摘 要：概念教學在數學教學中有重要地位．根據來源可將數學概念分為兩類，相應地有兩類概念教學方法．數學概念有多重特征，揭示這些特征是概念教學的重要任務．概念教學有多種策略，策略的使用能提高教學的有效性，數學教師應增長這方面知識．
關鍵詞：數學概念；概念特征；概念教學
概念教學在數學教學中有關鍵地位，它一直是數學教學研究的一個主題．當前的課改實踐中，存在忽視數學概念的抽象邏輯建構特征，過于強調情境化、生活化、活動化的傾向。所以，應更深入地研究概念教學，以豐富概念教學法的知識并指導實踐．
本文在討論概念分類及其特征的基礎上，探討數學概念有效教學的策略．
一、數學概念及其分類
數學概念是人類對現實世界空間形式和數量關系的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、交流的工具．一般地，數學概念來源于兩方面：一是對客觀世界中的數量關系和空間形式的直接抽象；二是在已有數學理論上的邏輯建構．相應地，可以把數學概念分為兩類：一類是對現實對象或關系直接抽象而成的概念，這類概念與現實如此貼近，以至人們常常將它們與現實原型“混為一談”、融為一體，如三角形、四邊形、角、平行、相似等都有這種特性；另一類是純數學抽象物，這類概念是抽象邏輯思維的產物，是一種數學邏輯構造，沒有客觀實在與之對應，如方程、函數、向量內積等，這類概念對建構數學理論非常重要，是數學深入發展的邏輯源泉．
二、數學概念的特征
上世紀八十年代，國外有人提出，數學內容可以分為過程和對象兩個側面．“過程”就是具備可操作性的法則、公式、原理等；“對象”則是數學中定義的結構、關系．數學概念往往兼有這樣的二重性，許多概念既表現為過程操作，又表現為對象結構．如“等于”概念，在數與式的運算中具有過程性，它表示由等號前的算式經運算得出等號后的結果的過程指向，在式的恒等變形中蘊涵著“往下繼續算”的操作屬性；而方程中“等于”的意義則不同，它沒有過程指向性，只有結構意義，表示了等號兩邊代數式的一種關系．Sfard(1991,1994)等人的研究表明，概念的過程和對象有著緊密的依賴關系，概念的形成往往要從過程開始，然后轉變為對象的認知，最后共存于認知結構中．在過程階段，概念表現為一系列固定操作步驟，相對直觀，容易模仿；進入對象狀態時，概念呈現一種靜態結構關系，有利于整體把握，并可轉變為被操作的“實體”.
我們認為，關于數學概念特征的上述描述稍嫌抽象。為有利于教師把握，下面對數學概念的特征作更具體的描述。
（1）判定特征 概念具有判定特征，也即依據概念的內涵，人們便能判定某一對象是概念的正例還是反例．
（2）性質特征 概念的定義就是對概念所指對象基本性質的概括，因而具有性質特征．
上述兩個特征從另一個側面表現了“概念的二重性”．判定特征有助于厘清概念的外延，性質特征有助于認識概念的內涵．
（3）過程性特征（運算過程或幾何操作過程） 有些概念具有過程性特征，概念的定義就反映了某種數學過程或規定了操作過程．如“分母有理化”隱含著將分母變形為有理數（式）的操作過程；“平均數”概念隱含著將幾個數相加再除以個數的運算操作過程；“n的階乘”蘊涵著從1連乘到n的運算操作過程；“向量的加法”概念規定了“形”（三角形法則）的操作過程；等。
（4）對象特征（思維的細胞，交流的語言詞） 概念是一類對象的泛指，如三角形、四邊形、復數、向量等概念都是某類對象的名稱，泛指一類對象；又如復數的模，就是與復數a+bi（a，b∈R）對應的結構式，規定這個式子就是模．
（5）關系特征 有些概念具有關系特性，反映了對象之間的關系．如垂直、平行、相切、異面直線、集合的包含等，都反映了兩個對象的相互關系，具有關聯性、對稱性．這些概念，靜態角度看是一種結構關系，變化觀點看則是運動過程中的某種特殊狀態．特別的，具有主從關系的概念反映了相對于另一概念對象而言的對象，具有相依性、滋生性．如三角形的外接圓、角的平分線、二面角的平面角等，都是在其他概念對象基礎上生成的．這些概念反映的都是特殊對象，其特殊性由明確的規定性所限制，這些規定性也是概念內涵的一部分．
