最近，有一個數學愛好者問了我一個比較專業的問題：如何證明任意一個三角形，以三邊為邊長向外作正三角形，這三個正三角形的中心連線，也可以構成一個正三角形？其實想解答它，并不簡單．今天我們從費馬問題開始，談一談與費馬點相關的平面幾何定理及性質．
費馬問題：＂已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和為極少．＂它的答案是：
１．如果一個三角形每個內角都小于120度，所求的點為三角形的正等角中心；（正等角：點與三角形任意兩點的連線的夾角為120度）．
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２．如果一個三角形的一個內角大于或者等于120度，所求點為三角形最大內角的頂點．
以上所求的點即為費馬點．
其實，它又稱為托里拆利點，因為費馬是將問題以私人信件的形式給到托里拆利，而托里拆利也順利地解決了這個問題．
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其實證明不難，利用旋轉，將三邊匯聚成一條折線，當四點共線時，可取最小值．當然，這個證明易懂，但比較粗糙，需要對細節進行討論．主要討論三角形最大的內角與120度的大小關系，影響最小值的點．由于篇幅所限，同學們可以自行去了解更多．
我們已經知道了，對于多數三角形（最大內角小于120度）的費馬點在三角形內部．那如何作出這個點呢．其實作法非常簡單，以三邊分別作正三角形，分別作出正三形的外接圓，三個圓交于一點，則此點即為費馬點，也叫托里拆利點．斯太納提出并推廣了它，又稱斯太納問題．
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回到剛開始的問題，以三角形三邊分別作正三角形，三角形中心的連線可以構成正三角形．
證明的方法比較多，多數也比較繁雜，對于學生來講有一定的困難．下圖是一種較為簡潔的證明方法，當然前提是了解費馬點的作用．
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當然，證明方法很多，想了解更多的同學可以自行查閱更多的資料．當然，以上內容作為興趣閱讀，初中課內是不作要求的．
