在初中幾何計算與證明的過程當中，輔助線作法非常多，而“倍長中線”是其中最重要的一類之一。今天我們就花點時間，認真學習一下“倍長中線”。如果你是中學生或中學生家長，看完它，以后遇到此類問題或許將迎刃而解。我們把“倍長中線”的輔助線類型大概分為三類。分別是倍長中線、倍長經過中點的線段和延長相交證倍長。下面我們舉例細說。
所謂中線，是三角形的頂點和對邊中點連線的線段。如下圖，若D是三角形ABC邊BC邊的中點，則線段AD叫做三角形ABC底邊BC的中線，也可以簡單的把線段AD叫做三角形ABC的中線。一個三角形明顯有3條中線。
所謂“倍長中線”，就是在幾何計算和證明的過程當中，如果出現三角形中線，在不添加輔助線的情況下，如果問題無法獲得解決，此時應該首先考慮用把中線延長一倍即“倍長中線”，以構造“8”字型全等。如下圖，若D是邊BC中點，延長AD到E使得DE=AD，連接BE，則△ADC和△EDB可利用“SAS”證明全等。此時下圖的陰影就是剛才上面所說的“8”字型全等。倍長中線的精髓就是構造這個“8”字型全等。
上面的方法說的再多，講的再詳細，理解的再透徹。但和做題比起來就是兩碼事了，方法可能感覺很簡單，但運用起來就不一定了，下面我們給出具體的例題，大家一定要在具體的例題當中去理解“倍長中線”。
例1: 如圖，在△ABC中，AD是邊BC的中線，若AB=6,AC=4,則AD的取值范圍是_____________.
分析：倍長中線構成“8”字型全等，如下圖，在三角形ABE中，AB=6,由△ADC和△EDB全等可知BE=AC=4.在△ABE中由三邊關系可知：6-4<AE<6+4,即2<2AD<10,因此1<AD<5。由此可以發現，我們通過“倍長中線”。把已知線段和所求線段都轉化到了三角形ABE當中。進而把問題解決。
大家想一下，若把例題中的條件改為，AB=6,AD=4.其它條件不變。求AC的取值范圍，思路是完全一樣，可以嘗試做一下。
答案是2<AC<14
所謂的倍長經過中點的線段，是指在圖當中沒有中線，因此只需要把經過線段中點的線段延長1倍以構造“8”字型全等。具體情況我們在例題中說明。
來看下面一道例題
例2 如圖，在△ABC中，D是邊BC的中點，過D作DE垂直于DF分別交邊AB、AC于E、F。連接EF。求證：BE+FC>EF.
分析：如圖，線段DE和DF在圖中不是以中線形式存在的，此時再說“倍長中線”明顯不合適，除非連接EC，此時線段ED才可以說是三角形EBC的中線，但圖中并沒有連連接EC。此時如果把ED或FD延長一倍，只能叫：倍長經過中點的線段（也就是線段ED經過線段BC的中點D）。但是我們仍然把這中情況它歸為“倍長中線”的范疇。
這道題的具體做法如下：
倍長ED后，由綠色“8”字型全等，可得BE=PC,DE=DP。由已知條件DE和DF垂直可得FD是EP的垂直平分線，由垂直平分線性質可知EF=PF，這樣就把要證的三條線段轉化到右邊的黃顏色三角形FPC中，由三角形三邊關系可知FC+PC>FP，等量代換后是FC+BE>EF.
我們進一步思考，如果增加條件，若角A是直角，此時黃顏色三角形FPC可證是直角三角形，因此三角形FPC三邊的關系滿足勾股定理，轉化就是就是BE平方+FC平方=EF平方，這也是勾股定理那一章常考的題型。
例3 關于倍長經過中點線段，我給出一條三角形的性質，這條性質的證明也是要用到倍長經過中點的線段。看下圖，已知AD是角平方線，E是邊BC中點，EF和AD平行。求證：AB+AF=FC.
這個是三角形的一條重要性質，希望大家能夠記住。
證明此結論，倍長FE后，由三角形全等對應角相等、平行后同位角和內角角相等、角平方線、對頂角相等可得到里邊多個角相等，進一步可以證明綠色三角形是等腰三角形。即可得到結論。
所謂延長相交構造倍長是指：如果我們把中線或經過線段中點的線段倍長，則要牽涉證共線或者證點在某條線上，為了不證共線或者證點在某條線上（這樣麻煩），直接延長中線或經過線段中點的線段使其與線相交后再證明相等，是一種間接的倍長中線。
我們通過下面例題加以說明：
例4 三角形ABC和三角形CDE均是等腰直角三角，AB=BC,CD=DE，M是AE中點。求證：三角形BMD是等腰直角三角形。
分析：輔助線如下，此時如果倍長DM至F，需證明F在直線AB上，因此我們選擇直接延長DM交直線AB于F，然后再證“8”字型全等，圖中的AB和DE平行，這個“8”字型全等是比較好證的。然后可得M是FD中點。這中情況我們稱作：延長相交構成倍長，本質還是把經過中點的線段延長了一倍。在“8”字型全等基礎上，可得三角形FBD是等腰直角三角形，后面再得三角形BMD就簡單了。
上述三種做法盡管有區別，但本質都是把中線或經過中點的線段延長了一倍，因此我們都把它叫做“倍長中線”，在具體的問題中大家要具體分析。多做題多總結多運用。
下面一道題留給大家思考
例5。如下圖，四邊形ABCD是正方形，三角形BEF是等腰直角三角形，BE=EF，連接FD，P是FD的中點，連接EP,PC。證明：PE=PC
提示的輔助線作法如下：
從左到右，圖1是“8”字型全等，圖2是兩塊陰影全等，但是鈍角相等不好證明，需要延長EF和CD相交借助于同位角來證，圖3陰影是等腰直角三角形
