(時(shí)間:120分鐘 滿分:150分 命題人：周蓉)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.計(jì)算:log225·log52=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:log225·log52=3,故選A.
答案:A
2.下列冪函數(shù)中過點(diǎn)(0,0),(1,1)的偶函數(shù)是( )
A.y= B.y=x4 C.y=x-1 D.y=x3
解析:選項(xiàng)A中,y=既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);選項(xiàng)B中,y=x4是偶函數(shù),且過點(diǎn)(0,0),(1,1),滿足題意;選項(xiàng)C中,y=x-1是奇函數(shù);選項(xiàng)D中,y=x3也是奇函數(shù),均不滿足題意.故選B.
答案:B
3.已知函數(shù)f(x)=則f的值為 ( )
A.27 B. C.-27 D.-
解析:∵f=log2=-3,
∴f=f(-3)=3-3=.
答案:B
4.滿足'對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)'的函數(shù)可以是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x
解析:f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).
答案:C
5.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)? )
A.[-2,2 B.(-1,2
C.[-2,0)∪(0,2 D.(-1,0)∪(0,2
解析:要使函數(shù)有意義,x應(yīng)滿足解得-1<x<0或0<x≤2,所以該函數(shù)的定義域?yàn)?-1,0)∪(0,2 .故選D.
答案:D
6.
導(dǎo)學(xué)號03814047三個(gè)數(shù)a=0.72,b=log20.7,c=20.7之間的大小關(guān)系是( )
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<a<c D.b<c<a
解析:∵0<a=0.72<1,b=log20.7<0,c=20.7>1.
∴b<a<c.故選C.
答案:C
7.如果一種放射性元素每年的衰減率是8 ,那么a g的這種物質(zhì)的半衰期(剩余量為原來的一半所需的時(shí)間)t等于( )
A.lg B.lg
C. D.
解析:設(shè)t年后剩余量為y g,則y=(1-8 )ta=0.92ta.當(dāng)y=a時(shí),a=0.92ta,
所以0.92t=0.5,則t=log0.920.5=.
答案:C
8.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax(a>0,且a≠1)的圖象可能是( )
解析:若0<a<1,則函數(shù)g(x)=logax的圖象過點(diǎn)(1,0),且單調(diào)遞減,函數(shù)y=xa(x≥0)單調(diào)遞增,且當(dāng)x∈[0,1)時(shí)圖象應(yīng)在直線y=x的上方,因此A,B均錯;若a>1,則函數(shù)g(x)=logax的圖象過點(diǎn)(1,0),且單調(diào)遞增,但當(dāng)x∈[0,1)時(shí),y=xa的圖象應(yīng)在直線y=x的下方,故C選項(xiàng)錯誤;只有D項(xiàng)正確.
答案:D
9.函數(shù)y=log0.4(-x2+3x+4)的值域是( )
A.(0,2 B.[-2,+∞)
C.(-∞,-2 D.[2,+∞)
解析:-x2+3x+4=-,又-x2+3x+4>0,則0<-x2+3x+4≤,函數(shù)y=log0.4X在(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù),則y=log0.4(-x2+3x+4)≥log0.4=-2,故函數(shù)的值域?yàn)閇-2,+∞),選B.
答案:B
10.若函數(shù)f(x)=4x-3·2x+3的值域?yàn)閇1,7 ,則f(x)的定義域?yàn)? )
A.(-1,1)∪[2,4 B.(0,1)∪[2,4
C.[2,4 D.(-∞,0 ∪[1,2
解析:設(shè)t=2x,則t>0,且y=t2-3t+3=.∵函數(shù)f(x)=4x-3·2x+3的值域?yàn)閇1,7 ,
∴函數(shù)y=t2-3t+3的值域?yàn)閇1,7 .
由y=1得t=1或t=2,由y=7得t=4或t=-1(舍去),則0<t≤1或2≤t≤4,即0<2x≤1或2≤2x≤4,解得x≤0或1≤x≤2.
