在初中數(shù)學(xué)課上,老師讓同學(xué)們用量角器測(cè)量三角形的三個(gè)角的角度,然后把三個(gè)角度加起來.這樣測(cè)每過幾個(gè)很不相同的三角形之后,大家會(huì)得出共同的結(jié)論: 三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是.
這樣認(rèn)識(shí)事物的方法叫歸納法.歸納法要求從大量事實(shí)出發(fā)總結(jié)出一般規(guī)律.我們看到雞生蛋、鴨生蛋、麻雀生蛋、鴿子生蛋,便形成一種看法; 所有的鳥都生蛋.這就是在應(yīng)用歸納推理的方法.當(dāng)同學(xué)們得出 “三角形內(nèi)角和是”這個(gè)歸納推理的結(jié)果之后,老師又反過來提出進(jìn)一步的問題.但是,你怎么知道你的結(jié)論一定可靠呢? 你才測(cè)量了幾個(gè)三角形,即使測(cè)量幾萬(wàn)個(gè)三角形也不夠呀!三角形有無(wú)窮多種,你僅僅測(cè)量了全體三角形中的極小極小的一部份,如何能從這一小部分的性質(zhì)推出全體三角形的性質(zhì)呢? 再者,你的測(cè)量不可能一點(diǎn)誤差也沒有,你怎么知道三角形的內(nèi)角和一定是整整,而不是呢?怎么辦呢? 老師告訴大家,可以用演繹推理的方法來證明這條幾何定理.在集合學(xué)里,只有從公理和定義出發(fā)經(jīng)過演繹推理而證明了的命題,才被認(rèn)為是真理.歸納推理被趕出了幾何的花園.甚至可以說,歸納推理被趕出了數(shù)學(xué)王國(guó).因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中只承認(rèn)演繹的證明.例證法——用演繹支持歸納
那么,在數(shù)學(xué)中舉例真地不能證明一般的命題嗎?就是一個(gè)恒等式.
這樣舉了三個(gè)例子之后,能不能肯定是恒等式呢?恒等式,要求恒等.要求取所有數(shù)值時(shí)兩邊都相等.才驗(yàn)證了三個(gè)的值,怎么能斷定它一定恒等呢?其實(shí),這三個(gè)實(shí)例已經(jīng)證明了是恒等式.道理是:如果它不是恒等式,它一定是二次或一次方程,這種方程不可能有三個(gè)根.現(xiàn)在、、都是“根”,說明它不是方程而是恒等式.在這個(gè)具體問題上,演繹推理支持了歸納推理.我們用數(shù)學(xué)上承認(rèn)的演繹法證明了歸納法的有效性.一般說來,代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)都可以使用舉例子的方法.不過,高次的和多元的等式,要用更多的例子罷了.但是,更為有趣的是,一個(gè)例子也能解決問題.例如:在中取代入,兩邊都得,這就證明它是恒等式.為什么呢?如果不是恒等式就可以整理成一個(gè)二次或一次方程;而且、、都是絕對(duì)值不小于的整數(shù).這是因?yàn)樽筮呎归_后室多只行4項(xiàng),每項(xiàng)系數(shù)都是,右端系數(shù)絕對(duì)值最大是2.
如果我們用代入?yún)?得到
因而
可是由于、、是絕對(duì)值不大于6的整數(shù),所以必須.從得
因而
所以又有,由,也有,這證明了是恒等式.
