談到乘法結構，我曾經說過：“學會乘除法，并不是一件簡單的事。加減法在心智層面，其實是扁平式的一層結構，學會加減法結構，只是理解了整體部分的關系。然而乘除法卻不是一維的結構，而是二維結構。這就好比單層平房和摩天大樓一樣。當我們的心智，不僅僅要管一個維度的數量，還要同時考慮另一個維度的數量，并因此去計算總量的時候，就產生了乘法結構。”
——選自文章：讓孩子的心智升級：分類與乘法結構的數學啟蒙
圖片來自《大陸博士教你數學》二階段課程
上圖只是一個簡單的將乘法此消彼長的關系用兒童能夠理解的方式表達出來的圖式，在學習乘法結構的過程中，我們還會讓孩子接觸各種圖式，目的是為了體現不同的乘法情景關系，“數學思維”就體現在我們如何把具體化的情景抽象成為數學關系的過程中。
假如我們不談這個思考過程，只是告訴孩子，這道題目應該這樣解，或者首先讓孩子去思考“應該用乘法還是除法”？那么我們就把最重要的部分省略掉了，也就是我們為什么如此判斷的依據省略掉了，孩子也就習得不了數學思維，就如同瞎子摸象一樣，只能斷章取義，獲得的數學概念也會支離破碎。這樣的結果就是，在遇到一些情景關系不那么熟悉，或者不是那么直接可以套用方法的題目時，就不知如何下手了。
下面這道題目是來自于數學微課二（4）班的家長，在日常學員交流時聊的一道題目。
群里家長們也交流了很多思路，方法，我也截取一部分給大家看一下：
以上家長討論中談到的“盒子”，是我在二階段課程中的一個比喻，比喻乘法結構，就如同把一樣樣東西分配到一個個盒子中，份數就如同盒子，每份數就如同盒子里的包含量。用一個孩子能夠接受的比喻，但同時又去掉了各種題目中情景化的具體事物后，我們留下對乘法結構的二維認識：“盒子”與“包含量”。
解答這道題目關鍵在于要認識到乘法是具有“此消彼長”的特點的，這個我貫穿在整個二階段課程中都會反復提醒，甚至到三階段，解答某些題目的時候我們依然要讓孩子能夠回顧這個基本點。
所謂“此消彼長”，要在頭腦中構建一個抽象的認識，就要想象事物具有某種變化重構的力量，如同一塊粘土，可以變成長寬高不等的方塊，乘法結構的兩個維度可以想象成一個矩形的兩條邊，面積相等的情況下，一邊長了，另一邊就短了；反過來，一邊變短了，那么另一條邊就會變長。我們需要重點讓兒童能夠把題目中具體的事物對應到這種抽象結構中去理解。
上題，一天5道題目，可以理解為“一個盒子里裝了5”；那么當一天變成6道題目的時候，自然盒子的總數會變少，這就符合我們說的兩個維度此消彼長。
當然這道題目給出的條件中，稍微增加了一點難度，并不是單純的“重復集合”的關系，是不平均的，另外有兩組是10。這個時候，單純通過此消彼長去理解就產生困難，我們就要引入另外一個概念，也是皮亞杰提出的“補償原則”，我們要理解：一個維度上缺失的量，會被補償到另外一個維度上。這聽上去很難理解，你可以想象成，如果一個物體，高度變矮了，那么寬度上看上去就胖了。。。（哈哈，你是不是瞬間想到了矮胖和高瘦）
請看下圖：一些物體分配給24個人，后來又來了4個人，如果把物體重新分配，這時每個人比原來少2個，一共多少物體？
圖片來自《大陸博士教你數學》二階段課程
用語言來解釋這張圖就是，包含量這個維度上減少了2，總體就減少了48個，這48個物體被補償到哪里去了呢？就是增加的4個人這個維度（人是一個維度，每個人得到的物體是另一個維度）。概括講，就是每個人分配物體少了2個，結果就是可以多分配給4個人。這就是補償原則。
回到前面這道題目中，由于不是單純重復集合，我們可以利用補償原則，去思考總量上差了多少，這個部分肯定被補償到哪里去了。（只有熟悉補償原則，我們才會第一時間去思考多了多少出來，它們又去了哪里？）
請看下圖，首先我們要明確一個條件，藍色比紅色組少一天，這個是題目告訴我們的，這個大前提必須跟孩子講清楚，畫圖會很明了，接著要明確藍色組與紅色組天數一樣的部分在哪里，把剩下的部分進行比較，看看多出多少需要進行補償（也就是重新分配到前面的天數中去）。
我們采取了兩個思路，思路1是把最后兩個10與一個6進行比較，紅色組多出了14，這個14會去哪兒呢？被重新分配到前面的天數里，每天藍色比紅色多1，所以一共經過了14天，補償完畢。這個思路的結果就是：
14＊6＋6=90
或
（14+1）＊6=90
而思路2是把倒數第二天的10，分了5個出去，與最后一天合并剩下15，也就是余了15個，這15個被重新分配到了前面15天里去，所以結果就是：
15*6=90
兩個思路都可以，都是用補償原則的思路來解決問題的，只是整體部分分割的方式不同。
在結束之前，我還要提醒家長們一點，無論你是看我的文章給孩子輔導，還是你正在上微課，跟孩子進行這些實踐，你都要理解一點：孩子對于乘法結構的掌握并不是一蹴而就的，不可能象成年人這樣，通過看一篇文章就理解了，也不可能通過一道題目就會了，乘法結構的理解是需要通過不同的情景關系，不同角度去講，每次突出某個方面，并逐漸在螺旋上升的過程中深化其數學涵義才能掌握的。
數學思維的養成，是一個從具象到抽象的過程，如果沒有足夠豐富的例子，足夠多的視角去談同一個問題，那么孩子就很難獨立去理解一個抽象公式的全面內涵，必定在概念上是有缺失的。從這種角度講，盲目刷題是無效的，重要的是有選擇的提供不同角度理解概念的題目，從不同側重點去剖析同一個概念才是明智的做法。
