大家好！我是萬林峰，來自浙江省紹興市上虞區永和鎮中心學校，是朱樂平工作站第九大組第27小組的成員。很高興與您在一課研究的微信中相遇!
1.聽一聽：《聽懂不等于學會》
2.讀一讀：《系統思辨，有序緩行——
小學低段學生數學“符號意識”培育路徑的實踐探究》。
3.笑一笑：圍出最大的面積
《數學課程標準》指出：符號意識主要是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。而小學低段學生如果能滲透并培養符號意識，就可以盡早做到準確表達更為復雜的數學思想，從而避免日常語言的復雜或是含義不清。
那么，我們的一線教師在理念上對“符號”及“符號意識”的理解是否到位？在實踐中我們又該如何著手展開我們小學低段學生的“符號意識”培養之教學工作呢？筆者結合自己的調查分析和教學實踐摸索出一條小學低段學生數學“符號意識”培育的路徑，現與您一起分享。
一
明概念，讓“符號意識”露真容
筆者用微信的“問卷星”對80位參與某“名師工作室”的小學一線數學教師作了一項“關于培養小學生數學符號意識的問卷”的網絡調查。本次調查的80位教師都是有合格學歷及一定執教經驗的小學數學一線骨干教師。此次調查有4個問題，1.下列哪些屬于“符號”？（結果見圖1）2.下列哪些屬于“數學符號”？（結果見圖2）3.您覺得，我們學生的“符號意識”是從時候開始產生的？（結果見圖3）4.根據教材要求，我們小學數學教師是從什么時候開始培養孩子的“符號意識”的？（結果見圖4）
符號，從本質來說是用一種代號（文字、數字、圖形、物體和表達式等）去替代或簡化另一種事物。根據百度百科的定義：符號，一般指文字，語言，電碼，數學符號，化學符號，交通標志等。總之，能夠作為某一事物標志的，都有可稱為符號。而數學符號，它不僅有著我們在日常生活中所常見的一般符號所具有的意義，除此之外它還能表達更為豐富的含義與更深層的邏輯關系等，它包括了數字符號、運算符號、邏輯符號等一套完善的符號系統。它是人們不斷累積，有意識地通過精心設計并創造出來的數學體系。
由此可知，圖1里所呈現的都應該屬于“符號”范疇，而圖2中只有“+”、“Σ”、“‰”、“1”和“↑”是“數學符號”。但是，從調查結果來看，不少教師對“符號”及“數學符號”的概念及內涵的理解是模糊的、不準確的。在與一些被調查教師訪談時發現，教師對“符號”與“數學符號”的區別和定位不清楚，以為“符號”就是指“數學符號”，這一方面跟我們長期從事數學教學后的“負遷移”有關，另一方面也說明我們許多教師的專業知識是有所欠缺的。其次，教師對哪些是“數學符號”也不甚了解，甚至把“A”、“▇”都當作了數學符號，這可能跟調查的對象中只有21.25%是數學教育本科畢業有一定關系，同時，也反映出我們一線教師需要數學素養方面的深度學習和培訓。
從圖3和圖4的情況來分析，我們的教師對學生“符號意識”產生的時段是非常有一定分歧的，對小學數學是從什么時候開始培養學生“符號意識”的，也是有許多老師不清楚的。究其原因，一方面是部分教師對“符號意識”的理解存在概念上的模糊，不知道我們所指的“符號意識”里的符號包括所有的“數學符號”（例如：孩子會數個數，認識“1、2、3……”等數字也已經代表他有最基礎、最淺顯的“符號意識”了），導致還有約40%的老師不清楚孩子上學前就已經產生符號意識了（現在的孩子，已經基本上在上學前就認識1-10的數字了）。另一方面，從圖4可以看出，還有約22.5%的教師對我們的教材和教學要求是非常不熟悉的（一年級上冊在教學“1-5的認識和加減法”這一內容時的教學建議中已經明確提出“在數概念的建立中初步培養學生的數感、符號意識）。
結合調查分析，以及自己平時的教學實踐和思考，筆者認為，要培養學生的“符號意識”可以按照以下路徑有序地、系統地展開。
要培養學生的“符號意識”，首要的事情是讓教師明白以下四個概念：①.什么是“符號”?②.什么是“數學符號”?③.什么又是“符號意識”?④.什么又是我們數學教學中的“符號意識”?如果一線教師連這幾個基本的概念都不明確，那我們的“符號意識”培養教學肯定是盲目的、不專業的。特別是“符號意識”這個概念，數學教學中所說的“符號意識”，其完整的說法就是“數學符號意識”，為了方便，故而省略前兩字只說“符號意識”，孰知反而讓不少數學教師混淆了“符號”與“數學符號”。因此，完全有必要在教師用書里花點筆墨，向一線教師指明：我們數學教學里所說的“符號”，就是指“數學符號”，它跟生活中其它的“符號”是有區別的；我們數學教學中所說的“符號意識”，就是“數學符號意識”，而不是一般的“符號意識”。另一方面，我們所說的“符號意識”的里的“符號”包括指能夠用來表示數、數量關系和變化規律的符號；能夠用來進行一般性的運算和推理的符號。這里的“意識”千萬不能與“數感”及“字母表示數”混為一談（數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟，而“用字母表示數”只是“符號意識”的一個典型表現）。正如上面的調查的結果，40%的老師不明白孩子上學前就有“符號意識”了，其中一個原因就是把“符號意識”與“用字母表示數”劃上了等號，從而以為學齡前兒童是沒有“符號意識”的。