這個(gè)方法也適用于檢驗(yàn)高次的多變?cè)拇鷶?shù)等式是不是恒等式.只用一個(gè)例子就可以.當(dāng)次數(shù)越高,變?cè)蕉鄷r(shí),例子所涉及的數(shù)值就越大.這些數(shù)學(xué)事實(shí)表明:在數(shù)學(xué)王國(guó)里的某些角落里,歸納法可以有效地證明一般性的命題,甚至可以用一個(gè)特例證明一般的命題.歸納法的這種力量,是由演繹推理證明的.但是,代數(shù)恒等式在數(shù)學(xué)史上,遠(yuǎn)不如初等幾何證明題那樣受人青睞,那樣豐富多采,那樣魅力無(wú)窮.正是在初等幾何領(lǐng)域,演繹推理樹立起了自己的威望,成為人所共知的絕對(duì)統(tǒng)治者.歸納法的效力,能不能在這里發(fā)揮作用呢? 傳統(tǒng)的看法是否定的.但是,本世紀(jì)80年代以來,中國(guó)數(shù)學(xué)家的工作在這里揭開了新的一頁(yè).幾何定理也能用例子證明
用舉例的方法證明幾何定理的研究,屬于幾何定理機(jī)器證明這一個(gè)在近三十年間開始活躍起來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域.企圖用機(jī)器來證明數(shù)學(xué)定理,這是歷史上一些杰出的數(shù)學(xué)家與晢學(xué)家的美妙的夢(mèng).數(shù)學(xué)問題大體上有兩類,一類是求解,一類是求證.我們熟悉的求解問題很多、解方程、解應(yīng)用題、幾何作圖,求最大公約與最小公倍數(shù).我們熟悉的求證問題,大多是初等幾何證明題,還有證明恒等式,證明不等式.中國(guó)古代數(shù)學(xué)研究的中心問題是求解.把問題分為若干類,分別給出解題的方法.這方法是一系列確定的步驟,誰(shuí)都可以學(xué)會(huì).會(huì)一個(gè)方法,便能解一類問題.九章算術(shù)就是這么做的.用一個(gè)固定的程式解決一類問題,這就是數(shù)學(xué)機(jī)械化的基本思想.追求數(shù)學(xué)的機(jī)械化方法,是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的優(yōu)秀傳統(tǒng)之一.在西方,以希臘幾何學(xué)研究為代表的古代數(shù)學(xué),所研究的中心問題不是求解而是求證.是從公理出發(fā)用演繹推理方式證明一個(gè)一個(gè)的定理.而證明定理的方法,則是一理一證,各具巧思,無(wú)一定法則可循.證明的成功有賴于技巧與靈感.能不能找到一種方法,像解方程那樣,按固定法則證明一批一批的幾何定理呢?17世紀(jì)法國(guó)的唯理論哲學(xué)家,發(fā)明了解析幾何的數(shù)學(xué)家Descartes,曾有過一個(gè)大膽的設(shè)想.“一切問題化為數(shù)學(xué)問題.一切數(shù)學(xué)問題化為代數(shù)問題.一切代數(shù)問題化為代數(shù)方程求解問題.”Descartes想得太簡(jiǎn)單了,如果實(shí)現(xiàn)了他的計(jì)劃,一切科學(xué)問題都可以機(jī)械地解決了,因?yàn)榇鷶?shù)方程求解是有機(jī)械法的.但Descartes總算用坐標(biāo)方法——解析幾何的方法,把初等幾何問題化成了代數(shù)問題.比Descartes晚一些的德國(guó)唯理論哲學(xué)家、與Newton同為創(chuàng)立微積分的數(shù)學(xué)家的Leibniz,曾有過“推理機(jī)器”的設(shè)想,希望用一臺(tái)機(jī)器代替人的推理活動(dòng).當(dāng)人們爭(zhēng)論得面紅耳赤相持不下的時(shí)候,不好心平氣和地坐下來,讓機(jī)器演算一番以確定是非曲直.Leibniz還真地設(shè)計(jì)過計(jì)算機(jī),他的努力促進(jìn)了數(shù)理邏輯的研究.