（6）形態特征 有些概念描述了數學對象的形態，從形態上規定概念的屬性特征．如三角形、四邊形、三棱錐、四棱臺等概念都具形態特征，它們給人留下的多是直觀形象，用于判斷時多從形態上先識別，根據形態就可大致判斷是概念的正例還是反例．一般而言， “形如……的對象叫……”這類概念都具有形態特征．
三、概念的教學
上述數學概念的多重性，為教學指明了方向。總的來說，教師應在分析所教概念特性的基礎上，選擇適當的素材，設計恰當的問題情景，使學生在經歷概念發生發展過程中，認識概念的不同特征；通過概念的運用訓練，使學生掌握根據具體問題的需要改變認識角度、反映概念不同特征的方法，進而有效地應用概念解決問題．
1．概念教學的目標
概念教學的基本目標是讓學生理解概念，并能運用概念表達思想和解決問題．這里，理解是基礎．從認知心理學看，“理解某個東西是指把它納入一個恰當的圖式”，圖式就是一組相互聯結的概念，圖式越豐富，就越能處理相關的變式情景．數學概念理解有三種不同水平：工具性理解（Instrumental Understanding）、關系性理解（Relational Understanding）和形式性理解（Formal understanding）．工具性理解指會用概念判斷某一事物是否為概念的具體例證，概念作為甄別的工具而并不清楚與之相關的聯系；關系性理解指不僅能用概念作判斷，而且將它納入到概念系統中，與相關概念建立了聯系；形式性理解指在數學概念術語符號和數學思想之間建立起聯系，并用邏輯推理構建起概念體系和數學思想體系．理解概念是明確概念間的關系、靈活應用概念的前提，否則會產生判斷錯誤，思維就會陷入困境．例如，如果角的弧度概念不明確，就會導致理解上的困難：sinx是一個實數，x是一個角度，如何比？更不用說求極限了．
概念學習不僅是理解定義描述的語義，也不只是能用以判斷某個對象是否為它的一個例，還要認識它的所有性質，這樣才能更清楚地掌握這個概念．從概念系統觀看，概念的理解是一個系統工程，概念學習的最終結果是形成一個概念系統．學生要理解一個數學概念，就必須圍繞這個概念逐步構建一個概念網絡，網絡的結點越多、通道越豐富，概念理解就越深刻．所以，概念的學習需要一個過程，但不是一個單純的邏輯解析過程，“講清楚”定義并不足以讓學生掌握概念．
概念教學不能只滿足于告訴學生“是什么”或“什么是”，還應讓學生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、發展理論或解決問題中的作用。核心概念的教學尤應如此．所以，概念教學前需要對概念進行學術解構和教學解構．學術解構是指從數學學科理論角度對概念的內涵及其所反映的思想方法進行解析，包括概念的內涵和外延、概念所反映的思想和方法、概念的歷史背景和發展、概念的聯系、地位作用和意義等．教學解構是在學術解構的基礎上，對概念的教育形態和教學表達進行分析，重點放在概念的發生發展過程的解析上，包括對概念抽象概括過程的“再造”、辨析過程（內涵與外延的變式、正例和反例的舉證）和概念的運用（變式應用）等，其中尋找精當的例子來解釋概念是一件具有創造性的教學準備工作．
2．概念教學的方式
眾所周知，概念的獲得有兩種基本方式──概念形成與概念同化．同類事物的關鍵屬性由學生從同類事物的大量例證中獨立發現，這種方式叫概念形成；用定義的方式直接揭示概念，學生利用已有認知結構中的有關知識理解新概念，這種方式叫概念同化．兩種獲得方式對應著兩類概念及兩種教學方式．
（1）概念形成教學方式
新概念是對現實對象或關系直接抽象而成時，常采用概念形成教學方式，即通過創設情境從客觀實例引入，抽象共性特征，概括本質特征，形成數學概念。這樣可使學生感到數學源于自己周圍生活而倍感親切．如數軸的引入，從秤桿、溫度計等實物引入，讓學生認識到它們有如下共同要求：度量的起點，度量的單位，明確的增減方向，根據這些現實模型引導學生抽象出數學模型而形成數軸概念．這種方式遵循了由形象到抽象的思維規律．用此方式教概念，可以先用實物、教具或多媒體展示等作為引導性材料，讓學生直觀感知概念，在充分感知的基礎上再作概括．這里要強調引導學生仔細觀察、防止出現概念類化錯誤（不足或過度）的重要性．
（2）概念同化教學方式