二
重過程，讓“符號意識”慢植入
“符號意識”的培養要從小學一年級學生開始，而且得從“符號”的認識開始抓起，這在人教教材的教學建議中已經明確指出。那么，一年級的學生，如何更好地進行“符號”的概念教學，從而為培養他們的符號意識打下扎實的基礎呢？強行灌輸肯定是下下策，更好的方式應該是緩慢“植入”。
例如：在學生第一次接觸“>”、“<>
這位老師最用心的還不是上面的環節設計，而是在演示圖4得出“>”的寫法之后，重新把上面的過程完整、清晰、有序地再次呈現給一年級的孩子們觀察和感悟，使得學生有二度觀察“>”的演變過程的機會，從而加深“>”的演變過程的印象。這樣有條理、講過程、重感悟的“符號”概念的教學設計方法和教學設計理念非常值得我們低段教師在培養學生的“符號意識”時借鑒和學習。“>”的教學方式如此，其它符號（如數字符號“1”、“2”、……及運算符號“+”、“-”、“×”……）的概念教學和意義教學也應該如此。
三
換表述，讓“符號意識”多滲透
小學生“符號意識”的一個典型表現是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律，這個能力一般老師都認為是小學高段（人教版是五年級上學期）開始學習的數學能力。那么，作為沒有接觸過符號代替數字的低段學生，是否就不具備這樣的能力，或者說是否不能進行這樣的能力訓練或儲備呢？根據筆者近幾年對小學低段學生“符號意識”培養教學的觀察、思考和實踐，發現我們完全可以從低段開始有意識地培養學生運用符號表示數、數量關系和變化的意識和能力。當然，低段的培養重點與高段的培養重點肯定是有所區別的。例如：
上面兩種是小學一年級開始出現頻率非常高的題型，我們的數學教師在教學的時候一般都是這樣處理的：
師：方框里填幾？生：填3，6，4，7。師：非常正確！
這樣的教學處理，教師完全沒有利用起現有資源進行“符號”代替數字的意識的滲透和培養的觀念。那么，我們怎么利用這種題型進行“符號意識”的滲透呢？其實，我們只要換個問法，就可以在低段學生中滲透“符號”的觀念，培養學生“符號意識”的原型了。
師：小朋友們，第1小題中的方框代表幾啊？生：代表3。師：你怎么知道的啊？生：3和3組成6，6可以分成3和3，所以第1個方框代表3。師：是的！那第2個方框呢？生：略……師：哎！小朋友們，你有沒有發現，雖然都是方框，但他們有時可以表示3，有時可以表示6，有時又表示4，有時還表示7，這是為什么啊？生：因為第1方框是和3一起組成了6，所以它代表3；第２個方框是２和４組成的，所以它代表６……師：看來，同樣的方框，在不同的時候可以表示不同的數，對嗎？生：是的！
從“方框里填幾”到“方框代表幾”，看似簡單的一個表述轉換，卻彰顯出教師有效利用現有材料進行“符號意識”滲透的能力和觀念。雖然說“ ”和樹葉、蘋果等圖形都不能算真正的“數學符號”，但是在學習真正的“數學符號”之前，利用現有的教學材料，讓學生反復性地、有意識地感受各種“非數學符號”在數學學習中的廣泛存在是非常有必要的。這一方面可以大大降低學生在高段接觸真正的“數學符號”時的認知難度，另一方面也可以為培養學生利用數學符號進行推理和運算打好扎實有基礎。
四
借他石，讓“符號意識”廣扎根
雖然說“數學符號”是有局限性的，但是我們并不反對教師借助各種其它符號來幫助學生逐步建立“數學符號”的意識。數字、圖形、字母……任何可以寫在紙上的都可以作為符號來理解，符號的概念是寬泛的。我們不必拘泥于形式，重要的是要開拓學生的思路，培養學生用符號來解決問題的習慣和意識。當然，針對小學低段的學生，我們使用的符號最好是學生生動的、形象的、孩子感興趣的。
例如：在學習了《乘法的初步認識》并進行練習后，有位老師非常用心地在課快要上完時再次把例題拿出來，把圖片上的小朋友遮起來，再讓學生用乘法算式來表示，學生先想到可以用“1×5”、“2×5”……等算式來表示，教師接著再鼓勵學生學生：哎那你有沒有什么好辦法，不用說這么多人算式，說一個算式就夠了？學生想到了用“5×？”、“5× ”、“5× ”……來表示；