跨越19-20世紀(jì)的數(shù)學(xué)大師Hilbert,在他的名著幾何基礎(chǔ)一書中,也曾提供過一小類幾何命題的機(jī)械判定方法.第二次世界大戰(zhàn)以后,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大促進(jìn)了定理機(jī)器證明的研究.經(jīng)過許多出色的數(shù)學(xué)家的辛勤耕耘,這個(gè)領(lǐng)域有了蓬勃的發(fā)展.各國(guó)數(shù)學(xué)家先后提出過幾種用機(jī)器證明初等幾何定理的方法——這是數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來就想實(shí)行機(jī)械化的領(lǐng)域,但都不能在計(jì)算機(jī)上真地用來證明非平凡的幾何定理.一直到杰出的中國(guó)數(shù)學(xué)家吳文俊教授在1977年發(fā)表他的初等幾何機(jī)器證明新方法之后,在電子計(jì)算機(jī)上證明初等幾何定理才成為現(xiàn)實(shí).一個(gè)古老的夢(mèng)開始實(shí)現(xiàn)了.用吳氏方法已在計(jì)算機(jī)上證明了600多個(gè)不平凡的幾何定理,其中包括一些新發(fā)現(xiàn)的定理.吳氏方法的基本思想是:先把幾何問題化為代數(shù)問題,再把代數(shù)問題化為代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)問題.代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)是機(jī)械的,問題的轉(zhuǎn)化過程也是機(jī)械的,整個(gè)問題也就機(jī)械化了.既然幾何證明問題可以化為代數(shù)恒等式的檢驗(yàn)問題,而在前面又剛剛提到過可以用舉例的方法檢驗(yàn)代數(shù)恒等式,那是不是意味著有可能用舉例的方法來證明幾何定理呢?吳氏方法鼓舞了這個(gè)方向的研究.在吳氏方法的基礎(chǔ)上,洪加威于1986年發(fā)表了他的引起廣泛興趣的結(jié)果,對(duì)于相當(dāng)廣泛的一類幾何命題,只要檢驗(yàn)一個(gè)實(shí)例便能確定這條命題是不是成立.特例的檢驗(yàn),能代替演繹推理的證明!要檢驗(yàn)特例,就要在計(jì)算機(jī)上作數(shù)值運(yùn)算,而計(jì)算機(jī)總是有誤差的.本來要證明一個(gè)式子恒等于0,計(jì)算機(jī)卻只能告訴 我們結(jié)果是或更小的數(shù).它是不是真的是0呢? 這個(gè)問題原則上:也被洪加威解決了.他證明:用帶有誤差的計(jì)算可以補(bǔ)足我們要求準(zhǔn)確結(jié)果的愿望.在一定條件下,計(jì)算出的結(jié)果絕對(duì)值小到某個(gè)程度,就一定是0.特殊中包含著一般,誤差中包含著準(zhǔn)確,這不但回答了一開始時(shí)提到的那位老師的兩個(gè)問題,而且具有更深刻的哲學(xué)意義.但是,洪加威要的那一個(gè)例子,不是隨手拈來的例子,它要滿足一定的條件,才足以具有一般的代表性.對(duì)于非平凡的幾何命題,這例子往往涉及大得驚人的數(shù)值計(jì)算.為了使洪氏方法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),尚待進(jìn)一步的努力.洪氏方法揭示了一般與特殊在一定條件下的統(tǒng)一性,但還不是演繹與歸納的統(tǒng)一性.傳統(tǒng)的歸納推理方法,不是去構(gòu)造或找尋某個(gè)具有普遍意義的“通用”特例,而是從大量普通的俯拾皆是的例子里總結(jié)出一般論斷.能不能用一些平常的、易于檢驗(yàn)的例子證明幾何定理呢?