作者：半壺砂
來源：http://www.cnblogs.com/halfsand/p/7976636.html
自動追蹤算法，在我們設計2D射擊類游戲時經常會用到，這個聽起來很高大上的東西，其實也并不是軍事學的專利，在數學上解決的話需要去解微分方程，
這個沒有點數學基礎是很難算出來的。但是我們有了計算機就不一樣了，依靠計算機極快速的運算速度，我們利用微分的思想，加上一點簡單的三角學知識，就可以實現它。
好，話不多說，我們來看看它的算法原理，看圖：
由于待會要用pygame演示，他的坐標系是y軸向下，所以這里我們也用y向下的坐標系。
算法總的思想就是根據上圖，把時間t分割成足夠小的片段（比如1/1000，這個時間片越小越精確），每一個片段分別構造如上三角形，計算出導彈下一個時間片走的方向（即∠a）和走的路程（即vt=|AC|），這時候目標再在第二個時間片移動了位置，這時剛才計算的C點又變成了第二個時間片的初始點，這時再在第二個時間片上在C點和新的目標點構造三角形計算新的vt，然后進入第三個時間片，如此反復即可。
假定導彈和目標的初始狀態下坐標分別是(x1,y1),(x,y)，構造出直角三角形ABE，這個三角形用來求∠a的正弦和余弦值，因為vt是自己設置的，我們需要計算A到C點x和y坐標分別移動了多少，移動的值就是AD和CD的長度，這兩個分別用vt乘cosa和sina即可。
計算sina和cosa，正弦對比斜，余弦鄰比斜，斜邊可以利用兩點距離公式計算出，即：
于是
AC的長度就是導彈的速度乘以時間即 |AC|=vt，然后即可計算出AD和CD的長度，于是這一個時間片過去后，導彈應該出現在新的位置C點，他的坐標就是老的點A的x增加AD和y減去CD。
于是，新的C點坐標就是：
只要一直反復循環執行這個操作即可，好吧，為了更形象，把第一個時間片和第二個時間片放在一起看看：
第一個是時間片構造出的三角形是ABE，經過一個時間片后，目標從B點走到了D點，導彈此時在C點，于是構造新的三角形CDF，重復剛才的計算過程即可，圖中的角∠b就是導彈需要旋轉的角度,現實中只需要每個時間片修正導彈的方向就可以了，具體怎么讓導彈改變方向，這就不是我們需要研究的問題了
好，由于最近在用Python的pygame庫制作小游戲玩，接下來我們就用pygame來演示一下這個效果，效果如下圖：
很簡單的代碼如下：
import pygame,sys
from math import *
pygame.init()
screen=pygame.display.set_mode((800,700),0,32)
missile=pygame.image.load('element/red_pointer.png').convert_alpha()
x1,y1=100,600 #導彈的初始發射位置
velocity=800 #導彈速度
time=1/1000 #每個時間片的長度
clock=pygame.time.Clock()
old_angle=0
while True:
for event in pygame.event.get():
if event.type==pygame.QUIT:
sys.exit()
clock.tick(300)
x,y=pygame.mouse.get_pos() #獲取鼠標位置，鼠標就是需要打擊的目標
distance=sqrt(pow(x1-x,2)+pow(y1-y,2)) #兩點距離公式
section=velocity*time #每個時間片需要移動的距離
sina=(y1-y)/distance
cosa=(x-x1)/distance
angle=atan2(y-y1,x-x1) #兩點線段的弧度值
x1,y1=(x1+section*cosa,y1-section*sina)
d_angle = degrees(angle) #弧度轉角度
screen.blit(missile, (x1-missile.get_width(), y1-missile.get_height()/2))
dis_angle=d_angle-old_angle #dis_angle就是到下一個位置需要改變的角度
old_angle=d_angle #更新初始角度
pygame.display.update()
如果僅把導彈考慮為一個質點的話，那么以上算法就已經足矣，我沒有做導彈的旋轉，因為一個質點也不分頭尾不需要旋轉，當然這前提得是你加載的導彈圖片很小的時候不旋轉看起來也沒什么問題。但是在pygame里面做旋轉并不是一件容易的事情(也可能是我無知)，好吧我們先把圖片替換成一張矩形的，再加入旋轉函數看看效果如何
missiled = pygame.transform.rotate(missile, -(d_angle))
screen.blit(missiled, (x1-missile.get_width(), y1-missile.get_height()/2))
因為圖片的坐標點是它的左上角的點，所以如果我們想讓圖片的坐標固定在箭頭尖點，那么把圖片實際打印位置x減少圖片長度，y減少一半寬度就行。