新概念是基于數學邏輯建構形成時，常采用概念同化教學方式，即直接揭示概念的定義，借助已有知識進行同化理解．用這種方式教概念，可有不同的引入途徑，需要強調的是應讓學生理解引入新概念的必要性．這種方式其實是通過邏輯演繹進行概念教學．由于是從抽象定義出發，所以應注意及時用典型實例使概念獲得“原型”支持，形成概念的“模式直觀”，以彌補沒有經歷概念形成的“原始”過程而出現的概念加工不充分、理解不深刻的缺陷．
概念教學的基本原則是采用與概念類型、特征及其獲得方式相適應的方式，以有效促進概念的理解．由于數學概念大都可通過邏輯建構而產生，因此概念同化是學生獲得數學概念的主要方式，尤其是中學階段，這樣能讓學生更清楚地認識概念的系統性和層次性，有利于學生從概念的聯系中學習概念，在概念系統中體會概念的作用，從而不僅促進學生的概念理解，而且有利于概念的靈活應用．當然，如果學生的認知結構中，作為新概念學習“固著點”的已有知識不充分時，則只能采取概念形成方式．
概念符號化是概念教學的必要步驟，這是因為數學概念大都由規定的數學符號表示，這使數學的表示形式更簡明、清晰、準確，更便于交流與心理操作．這里要注意讓學生掌握概念符號的意義，并要進行數學符號和其意義的心理轉換技能訓練，以促進他們對數學符號意義的理解．
3．概念教學的策略
（1）直觀化 數學概念的掌握要經過一個由生動的直觀到抽象的思維、再從抽象的思維到實際的應用的過程，甚至要有幾個反復才能實現．借助概念的直觀背景，對抽象概念進行直觀化表征，可提高概念教學的有效性．數學中的直觀是相對的，實物、教具模型、圖形或多媒體呈現的圖片等屬于具體而生動的直觀；已經熟知的概念、原理及其例等屬于抽象而相對的直觀．
（2）通過正例和反例深化概念理解 概念的例可加深概念理解，通過“樣例”深化概念認識是必須而有效的教學手段．其實，數學思維中，概念和樣例常常是相伴相隨的．提起某一概念，頭腦中的第一反應往往是它的一個“樣例”，這表明例在概念學習和保持中的重要性．如提起“函數”，我們頭腦中可能立即浮現一次函數、二次函數、指數函數、對數函數等的具體解析式及其圖像．概念的反例提供了最有利于辨別的信息，對概念認識的深化具有非常重要的作用．反例的運用不但可使學生的概念理解更精確、準確，而且可以排除無關特征的干擾．要注意的是，反例應在學生對概念有一定理解后才使用，否則，如果在學生剛接觸概念時用反例，將有可能使錯誤概念先入為主，干擾概念的理解．在揭示概念定義后，為進一步突出概念的本質特征，防止概念誤解，可利用概念的正例或反例．如“異面直線”概念，要通過概念的正例和反例讓學生認識到：異面直線是怎么也找不到一個平面將它們納入其中的兩條直線，而不是“在兩個不同平面上的直線”．
（3）利用對比明晰概念 有比較才有鑒別．對同類概念進行對比，可概括共同屬性．對具有種屬關系的概念作類比，可突出被定義概念的特有屬性；對容易混淆的概念作對比，可澄清模糊認識，減少直觀理解錯誤．如“排列”和“組合”，通過對比可以避免混淆；“最值”和“極值”，通過對比可認識它們的差異，即前者有整體性而后者僅有局部性，“最值”一定能取到，“極值”未必能取到；等．
（4）運用變式完善概念認識 通過變式，從不同角度研究概念并給出例，可以全面認識概念．變式是變更對象的非本質屬性特征的表現形式，變更觀察事物的角度或方法，以突出對象的本質特征，突出那些隱蔽的本質要素。簡言之，變式是指事物的肯定例證在無關特征方面的變化．通過變式，可使學生更好地掌握概念的本質和規律．如“等差中項”，除了認識“若a，b，c成等差數列，則稱b為 a，c的等差中項”這一定義外，還必須認識變式“a－b＝b－c”“2b＝a＋c”；必須建立算法：a與b的等差中項是．由于學生習慣形象思維與記憶，對較抽象的數學概念要盡量引導學生從形的角度進行再認識，以獲得概念的直觀、形象支撐，如“極值”和“最值”．值得指出，概念變式的運用應服務于概念理解，并要掌握好時機，只有在概念理解的深化階段運用才能收到理想效果．否則，學生不僅不能理解變式的目的，變式的復雜性反而會干擾學生的概念理解，甚至產生混亂．
