要說一元一次方程的求解問題，想必是從人類開始使用“算術”開始，就可以了。接下來的介紹的是一元二次、三次、四次方程的代數解，然而這三類方程的求解問題，卻跨越了1000多年，然而對于五次及更高次代數方程的求解，我們放棄了根式解的尋找。
一元二次方程
古希臘時期，對一元二次方程的求解問題，主要是從幾何的角度考慮。
公元300年左右，古希臘數學家丟番圖使用類似于現在的方法，求解一元二次方程
得出解：
求根公式
只是由于未引入復數，所以當b^2-4ac<0時，解無意義。學過一元二次方程的話，會比較熟悉，通過配方來推導出求根公式。
而法國數學家弗朗索瓦·韋達于1615年《論方程的識別與訂正》中闡述了一元二次方程根與系數的關系，因此該關系被稱為韋達定理。如上述一元二次方程，有兩個根x_1、x_2有如下關系：
韋達定理
由一元二次方程的求根公式，不難推導出韋達定理。而韋達定理的逆定理也是成立的。
一元三次代數方程
16世紀的意大利流行數學家之間的“挑戰”，利用自己掌握的數學技能，相互之間PK。其中三次方程的解法就引起了一場“腥風血雨”。
塔爾塔利亞
1510年左右，波倫亞大學教授費羅發現了缺少二次項的三次方程：
的解法，并在離世前傳給了學生菲奧爾。
1530年左右，塔爾塔利亞得到了缺少一次項的三次方程：
菲奧爾向其提出挑戰，但在競賽前，塔爾塔利亞攻克了缺少二次項的三次方程的解法。
與塔爾塔利亞同時代的卡爾達諾和其助手費拉里，在塔爾塔利亞三次方程解法的基礎上，得出了一般三次方程
的解法。并將其收錄到自己的數學名著《大衍術》中。也因如此引起了卡爾達諾與塔爾塔利亞的爭斗！關于爭斗的細節請閱讀：狹路相逢的同行，兩敗俱傷的冤家：三次方程的求解應歸功于誰？
接下來看一下三次方程的求根公式的推導，由于《大衍術》的重大影響，公式被稱為“卡爾達諾”公式。
假設方程形如：
因為對一般的三次方程：
兩端除以a，并令
代入，則可轉化為方程(1)的形式。
假設方程(1)的根可以寫成x=u+v的形式，這里u和v是待定參數。代入方程整理得：
如果u和v滿足：
則方程(2)成立，且由一元二次方程的韋達定理，u^3和v^3是方程
的兩個根。利用一元二次方程的求根公式，求解
不妨記
則
其中
結合uv=-p/3使用u和v配對，可得方程(1)的三個根：
其中A或B右邊的根式下的式子稱為三次方程的判別式。
一元四次代數方程
卡爾達諾的助手費拉里利用配方的方法，將四次方程的求解問題轉化為三次和二次方程的求解問題，從而得到了一元四次代數方程的求根公式。接下來介紹一下，一元四次代數方程求根公式的推導過程。
不妨設四次方程形如：
將(6)左側的后三項移到右邊，并在兩端同時加上(bx/2)^2，配方得
方程(7)兩邊加上
其中y是一個與x無關的待定量，可得
方程(8)的右端，在選取恰當的y后，可以寫成完全平方的形式。事實上，只要y能滿足下面的等式
即可。求解三次方程(9)解得y后，代入方程(8)后，兩邊開方可以得到兩個一元二次方程。解這兩個二次方程，得到原四次方程的四個根。
一元五次及更高次代數方程
自從一元四次方程的求根公式問世之后的三個世紀里，數學家們都在尋找五次或更高次的方程的求根公式上。大名鼎鼎的數學大師歐拉、拉格朗日都曾經試圖給出五次方程的求根公式，但都沒有成功！
拉格朗日找到了求得一至四次方程的求根公式的統一方法——拉格朗日預解式方法，該方法對一
般的五次方程是無效的，以至于拉格朗日認為：更高次方程的求解問題是在向人類的智慧挑戰。
拉格朗日
在大量數學家的嘗試之后，人們開始懷疑：四次以上的高次方程是否存在根式解？比如高斯在《算術研究》中寫道，某些高次代數方程不能夠用根式法求解。只是，高斯沒有給出嚴格的證明。但高斯給出了代數基本定理：一元n次多項式方程在復數域上至少有一個根。
高斯
獲得實質性進展的是年輕的挪威天才數學家阿貝爾。1824年，22歲的阿貝爾完成論文《論代數方程，證明一般五次方程的不可解性》，證明了五次以上的一般方程不存在根式解。
阿貝爾
與阿貝爾同時代的伽羅華發展了群論方法，并依此證明了一至四次代數方程可解，更高次一般代數方程不可解的證明；除此之外，還找到了方程存在根式解時，其系數所滿足的充要條件。
韋達定理：如果一元n次方程
的根分別是x_1,x_2,...,x_n，那么
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