但是實際運行效果并不好：
大致方向相同，但是圖片箭頭的尖點并沒有一直跟隨鼠標，這是為什么呢。經過我的研究（就因為這個問題沒解決一直沒發布），
我發現原來是這個圖旋轉的機制問題，我們看看旋轉后的圖片變成什么樣了：
旋轉后的圖片變成了藍色的那個范圍，根據旋轉角度的不同，所變成的圖片大小也不一樣，我們看旋轉90的情況
我們發現，旋轉后的圖片不僅面積變大了，導彈頭的位置也變了。那應該怎么解決這個問題呢？思路是，每一次旋轉圖片以后，求出旋轉圖的頭位置（圖中的綠色箭頭點），然后把綠圖的打印位置移動一下，下，x，y分別移動兩個頭的距離，就可以讓旋轉后的導彈頭對準實際我們參與運算的那個導彈頭的位置，移動后應該是這樣的：
這樣，兩個導彈頭的點就一致了。接下來我們分析求旋轉后的導彈頭的算法。根據旋轉角度的不同，旋轉角在不同象限參數不一樣，所以我們分為這四種情況
1，2象限
3，4象限，它的旋轉只有正負0—180，所以3，4象限就是負角
顯示圖片的時候我們將他移動
screen.blit(missiled, (x1-width+(x1-C[0]),y1-height/2+(y1-C[1])))
這里的（x1-width,y1-height/2）其實才是上圖中的（x1,y1）
所以最后我們加入相關算法代碼，效果就比較完美了
大功告成，最后附上全部的算法代碼
import pygame,sys
from math import *
pygame.init()
font1=pygame.font.SysFont('microsoftyaheimicrosoftyaheiui',23)
textc=font1.render('*',True,(250,0,0))
screen=pygame.display.set_mode((800,700),0,32)
missile=pygame.image.load('element/rect1.png').convert_alpha()
height=missile.get_height()
width=missile.get_width()
pygame.mouse.set_visible(0)
x1,y1=100,600 #導彈的初始發射位置
velocity=800 #導彈速度
time=1/1000 #每個時間片的長度
clock=pygame.time.Clock()
A=()
B=()
C=()
while True:
for event in pygame.event.get():
if event.type==pygame.QUIT:
sys.exit()
clock.tick(300)
x,y=pygame.mouse.get_pos() #獲取鼠標位置，鼠標就是需要打擊的目標
distance=sqrt(pow(x1-x,2)+pow(y1-y,2)) #兩點距離公式
section=velocity*time #每個時間片需要移動的距離
sina=(y1-y)/distance
cosa=(x-x1)/distance
angle=atan2(y-y1,x-x1) #兩點間線段的弧度值
fangle=degrees(angle) #弧度轉角度
x1,y1=(x1+section*cosa,y1-section*sina)
missiled=pygame.transform.rotate(missile,-(fangle))
if 0<>fangle<>90:
A=(width*cosa+x1-width,y1-height/2)
B=(A[0]+height*sina,A[1]+height*cosa)
if 90<>fangle<>180:
A = (x1 - width, y1 - height/2+height*(-cosa))
B = (x1 - width+height*sina, y1 - height/2)
if -90<>fangle0:
A = (x1 - width+missiled.get_width(), y1 - height/2+missiled.get_height()-height*cosa)
B = (A[0]+height*sina, y1 - height/2+missiled.get_height())
if -180<>fangle<>90:
A = (x1-width-height*sina, y1 - height/2+missiled.get_height())
B = (x1 - width,A[1]+height*cosa )
C = ((A[0] + B[0]) / 2, (A[1] + B[1]) / 2)
screen.fill((0,0,0))
screen.blit(missiled, (x1-width+(x1-C[0]),y1-height/2+(y1-C[1])))
screen.blit(textc, (x,y)) #鼠標用一個紅色*代替
pygame.display.update()
題圖：pexels，CC0 授權。
