今天要寫的這篇，題目本身對(duì)于成人來(lái)講沒有困難，輔導(dǎo)孩子來(lái)講，可能很多父母也都可以解決，所以我并不打算一道道題目去講，而是提煉其中的共性，給大家分析一下，這些類型的題目，都需要一個(gè)共同的能力：發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系的能力。
什么是數(shù)學(xué)思維，如果簡(jiǎn)單用一句話來(lái)講，可以概括為：能夠快速發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系的能力。所以，它必定不是語(yǔ)文閱讀能力，也不是什么做做智力題可以提升的能力。
為了培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)思維，我們的教學(xué)，總是會(huì)圍繞一點(diǎn)：鍛煉孩子的抽象思維，讓孩子們學(xué)會(huì)觀察數(shù)字的關(guān)系，等式的關(guān)系，條件中各種量的關(guān)系。孩子對(duì)這些關(guān)系的理解，體現(xiàn)了他們的邏輯思維能力。
那么如何培養(yǎng)孩子觀察數(shù)學(xué)關(guān)系的能力呢？
如果從最優(yōu)的方案來(lái)講，自然是從啟蒙階段就重視讓孩子思考數(shù)字之間關(guān)系的能力。計(jì)算不單純是靠刷題，記憶，計(jì)算始于對(duì)數(shù)字關(guān)系的觀察。很多學(xué)齡前家長(zhǎng)問(wèn)我：大陸老師，我的孩子已經(jīng)熟練20以內(nèi)加減運(yùn)算了，是不是可以從第二階段開始學(xué)了。這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在于年齡，大多數(shù)學(xué)齡前到一年級(jí)的孩子，如果父母沒有進(jìn)行科學(xué)合理的數(shù)學(xué)啟蒙，孩子進(jìn)行計(jì)算基本都是依靠熟記運(yùn)算答案，刷題獲得的，他們通常都不太擅于觀察數(shù)字關(guān)系，甚至對(duì)此一無(wú)所知，這種情況下，就非常需要從第一個(gè)階段開始，也就是培養(yǎng)孩子數(shù)感，鍛煉孩子操作數(shù)字網(wǎng)絡(luò)關(guān)系的能力。
請(qǐng)看下面這題，我把其中一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)算錯(cuò)誤標(biāo)注出來(lái)了。家長(zhǎng)反映孩子經(jīng)常犯這類簡(jiǎn)單錯(cuò)誤，問(wèn)題在哪里？
我們來(lái)分析一下，12-3=10，可能你會(huì)說(shuō)看錯(cuò)，粗心。如果我們從另外一個(gè)角度看這個(gè)問(wèn)題，為什么不能馬上意識(shí)到這個(gè)錯(cuò)誤？12-3中，被減數(shù)的個(gè)位是2，而減數(shù)不是2，那么結(jié)果肯定不是10。之所以我們采取這種反思的模式來(lái)規(guī)避某些顯而易見的錯(cuò)誤，是因?yàn)槲覀兡軌蚶斫?，這里的數(shù)字關(guān)系，理解一個(gè)兩位數(shù)的構(gòu)成方式，會(huì)從個(gè)位十位去思考，即便做錯(cuò)，也不會(huì)錯(cuò)得那么明顯。
除了這樣簡(jiǎn)單的錯(cuò)誤以外，還有很多家長(zhǎng)看上去很不可思議的錯(cuò)誤，往往是因?yàn)楹⒆幼鲱}的一種慣性，不假思索，從記憶中讀取答案，一旦記憶出現(xiàn)錯(cuò)誤，或者這種錯(cuò)誤時(shí)常發(fā)生又反過(guò)去強(qiáng)化錯(cuò)誤記憶，結(jié)果就很令人無(wú)奈了。
如何能夠切斷孩子這種錯(cuò)誤的慣性思維呢？就需要幫助孩子回到數(shù)學(xué)思維的軌道上，得到一個(gè)答案，并不是他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的全部，簡(jiǎn)單的數(shù)字，也需要反復(fù)進(jìn)行不同的數(shù)學(xué)操作，比如象下面這張圖顯示的關(guān)系和變化：
圖片來(lái)自《大陸博士教你數(shù)學(xué)》一階段課程
