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中考數(shù)學(xué)幾何題——輔助線三

今天接著復(fù)習(xí)第三種輔助線:平行。

方法介紹請(qǐng)看往期文章:

四大基本輔助線之一平行

本文題目選自以下地區(qū):

2019·樂(lè)山、2019·常德、2019·紹興

【中考真題】

(2019·樂(lè)山)在△ABC中,已知D是BC邊的中點(diǎn),G是△ABC的重心,過(guò)G點(diǎn)的直線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F.

(1)如圖1,當(dāng)EF∥BC時(shí),求證:BE/AE+CF/AF=1;

(2)如圖2,當(dāng)EF和BC不平行,且點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí),(1)中的結(jié)論是否成立?如果成立,請(qǐng)給出證明;如果不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】

(1)平行與比例,聯(lián)想到平行線分線段成比例定理;

(2)有了題(1)的參考,當(dāng)條件變?yōu)椴黄叫械臅r(shí)候可以考慮構(gòu)造平行線。過(guò)點(diǎn)A、或E、或F構(gòu)造平行線皆可以得到相似三角形,或直接利用平行線分線段成比例進(jìn)行等量代換即可。

(3)本題層層相扣,完全可以參考前面兩問(wèn)的解法進(jìn)行求解。

【答案】

解:(1)∵G是△ABC重心,

∴DG/AG=1/2,

又∵EF∥BC,

∴BE/AE=DG/AG=1/2,CF/AF=DG/AG=1/2,

則BE/AE+CF/AF=1/2+1/2=1;

(2)(1)中結(jié)論成立,理由如下:

如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AN∥BC交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,F(xiàn)E、CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,

則△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,

BE/AE=BM/AN,CF/AF=CM/AN,

∴BE/AE+CF/AF=BM/AN+CM/AN=(BM+CM)/AN,

又∵BM+CM=BM+CD+DM,

而D是BC的中點(diǎn),即BD=CD,

∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,

∴BE/AE+CF/AF=2DM/AN,

又∵DM/AN=DG/AG=1/2,

∴BE/AE+CF/AF=2×1/2=1,

故結(jié)論成立;

(3)(1)中結(jié)論不成立,理由如下:

當(dāng)F點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí),E為AB中點(diǎn),BE=AE,

點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí),BE>AE,

∴BE/AE>1,則BE/AE+CF/AF>1,

同理:當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí),BE/AE+CF/AF>1,

∴結(jié)論不成立.

【總結(jié)】

很多題目,特別是幾何題,都是環(huán)環(huán)相扣、層層鋪墊,解題的時(shí)候需要關(guān)注前后問(wèn)題之間的關(guān)系,注意聯(lián)系與區(qū)別。參考前面小問(wèn)的思路進(jìn)行解答。

【舉一反三】

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