∴f(x)的定義域是(-∞,0 ∪[1,2 ,故選D.
答案:D
11.如圖,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(1,1).若函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)及y=logbx(b>0,且b≠1)的圖象與線段OA分別交于M,N,且M,N恰好是OA的兩個(gè)三等分點(diǎn),則a,b滿足( )
A.a<b<1 B.b<a<1
C.b>a>1 D.a>b>1
解析:由題圖,得,即a=,logb,即,b==a,且b==1,即a<b<1.故選A.
答案:A
12.已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖象交于點(diǎn)P(x0,y0),如果x0≥2,那么a的取值范圍是( )
A.[2,+∞) B.[4,+∞)
C.[8,+∞) D.[16,+∞)
解析:由已知中兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(x0,y0),
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,若x0≥2,
則0<y0≤,即0<logax0≤,
由于x0≥2,所以a>1且≥x0≥2,解得a≥16,故選D.
答案:D
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.如果冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn),那么f(64)= .
解析:設(shè)冪函數(shù)f(x)=xα(α為常數(shù)),將代入,求得α=-,則f(x)=,
所以f(64)=6.
答案:
14.已知(1.40.8)a<(0.81.4)a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
解析:∵1.40.8>1,0<0.81.4<1,且(1.40.8)a<(0.81.4)a,
∴y=xa為減函數(shù),∴a的取值范圍是(-∞,0).
答案:(-∞,0)
15.設(shè)函數(shù)f(x)=則f(3)+f(4)= .
解析:∵f(x)=
∴f(3)=f(9)=1+log69,f(4)=1+log64,
∴f(3)+f(4)=2+log69+log64=2+log636=2+2=4.
答案:4
16.已知函數(shù)f(x)=|log3x|的定義域?yàn)閇a,b ,值域?yàn)閇0,1 ,若區(qū)間[a,b 的長度為b-a,則b-a的最小值為 .
解析:畫出函數(shù)圖象,如圖所示.
函數(shù)f(x)=|log3x|在區(qū)間[a,b 上的值域?yàn)閇0,1 ,
當(dāng)|log3x|=0時(shí),x=1,
當(dāng)|log3x|=1時(shí),x=或3.
由圖可知,b-a的最小值為1-.
答案:
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)計(jì)算:
(1)+0.2-2-π0+;
(2)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316.
解(1)+0.2-2-π0+
=-1+(3-3
=+25-1+3=.
(2)log3(9×272)+log26-log23+log43×log316
=log3[32×(33)2 +(log23+log22)-log23+log43×log342=log3[32×36 +log22+(log43)×2(log34)
=log338+1+2=8+1+2=11.
18.(本小題滿分12分)已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(8,m)和(9,3).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若函數(shù)g(x)=af(x)(a>0,a≠1)在區(qū)間[16,36 上的最大值等于最小值的兩倍,求實(shí)數(shù)a的值.
解(1)設(shè)f(x)=xα,依題意可得9α=3,
∴α=,f(x)=,
∴m=f(8)==2.
(2)g(x)=,∵x∈[16,36 ,
∴∈[4,6 ,
當(dāng)0<a<1時(shí),g(x)max=a4,g(x)min=a6,由題意得a4=2a6,解得a=;
當(dāng)a>1時(shí),g(x)max=a6,g(x)min=a4,
由題意得a6=2a4,解得a=.
綜上,所求實(shí)數(shù)a的值為.
19.
導(dǎo)學(xué)號03814048(本小題滿分12分)已知a>0且滿足不等式22a+1>25a-2.
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求不等式loga(3x+1)<loga(7-5x);
(3)若函數(shù)y=loga(2x-1)在區(qū)間[1,3 有最小值為-2,求實(shí)數(shù)a的值.
解(1)∵22a+1>25a-2,∴2a+1>5a-2,即3a<3,
∴a<1.又∵a>0,∴0<a<1.
