這里要介紹的是代數法求幾何最值問題。
很多時候并一定可以直接用幾何變換等思路進行求解。
適當時候，我們需要考慮利用代數的思想解決問題。
異曲同工。
【題1】
（2019·白銀）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．
（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？
【分析】
本題為線段最大值的問題。
做過面積最大值問題的同學，對本題應該會有印象。求PN的最大值，也就是求△PBC的面積最大值。
所以很多時候并不需要去記憶什么鉛錘高的公式，反而需要知道如何求距離，如兩點間的距離、點到直線的距離。
本期的解法就是，先表示出鉛錘高PQ，利用三角函數得出PN的表達式即可。
【答案】
設點P（m，-1/3m2+1/3m+4），則點Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
PN＝PQsin∠PQN
=√2/2（-1/3m2+1/3m+4+m﹣4）
=-√2/6（m﹣2）2+(2√2)/3，
∵-√2/6＜0，∴PN有最大值，
當m＝2時，PN的最大值為：(2√2)/3．
【題2】
（2019·黃石）如圖，已知拋物線y=1/3x2+bx+c經過點A（﹣1，0）、B（5，0）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點M的坐標；
（3）定點D（0，m）在y軸上，若將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，點P在新的拋物線上運動，求定點D與動點P之間距離的最小值d（用含m的代數式表示）
【答案】
解：（1）函數的表達式為：
y=1/3（x+1）（x﹣5）
=1/3（x2﹣4x﹣5）
=1/3x2-4/3x-5/3，
點M坐標為（2，﹣3）；
（3）y=1/3（x+1）（x﹣5）=1/3（x2﹣4x﹣5）=1/3（x﹣2）2﹣3，
拋物線的圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到一條新的拋物線，
則新拋物線表達式為：y=1/3x2，
則定點D與動點P之間距離
PD=√(x2+(m-1/3 x2 )2 )
=√(1/9 x^4+(1-2/3 m)x2+m2 )，
當-(1-2/3 m)/(2/9)＞0，
即m＞3/2時，
PD的最小值d=√(12m-9)/2；
當-(1-2/3 m)/(2/9)≤0，即m≤3/2時，
PD的最小值d＝|m|
∴d=|m|，當m≤3/2時；d=√(12m-9)/2，當m＞3/2時．
【題3】
（2019·威海）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B在反比例函數y=k/x（k≠0）的圖象上運動，且始終保持線段AB＝4√2的長度不變．M為線段AB的中點，連接OM．則線段OM長度的最小值是 （用含k的代數式表示）．
【答案】解：如圖，因為反比例函數關于直線y＝x對稱，觀察圖象可知：當線段AB與直線y＝x垂直時，垂足為M，此時AM＝BM，OM的值最小，
∵M為線段AB的中點，
∴OA＝OB，
∵點A，B在反比例函數y=k/x（k≠0）的圖象上，
∴點A與點B關于直線y＝x對稱，
∵AB＝4√2，
∴可以假設A（m，k/m），則B（m+4，k/m-4），
∴（m+4）（k/m-4）＝k，
整理得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM=√(2(m+2)2 )=√(2(m2^2+4m)+8)=√(2k+8)，
∴OM的最小值為√(2k+8)．
故答案為√(2k+8)．