在吳氏方法的基礎(chǔ)上,張景中、楊路提出了另一種舉例證明幾何定理的方法.按照這種方法,為了判定一個(gè)(等式型)初等幾何命題的真假,只須檢驗(yàn)若干普通的實(shí)例.例子的數(shù)目與分布方式可以根據(jù)命題的復(fù)雜程度用機(jī)械的方法確定.用張揚(yáng)方法,確實(shí)能在微機(jī)上,甚至在功能平凡的袖珍計(jì)算機(jī)上證明非平凡的幾何定理.例如,初等幾何中有一個(gè)著名的Feuerbach定理： “三角形的九點(diǎn)圓與它的內(nèi)切圓、外切圓相切”.(所謂九點(diǎn)圓,是指三角形的三邊中點(diǎn),三條高的垂足和三頂點(diǎn)到垂心連成的線段的中點(diǎn)這九個(gè)點(diǎn)所共的圓).這個(gè)定理的證明不是很容易的.按照張楊法,為了判定它是不是成立,只要檢驗(yàn)289個(gè)例子.這289個(gè)例子在PB-700袖珍機(jī)上用了儀15分鐘.在AST'286微機(jī)上用42秒就可以了.用這種方法還能發(fā)現(xiàn)新定理.例如,有一個(gè)球面幾何的新定理: “如果球面三角形面積是球面面積的,則三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面上的正三角形.”不等邊三角形三邊中點(diǎn)居然可以構(gòu)成正三角形,這有點(diǎn)使人驚奇.這個(gè)命題的判定須檢驗(yàn)66個(gè)例子.在PB-700機(jī)上用150秒,AST-286機(jī)上僅用1秒多鐘.可以說,這是用“歸納法” 證明的一條新的幾何定理.說不定它是第一條用“歸納法”證明的定理.因?yàn)槠駷橹沟膸缀味ɡ?都是用演繹法證明的.初等幾何,是演繹推理取得統(tǒng)治地位的最古老的王國(guó),也是歷史上演繹與歸納分道揚(yáng)鑣的三岔口.現(xiàn)在,歸納法也來分享這個(gè)古老王國(guó)的政權(quán)了,是演繹推理證明了歸納推理在這里的權(quán)利.演繹在這里支持了歸納,這是理所當(dāng)然的.當(dāng)初這個(gè)王國(guó)的建立,本來有歸納的功勞.幾何公理是不能用演繹法證明的,演繹法所用的形式邏輯也是不能用演繹法證明的,這是人類經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶,是歸納的結(jié)果.順便提一句,舉一些例子證明幾何定理,舉的例子不僅要矽一定的數(shù)目,而且要有一定的分布方式,這正是歸納法的倡導(dǎo)者Bacon所要求的.要廣泛搜集材料,搜集不同類型的材料.它的有效范圍是它從中引丮、歸納出的那些事例的范圍.張楊法所要求的這一組例子的分布形式,足以保證概括了命題的論域,代表了廣泛的一般情形.進(jìn)一步的思考
一個(gè)數(shù)學(xué)命題往往涉及無(wú)窮多的具體對(duì)象.例如,關(guān)于變?cè)?span>的恒等式涉及的無(wú)窮多個(gè)值,關(guān)于三角形的一條定理涉及無(wú)窮多種彼此不相似的三角形.例證法意味著:在這無(wú)窮多個(gè)對(duì)像中選擇有限部份加以檢驗(yàn),即可確定些些命題的真假.這多少有點(diǎn)令人吃驚.但更多地想一想,也有道理.試考慮一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的若干命題,命題涉及的對(duì)象組成的集合叫論域.例如,關(guān)于三角形的命題,其論域就是三角形的集合.任給一個(gè)命題,便從論域中分出一個(gè)子集——它的元素是那些滿足命題結(jié)論的對(duì)象,稱這個(gè)子集為命題的特征集.命題是用符號(hào)語(yǔ)言的有窮列表達(dá)的,它是可數(shù)無(wú)窮多,故命題的特征集是可數(shù)的.但論域的子集卻是不可數(shù)的——如果論域是無(wú)窮集.