在學生會用乘法算式來表示幾個相同加數的和的時候，教師不是“見好就收”而是及時改變問題情境，“逼”著學生思考用“符號”來表示，當學生想到用“？”也可以表示乘法算式后，教師再馬上跟進讓學生思考用其它形象的符號來表示，使學生剛建立的乘法算式模型得到進一步的鞏固和運用，并進一步培養和促進了學生用符號表示數量關系的意識和能力。當然，二年級的學生，這樣的要求看起來有點高，我們教師不能把這種要求作為對全體學生的基礎要求和硬性要求，這一點，我們數學教學完全可以向語文教學要求學習：只作認識，不作掌握。筆者以為，如果我們的數學教師能經常有意識地進行這樣的“符號意識”的培養教學，我們學生的“符號意識”會更加廣泛地扎根于學生的數學學習活動中。
五
敢創新，讓“符號意識”早發芽
“符號意識“哪里來？肯定要從學生使用的過程中來逐步培養，如果我們整天只喊口號，不落實于行動，“符號意識”的培養肯定是“空中樓閣”。那么，怎么落實于行動中，除了上面幾個要點之外，筆者認為還有一個觀念很重要，那就是：讓學生大膽創造并使用自己喜歡的各種“符號”于數學學習中。在這個過程中，不要怕學生創造的符號千奇百怪。我們說，只要能在紙上寫出來、畫出來的都可以算是“符號”，而以后高段要學習的“數學符號”只是把生活中的“符號”進行數學化、標準化的一個必然事物。
例如：在《有余數的除法》中教學，當學生會計算商和余數之后，有位老師緊跟著提出一個問題：你能用自己想到的符號來表示剛才我們算過的除法算式嗎？學生嘗試后得到下面這些不同的表示方法：
老師緊跟著又追問道：請你說一說，在你寫的算式里，各個符號分別代表什么數？（生：略）接著再追問：如果除數、商和余數都告訴我們，被除數沒有告訴我們，你有什么好辦法得到被除數嗎？（學生思考后同桌討論）生：可以的，只要用除數乘以商的結果再加上余數就是被除數了！ 師：那么，在剛才這些你們自己用符號表示的除法算式中，如果要算被除數，應該怎么算呢？學生思考后同桌討論交流，展示成果
追問：同學們，你們有沒有發現雖然這些算式所用的符號都不一樣（有的用圖形，有的用字母），但是它們還是有相同的地方的？生：它們都用到了乘號和加號，而且都是先乘后加的。師：是的，那你知道為什么這些不同的符號都可以寫成幾乘幾加幾的形式嗎？生：因為這些符號都表示被除數，被除數就等于除數乘商加余數，所以都可以這樣寫。
在這里，教師沒有要求學生用老師規定的符號來表達除法算式和被除數的算法，教師放開手讓學生用自己的方式去表達后，學生創造出了屬于自己的“符號”，雖然這些“符號”還不是正規的“數學符號”，但是這有關系嗎？我們要培養的是利用“符號”進行推理和運算的能力，而不是讓學生死記硬背某些“數學符號”，不要讓“數學符號”壓縮了學生“數學思維”的空間。我們應該用豐富的“符號”幫助學生對“符號”產生親近感，從而使學生的“符號意識”在創造性的活動中慢慢發芽，并使學生對“數學思維”產生親切感。
符號，從本質來說是用一種代號（文字、數字、圖形、物體和表達式等）去替代或簡化另一種事物。根據百度百科的定義：符號，一般指文字，語言，電碼，數學符號，化學符號，交通標志等。總之，能夠作為某一事物標志的，都有可稱為符號。而數學符號，它不僅有著我們在日常生活中所常見的一般符號所具有的意義，除此之外它還能表達更為豐富的含義與更深層的邏輯關系等，它包括了數字符號、運算符號、邏輯符號等一套完善的符號系統。它是人們不斷累積，有意識地通過精心設計并創造出來的數學體系。
綜上所述，“符號意識”的培養是數學教學極其重要的一個任務，“符號意識”的培養不是一朝一夕的事，更不是只屬于高段數學教學的事。我們應該從小學低段開始，使教師明確“數學符號”和“符號意識”的概念，并在教學實踐中注重符號概念的建立過程，尋找符號的各種存在形式，開發符號的利用途徑，培育符號的生長空間，創新符號的表達方式，才能有序地、系統、有效地把“符號意識”逐步地滲透于低年級學生的數學思維中，并為學生盡早做到準確表達復雜的數學思想打下扎實的基礎。
開心一刻
圍出最大的面積
一位農夫請工程師、物理學家和數學家來，想用最少的籬笆圍出最大的面積。工程師用籬笆圍出一個圓，宣稱這是最優設計。物理學家將籬笆拉開成一條長長的直線，假設籬笆有無限長，認為圍起半個地球總夠大了。數學家嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現在在外面。”
你若盛開 蝴蝶自來