（5）對概念精致 一定意義上，概念的精致可理解為概念濃縮，即抓住概念的精要所在！概念的精練表達和“組塊”占居記憶空間少且易于提取．我們曾就增函數概念調查過5位非數學專業大學畢業生，結果是：一人答“當x1大于x2時，f(x1)大于f(x2)”；一人答“好象是函數值跟著大吧”；另三人答“上凸增函數類的”，并用手比畫．所以，學習“增函數”，首先應有直觀形象（圖像）的引入，然后到語言描述，再到數學符號語言的描述。這些過程結束并理解了什么叫“增函數”后，學生會回到簡單而本質的關鍵詞上，對關鍵詞的表征就是概念本質屬性的表征，這正是概念精致所要達到的高度．這也表明，在學生的認知結構中，“概念定義”是惰性的，甚至會被遺忘，起作用的是精致后的概念精要．因此，概念教學必須經歷概念精致過程，以使學生提煉出代表性特征．
（6）注意概念的多元表征 數學概念往往有多種表征方式，如利用現實情境中的實物、模型、圖像或圖畫進行的形象表征，利用口語和書寫符號進行的符號表征等．不同的表征將導致不同的思維方式，概念多元表征可以促進學生的多角度理解；在不同的表征系統中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系統之間進行轉換訓練，可以強化學生對概念聯系性的認識；建立概念不同表征間的廣泛聯系，并學會選擇、使用與轉化各種數學表征，是有效使用概念解決復雜、綜合問題的前提。因此，使學生掌握概念的多元表征，并能在各種表征間靈活轉化，是數學概念教學的基本策略．
（7）將概念算法化 學習概念的目的是應用；反之，應用能促進概念的深刻理解．概念的應用可分為兩類，一是用概念作判斷，二是把概念當性質用。為了更好地運用概念，需要將概念算法化，即要將陳述性的概念定義轉化為程序性的算法化知識．如將“二面角的平面角”算法化：①角的頂點在二面角的棱上，②角的兩邊分別在二面角的兩個面內，③角的兩邊都與二面角的棱垂直。由此得作一個二面角的平面角的算法：先在二面角的棱上任取一點，再從這點出發，在二面角的兩個面內分別作與二面角的棱垂直的射線；判斷一個角是否為二面角的平面角的算法：先看頂點是否在棱上，再看角的兩邊是否分別在二面角的兩個面內，最后看角的兩邊是否都與棱垂直，一項不符合，就被否定．通過上述算法化學習，二面角的平面角概念才能更為好用．沒有實現陳述性概念定義的算法化是學生不能應用概念的主要原因之一．
四、核心數學概念及其教學
數學概念的最重要特征是它們都被嵌入在組織良好的概念體系中．數學的邏輯嚴謹性主要體現在數學概念的系統性上，后繼概念大多是前概念基礎上的邏輯建構，個別概念的意義總有部分來自與其它概念的相互聯系，或出自系統的整體特征．
在一個概念體系中，有些概念處于核心位置，其他概念或由它生成，或與它有密切的聯系，我們稱這種概念為核心概念（key concept）或本源概念（root concept）．
核心數學概念的特征，從學科角度看有：（1）在數學內部具有廣泛的聯系性，（2）對數學發展具有奠基性作用和持續影響；從數學學習角度看：（1）是一個意義豐富的認知根源，在此基礎上，通過較簡單、方便的認知擴充策略，不必進行認知重構就能得到數學認知結構的基本發展；（2）在發展更復雜的理解時仍具有重要的作用．
從上所述可知，核心數學概念具有一般概念所不具備的基礎性、可生長性．因此，核心數學概念的教學，除了遵從一般概念教學要求外，還有其自身的特殊要求．其中，最關鍵的是要樹立“整體觀”和“系統觀”，要以核心數學概念為“綱”，將相關概念統整為一個網絡系統，達成“綱舉目張”之效。這就是說，核心數學概念的教學必須實現從工具性理解到關系性理解的過渡。這就要求在核心數學概念的教學中，要重點考慮概念的來源、相關概念及其關系、概念的作用（新知識的詮釋、舊知識的翻新）等，并更要突出概念形成的過程性．特別值得注意的是，核心數學概念的形成不是一蹴而就的，常常需要幾節課或一個階段才能完成概念建構，甚至是一個長期、動態的建構過程，函數概念就是最典型的例證．
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（本文是全國教育科學“十一五”規劃教育部重點課題（課題編號 DHA060137）階段性成果．）