可見,命題特征集僅僅是論域子集的極少極少的一部份.這表明命題特征集的構(gòu)成有很強(qiáng)的規(guī)律性,它們的元素之間有密切的關(guān)聯(lián).也許正是這些關(guān)聯(lián),使“歸納法”在數(shù)學(xué)的某些領(lǐng)域成為有效.但這一切僅僅是開始.能不能把“歸納” 用于更大的范圍,尚須作艱難的研究.但是,缺口已打開了,歸納與演繹之間本是一條鴻溝,現(xiàn)在鴻溝上有了小小的一道橋梁,填平鴻溝也許是不可想象的,但總算可以跨過去了.歸納法廣泛用于自然科學(xué)的研究,特別是物理學(xué)的研究.科學(xué)家總是從有限次實(shí)驗(yàn)與觀察中作出關(guān)于無(wú)窮多對(duì)象的判斷.結(jié)果卻常常是對(duì)的.這也許可以從例證法得到一點(diǎn)解釋.很可能科學(xué)家所觀察的對(duì)象之間的關(guān)聯(lián),可以用代數(shù)恒等式或更廣泛一點(diǎn)的解析恒等式表達(dá).這正是例證法已經(jīng)被證明成立或有可能被證明成立的領(lǐng)域.這點(diǎn)解釋當(dāng)然不是很有力量的.不過,無(wú)論如何,總有了解釋的可能.例證法利用了命題涉及的對(duì)象之間的關(guān)聯(lián)性.一個(gè)次的一元代數(shù)等式,如果對(duì)變?cè)?span>個(gè)值成立,則它對(duì)所有值成立.這不妨叫做變?cè)〉闹抵g的代數(shù)關(guān)聯(lián)性.我們還可以找到別的關(guān)聯(lián)性一一如拓?fù)潢P(guān)聯(lián)性.一個(gè)連續(xù)的函數(shù)如果在某一點(diǎn)不等于0,在這一點(diǎn)附近的某個(gè)小鄰域也不等于0,而小鄰域中有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn).這表明,檢驗(yàn)了一點(diǎn)的性質(zhì),也就了解了無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的性質(zhì).從這個(gè)角度,又增加了對(duì)歸納推理方法的支持,這也是在數(shù)學(xué)中擴(kuò)展例證法適用領(lǐng)域的途經(jīng)之一.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展,人們有可能發(fā)現(xiàn)更多的關(guān)聯(lián)性,為歸納法提供更多的理由.為了獲得知識(shí),認(rèn)識(shí)真理,究竟應(yīng)當(dāng)用什么方法? 歸納,還是演繹? 這是在西方哲學(xué)史上有過激烈爭(zhēng)論的話題.古希臘哲學(xué)家,多推崇演繹推理,這大概是因?yàn)楫?dāng)時(shí)最發(fā)達(dá)最系統(tǒng)的科學(xué)只有幾何學(xué).Aristotle對(duì)邏輯學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)研究,寫出了論述“三段論”推理方法的名著工具論.到了中世紀(jì),Aristotle被經(jīng)院哲學(xué)家泰為絕對(duì)權(quán)威,他的邏輯學(xué)成了經(jīng)院哲學(xué)家們進(jìn)行種學(xué)思辯的基本方法,從詞句到詞句,從原理到原理,產(chǎn)生不出真正的知識(shí).從Aristotle時(shí)代到17世紀(jì),這兩千年中歐洲的科學(xué)發(fā)展十分緩慢.隨著資本主義生產(chǎn)關(guān)系的成熟與自然科學(xué)的發(fā)展,在英國(guó)出現(xiàn)了以Bacon、Hobbes、Roch為主要代表人物的唯物主義經(jīng)驗(yàn)論哲學(xué)學(xué)派.Bacon特別反對(duì)僅僅靠演繹推理的三段論來獲取知識(shí).