這是我設(shè)計(jì)的用來(lái)鍛煉孩子數(shù)字網(wǎng)絡(luò)關(guān)系能力的工具之一，在一階段第三個(gè)周期的課程中，有大量這類數(shù)字關(guān)系的訓(xùn)練，核心數(shù)字可以自己替換，符合孩子當(dāng)前數(shù)量建構(gòu)的范圍即可。這些練習(xí)，就計(jì)算層面是非常簡(jiǎn)單的，但如果家長(zhǎng)能夠按照這樣的訓(xùn)練方式進(jìn)行，那就可以大大提高孩子對(duì)數(shù)字的“感覺”，讓他們形成不自覺就會(huì)來(lái)回觀察數(shù)字的關(guān)系，等式的關(guān)系這種能力。
有時(shí)候我們會(huì)遇到下面這樣的計(jì)算題，包括一些帶括號(hào)的運(yùn)算，都屬于等式計(jì)算，也就是不單單在等號(hào)右側(cè)寫下一個(gè)答案，而是要求孩子能夠理解等式的涵義，理解“等號(hào)”意味著什么，理解整體部分以及集合的概念。
象上面的題目，家長(zhǎng)輔導(dǎo)孩子，已經(jīng)理解了－9等于－4-5，但是遇到這些題目仍然糊涂，原因就是，單純理解數(shù)字關(guān)系還不夠，還需要理解等式兩邊算式之間的關(guān)系。就好比我們學(xué)會(huì)一個(gè)詞怎么寫，什么意思還不夠，還需要把這個(gè)單詞放到上下文情景中，去理解在某句話里什么意思。
數(shù)學(xué)的語(yǔ)言不同于語(yǔ)文英語(yǔ)，數(shù)學(xué)是用符號(hào)，算式等來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)涵義的，所以我們首先要幫助孩子去理解的是一個(gè)簡(jiǎn)單算式的各種涵義，理解算式與算式之間存在什么關(guān)系。
比如16-9=16-6-？，要學(xué)會(huì)觀察左右算式的相同與不同，并進(jìn)而運(yùn)用到“整體部分”的邏輯，結(jié)合對(duì)“減法”邏輯關(guān)系的理解，去運(yùn)用數(shù)字拆分這種網(wǎng)絡(luò)關(guān)系來(lái)解題。
如果稍作變化，15-9=10-9+？，一樣也是觀察等號(hào)兩邊算式的關(guān)系，理解什么是整體，理解10比15少了5，“如果少了就需要補(bǔ)”這樣的簡(jiǎn)單邏輯，才是數(shù)學(xué)式的思考方式，而這些簡(jiǎn)單邏輯又脫離不了對(duì)運(yùn)算符號(hào)：“＋”或“－”的理解。
以上這些問(wèn)題，我都會(huì)在數(shù)學(xué)微課答疑時(shí)，給家長(zhǎng)進(jìn)行詳細(xì)的解答，分析原因，提供一些方案，這些方案的目的不僅僅是解答這一道題目，而是在彌補(bǔ)孩子數(shù)學(xué)思維中的不足，所以往往需要一定程度的訓(xùn)練，比如回到數(shù)字網(wǎng)絡(luò)關(guān)系的課程中去，通過(guò)替換數(shù)字來(lái)訓(xùn)練孩子能夠來(lái)回在不同算式之間切換，思考多或少的問(wèn)題，如何才能達(dá)到平衡，參考前面展示的那張課程圖片，理解圖片中的8個(gè)算式怎么來(lái)的，相互之間是如何變化的，經(jīng)過(guò)1-2周訓(xùn)練，孩子對(duì)這些數(shù)字的感覺就會(huì)發(fā)生變化，從中獲得的思維方式就會(huì)遷移到其他的學(xué)習(xí)情景中去。
除了計(jì)算問(wèn)題，孩子對(duì)數(shù)字關(guān)系，算式關(guān)系的敏感，也會(huì)體現(xiàn)在解決“等量代換”問(wèn)題中。如下題：
家長(zhǎng)的問(wèn)題是，孩子題目是做出來(lái)了，但是用的是上面這種試錯(cuò)的方法。要如何提高數(shù)感呢？
這里的問(wèn)題歸根結(jié)底是，需要鍛煉孩子觀察算式之間的關(guān)系，而不是通過(guò)死算的方式。
觀察兩個(gè)算式之間，有圖形一樣，代表數(shù)量一樣，那么根據(jù)加法的關(guān)系來(lái)講，其中一個(gè)部分增加減少，相應(yīng)的結(jié)果整體也會(huì)增加減少，由此我們根據(jù)12比11大1這樣的關(guān)系，推導(dǎo)出正方形比圓形大1，再根據(jù)第三個(gè)算式，兩個(gè)圖形相加等于13，去得到6和7。
這一系列的思考，如果你只是講一遍，孩子會(huì)做這道題，但不見得他們能夠內(nèi)化，應(yīng)用自如。如果你不把問(wèn)題的核心指出：解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，重要的是從關(guān)系中找到出路。所有相應(yīng)的一些訓(xùn)練，都是圍繞這個(gè)目的展開的。沒有對(duì)思考數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練，那么就不容易進(jìn)行學(xué)習(xí)遷移，比如下題：
