不同的老師請教，最簡單的辦法是用電腦或手機在半個小時內(nèi)就可以收看10位不同風格老師的講解，“轉(zhuǎn)益多師是吾師”，不同的教師其表達和思維風格不同，其中某一個人的某一句話很可能就會讓困境中的學生豁然開朗。
第五，積累典題、母題，反復溫習、理解、內(nèi)化，讓它成為克服當下學習難點的利器。
第六，增加足夠的訓練量，通過定點刻意訓練構建更高層級的認知圖式，變陌生為熟悉，變艱深為淺易。
數(shù)學源于生活，因此，生活情境是理解和學習數(shù)學的基礎與背景知識。數(shù)學又高于生活，因此，學生需要熟練地理解、掌握和運用概念與基本定理，讓這成為數(shù)學學習新的“生活情境”。數(shù)學又反作用于生活，因此，在數(shù)學學習過程中要把抽象的概念、公式、定理還原到具象的生活情境中來展開。
就生活現(xiàn)象而言，“充要條件”問題是簡單的邏輯關系，但是一旦進行數(shù)學建模，一旦在數(shù)學建模的基礎上展開復雜的推演，這種邏輯關系就會被打扮得非常“狐媚”，如果在基礎層級上理解含糊的話，那就會在復雜的推演中迷失了最初的路徑。
2023.9.10