他說Aristotle的“工具論”是“瘋狂手冊(cè)”,是在很少事實(shí)基礎(chǔ)上建立起來的蜘蛛網(wǎng),這樣得到的知識(shí)既不可靠又無(wú)用處.Bacon寫了一本名為新工具的書系統(tǒng)闡述歸納推理的方法,認(rèn)為歸納法以科學(xué)實(shí)驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)事實(shí)為基礎(chǔ),是切實(shí)可靠的獲得知識(shí)的方法.差不多同時(shí),歐洲大陸出現(xiàn)了以Descartes、Leibniz、Spinoza為代表的唯理論哲學(xué)派別.他們認(rèn)為感覺經(jīng)驗(yàn)是不可靠的,數(shù)學(xué)演繹的方法才是有效的方法.例如,Descartes指出,事物遠(yuǎn)看就小,近看就大,說明感覺不能確實(shí)地認(rèn)識(shí)世界.Leibniz認(rèn)為,要認(rèn)識(shí)一個(gè)普遍的真理,例子再多也沒有用.事實(shí)的真理靠歸納經(jīng)驗(yàn)得來,是偶然的、個(gè)別的.推理的真理靠演繹得來,靠邏輯的必然性得來,才是必然的、普遍的.Spinoza更推崇演繹法,用幾何學(xué)的體例寫出他的倫理“學(xué).他確信哲學(xué)上的一切問題,都可以用幾何的方法加以證明.經(jīng)驗(yàn)論重視感性認(rèn)識(shí),提倡歸納法;唯理論重視理性認(rèn)識(shí),提倡演繹法.兩派在理性與感性的關(guān)系上展開了長(zhǎng)期的反復(fù)的爭(zhēng)論.爭(zhēng)論結(jié)果是雙方觀點(diǎn)互相補(bǔ)充,逐漸接近.現(xiàn)代西方哲學(xué)中邏輯實(shí)證主義,試圖將演繹與歸納統(tǒng)一起來,做了一些有意義的新探索.他們把真理分為經(jīng)驗(yàn)真理與邏輯真理.認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)真理是或然的,邏輯真理是必然的,兩種真理都是有意義的.歸納與演繹分別是獲得兩種真理的兩種方法.代邏輯實(shí)證主義而興起的批判理性主義,則猛烈反對(duì)歸納法.認(rèn)為從個(gè)別的具體的經(jīng)驗(yàn)第實(shí),不能得出普遍的、必然的科學(xué)真理.從過去不能推知未來,所以歸納原則是站不住腳的.因而得出結(jié)論,科學(xué)知識(shí)不是真理,只是猜測(cè).理論不能證實(shí),只能證偽.靠什么證偽呢?——靠證偽的演繹推理方法.總的來說,現(xiàn)代西方哲學(xué)在認(rèn)識(shí)論上現(xiàn)傾向于否定歸納法,但又認(rèn)為演繹推理的方法有其同限性——它的邏輯功能只能把真理從一個(gè)陳述中傳遞到另一個(gè)陳述之中,這種傳遞原則上不增加任何新的關(guān)于自然界的知識(shí).這就不可避免地在認(rèn)識(shí)論方面傾向于相對(duì)主義,認(rèn)為真理是相對(duì)的,存在是相對(duì)的,歷必是偶然的,世界是不可認(rèn)識(shí)的.數(shù)學(xué)的新結(jié)果表明:歸納與演繹是對(duì)立的統(tǒng)一.認(rèn)為歸納推理毫無(wú)根據(jù)是不充分的,因?yàn)樵诔醯葞缀畏秶鷥?nèi)已證明了歸納的有效性.認(rèn)為演繹推理不能使我們?cè)黾有轮R(shí)也是不確切的.演繹推理揭示出事物的內(nèi)在聯(lián)系,使我們看到現(xiàn)象背后的本質(zhì),這就是增加了我們的新知識(shí).歸納與演繹,是人類認(rèn)識(shí)世界的兩個(gè)基本方法,它們相互支持,相互補(bǔ)充,使我們?cè)絹碓浇咏谡胬?推薦閱讀：