(2)由(1)知0<a<1,∵loga(3x+1)<loga(7-5x).
∴
∴<x<,即不等式的解集為.
(3)∵0<a<1,∴函數(shù)y=loga(2x-1)在區(qū)間[1,3 上為減函數(shù).
∴當(dāng)x=3時(shí),y有最小值為-2,即loga5=-2,
∴a-2==5,解得a=.
20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=(m∈)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax (a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,3 上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解(1)∵f(x)為偶函數(shù),∴-2m2+m+3為偶數(shù).
又f(3)<f(5),∴,
即有<1.
∴-2m2+m+3>0,∴-1<m<.
又m∈,∴m=0或m=1.
當(dāng)m=0時(shí),-2m2+m+3=3為奇數(shù)(舍去);
當(dāng)m=1時(shí),-2m2+m+3=2為偶數(shù),符合題意.
∴m=1,f(x)=x2.
(2)由(1)知,g(x)=loga[f(x)-ax =loga(x2-ax)(a>0,且a≠1)在區(qū)間[2,3 上為增函數(shù).
令u(x)=x2-ax,y=logau,
①當(dāng)a>1時(shí),y=logau為增函數(shù),只需u(x)=x2-ax在區(qū)間[2,3 上為增函數(shù),
即?1<a<2;
②當(dāng)0<a<1時(shí),y=logau為減函數(shù),只需u(x)=x2-ax在區(qū)間[2,3 上為減函數(shù),
即?a∈?.
綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,2).
21.
導(dǎo)學(xué)號03814049(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=-.
(1)用定義證明函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù);
(2)若x∈[1,2 ,求函數(shù)f(x)的值域;
(3)若g(x)=+f(x),且當(dāng)x∈[1,2 時(shí),g(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?strong>R,設(shè)x1,x2∈R且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=.
∵x1<x2,∴>0.
又+1>0,+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).
(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),∴當(dāng)x∈[1,2 時(shí),f(x)min=f(2)=-,f(x)max=f(1)=-.
∴當(dāng)x∈[1,2 時(shí),f(x)的值域?yàn)?em>.
(3)由(2)得,當(dāng)x∈[1,2 時(shí),f(x)∈,
∵g(x)=+f(x),∴當(dāng)x∈[1,2 時(shí),g(x)∈.
∵g(x)≥0在x∈[1,2 上恒成立,
∴≥0,∴a≥.
22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=log2(mx2-2mx+1),m∈R.
(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?strong>R,求m的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-2log4x,若對任意x∈[0,1 ,總有g(2x)-x≤0,求m的取值范圍.
解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?strong>R,即mx2-2mx+1>0在R上恒成立.
當(dāng)m=0時(shí),1>0恒成立,符合題意;
當(dāng)m≠0時(shí),必有
解得0<m<1.
綜上,m的取值范圍是[0,1).
(2)∵g(x)=f(x)-2log4x=f(x)-log2x,
∴g(2x)-x=f(2x)-2x=log2(m·22x-2m·2x+1)-2x.
對任意x∈[0,1 ,總有g(2x)-x≤0,等價(jià)于log2(m·22x-2m·2x+1)≤2x=log222x在x∈[0,1 上恒成立.
即在x∈[0,1 上恒成立. ( )
設(shè)t=2x,則t∈[1,2 ,t2-2t≤0(當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號).
( )式?在t∈[1,2 上恒成立. ( )
當(dāng)t=2時(shí),( )式顯然成立.
當(dāng)t∈[1,2)時(shí),在t∈[1,2)上恒成立.
令u(t)=-,t∈[1,2).只需m<u(t)min.
∵u(t)=-=-在區(qū)間[1,2 上單調(diào)遞增,
∴m<u(t)min=u(1)=1.
令h(t)=,t∈[1,2).只需m≥h(t)max.
而t2-1>0,t2-2t<0,且h(1)=0,
∴≤0.故m≥0.
綜上,m的取值范圍是[0,1).