“為什么上下比較多兩個(gè)三角形，就等于4呢？”，原因是孩子沒有把等式的右邊這個(gè)結(jié)果與等式左邊各個(gè)部分相加統(tǒng)合在一起思考，實(shí)際上，并沒有把“＝”這個(gè)符號(hào)內(nèi)化成為一種心理層面的邏輯，所以孩子不能想到其中的因果關(guān)系，正是因?yàn)槎嗔藘蓚€(gè)圖形，所以結(jié)果多了4。
所謂因果關(guān)系，就需要孩子的注意力是在等式之間，等式兩邊進(jìn)行切換的。這種注意力的切換本質(zhì)上就是兒童知道“關(guān)系存在于哪里”，他們通過(guò)思考關(guān)系去推導(dǎo)可能性，從而解答出題目。
對(duì)于一些長(zhǎng)期進(jìn)行數(shù)字關(guān)系思考的孩子，他們往往可以輕車熟路地解決這些難題，包括上面這組題，班級(jí)里，能夠堅(jiān)持大半年以上學(xué)習(xí)的家長(zhǎng)，就反映孩子可以輕而易舉解答出來(lái)，假如你的孩子也能夠勝任各種等量代換問(wèn)題，那么說(shuō)明你的孩子在理解等式關(guān)系上的能力是不錯(cuò)的，這就體現(xiàn)了你的孩子具有較好的數(shù)學(xué)思維，可以去學(xué)習(xí)進(jìn)階的難題。
另一個(gè)方面，觀察等式的關(guān)系，也需要孩子能夠抽象地思考問(wèn)題，不會(huì)受限于“符號(hào)”“圖形”，觀察事物規(guī)律的能力也較強(qiáng)。
對(duì)于剛剛開始數(shù)學(xué)啟蒙的孩子的家長(zhǎng)來(lái)講，要特別注意這點(diǎn)，從具象到抽象，是一個(gè)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中，你要特別重視發(fā)展孩子掌握“模式規(guī)律”的能力，發(fā)展他們掌握并操作數(shù)字關(guān)系，等式關(guān)系的能力，這些都建立在邏輯思考的基礎(chǔ)上，而不是記憶的基礎(chǔ)上。
家長(zhǎng)們，千萬(wàn)不要盲目去刷題，一味追求孩子能不能做更大數(shù)字的計(jì)算，其實(shí)從以上題目，你應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)字并不大，計(jì)算并不難，難在能不能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。
假如家長(zhǎng)覺得，我不需要去鍛煉孩子的模式規(guī)律能力，數(shù)字網(wǎng)絡(luò)關(guān)系能力，孩子一樣也能做出來(lái)，或者覺得，用什么方法做不重要，怎么思考不重要，只要做對(duì)就好，那么你可以看看下面這樣的題目——
這樣，
或者，這樣，
如果沒有思考數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，不能用邏輯的方式思考，數(shù)學(xué)越往后學(xué)，思考越費(fèi)勁。如果家長(zhǎng)現(xiàn)在不注重培養(yǎng)孩子良好的數(shù)學(xué)思維，那么高年級(jí)到中學(xué)，數(shù)學(xué)就真的會(huì)變成孩子和你的噩夢(mèng)了。
當(dāng)然，我并不想讓家長(zhǎng)覺得數(shù)學(xué)很可怕，學(xué)習(xí)很艱難，好消息是：如果孩子能夠穩(wěn)步去發(fā)展他們的邏輯思考的能力，盡管數(shù)學(xué)題會(huì)越來(lái)越復(fù)雜，越來(lái)越抽象，但是因?yàn)楹⒆拥某橄笏季S，數(shù)學(xué)思維在不斷提升，對(duì)于他們來(lái)講也并不會(huì)覺得數(shù)學(xué)越來(lái)越難，相反，因?yàn)榫哂邢嗥ヅ涞臄?shù)學(xué)思維，他們會(huì)覺得數(shù)學(xué)越來(lái)越有趣，當(dāng)孩子理解了數(shù)學(xué)有趣的地方，說(shuō)明他們真正學(xué)會(huì)用“數(shù)學(xué)的語(yǔ)言”在思考問(wèn)題了！
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