【摘
【關鍵詞】自我監控；數學學習
１ . 問題的提出
數學是學生在校期間學習的一門基礎學科，擔負著提高學生數學素養的重任。學生如何高效地學習數學？教師如何高效地教好數學以使學生取得良好的學業成績？如何迅速提高學生的數學思維能力？“授人以魚，不如授人以漁”，如何使學生學會學習？很多學生在解數學題時沒有計劃性，沒有一條明晰的思路，對已知條件缺乏分析意識，當思維受阻時表現出不知所措，對解題結果的正確與否缺乏檢驗、反思和評價的意識和能力，不會對自己的解題過程進行積極的調節和監控，因而很難從根本上提高學生解題能力和解題質量。懂奇的研究[1]表明元認知的發展水平直接制約著學生的智力、思維能力的發展，元認知訓練是改善學生認知能力結構的關鍵。因此，元認知訓練、數學學科自我監控能力的培養訓練是培養學生數學思維能力的關鍵。如果學生具有較高的自我監控水平，學生就能有效地對自己的學習活動進行監控、調節，能夠提高學習的效率。“問題是數學的心臟”。[2]在數學教育活動中，解題是最基本的活動形式，無論是數學知識的掌握、數學思想方法和數學技能技巧的獲得，還是學生智力的發展、能力的培養都離不開數學解題。當代著名的數學教育家波利亞（G.polya）也強調指出“掌握數學意味著什么呢？這就是善于解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題”。由于數學對象的抽象性，數學推理的嚴謹性和數學語言的特殊性，它更需要學生對其過程進行自我監控，所以在數學解題教學中培養學生的解題自我監控能力是提高學生數學解題能力和解題質量的關鍵所在。同時，通過對學生的解題自我監控能力的培養，不僅能夠使學生對數學解題進行自我監控，而且通過自我監控技能的遷移性能提高學生整個數學學習活動的自我監控能力，從而調動學生數學學習的主動性、自覺性和自主性，充分發揮其主體作用，提高學習效率，培養數學學習能力，使學生樂學、會學、優學。
所謂學習的自我監控是指學生為了保證學習的成功，提高學習的效果，達到學習的目標，運用各種方法和策略對所從事的學習活動的各個方面進行自我調節和控制的過程。
3．自我監控在數學學習中的作用
數學自我監控在數學學習和問題解決中起著重要的作用。自我監控在數學學習過程中的作用主要表現在以下幾個方面：
（1）
數學解題具有明確的目標指向性。目標是解題者主觀經驗的覺知，它既是解題的出發點，也是解題的歸宿，它影響和制約著解題的進程。因為解題者在自擬目標的影響下，將自己正在進行的認知活動作為意識的對象，不斷發揮主動性和自覺性對解題的進程進行積極的、自覺的監視。一旦進程與目標不符，而又相信自己的進程時，則懷疑目標，將對目標修改或放棄，以確定新的目標。在已有知識和經驗的基礎上，解題者要監控其解題計劃，制定可行的目標結構，致使解題得以順利進行。自我監控對目標所起的作用是通過定向、調節和控制功能表現出來的。
（2）
數學解題具有明顯的策略性，策略是在思維模式的作用下反映出來的，它影響著數學解題的進程和質量。解題者在解題過程中通過三種方式來操作策略。①激活策略，即以目標的期望為出發點，將材料系統放入知識背景，在操作系統的作用下激活認知結構，選擇解題策略；②制定策略，即根據材料系統在認知結構中的相似性，尋求數學認知結構中的“相似塊”，制定解題策略；③改組策略，即通過解題進程的反饋，解題者要進行自我評價，對進程的評價實際上就是對解題策略的評價，一旦地自己的目標確性無疑而又達不到或不能順利達到目標時，則將懷疑其策略，有必要對其策略進行改組。解題者在操作解題策略時，實際上均受自我監控的控制和調節，即通過自我監控檢驗回顧解題方法，調控解題策略，最終逼近目標狀態。調控策略的指標是通過策略的可行性、簡潔性、有效性反應出來的。
（3）
解題者能否自我激活是關系到解題系統能否優化的先決條件。由于數學問題大都是具有一定的障礙性，這就要求解題者必須發揮主體作用，排除障礙，激活解題的欲望。而自我監控在解題中自始自終存在著內反饋的調節，不斷地監控和調節自己解題活動的思維過程，主動審清題意，揭示問題矛盾之所在，主動搜索解題策略，并且自覺調動非智力因素的參與，積極超越障礙。使解題思維活動成為一種有目的性的、可控性的組織活動，這在很大程度上強化了解題者的意識，使問題得以最快、最好地解決。
4．培養高中生數學學習中自我監控能力的實施策略
（1）
知識是學生進行解題自我監控的基礎，如果不掌握必要的知識，學生的自我監控能力的形成和提高是不可能實現的。這里所說的知識，不僅包括數學的概念、公式、公里等具體的數學知識，也包括數學的思想方法和數學的認知結構。
認知結構是從知識結構轉化而來的，是數學活動中通過新舊知識的相互作用，通過對已有認知結構的組織和再組織才能實現。在數學教學過程中，常常會碰到這種情況，學生聽得懂教師所講的內容，也掌握可解決問題的相應方法，但到了具體的應用，只覺得似曾相似，卻仍不得其解，經提示后又恍然大悟，這些說明了學生頭腦中的知識混亂、結構性不強，抓不住新舊知識的結合點，認知結構處于無系統狀態，阻礙了學生解題自我監控能力的發揮。怎么樣才能加強學生知識系統化，使學生形成良好的數學認知結構呢？
① 培養學生系統整理知識的能力
數學內容知識點很多，概念、定理、公式、性質有的很相似，不僅難記，而且容易混淆，這就需要將數學知識串點成線、串線成網，織成網，織成知識的網絡，使數學內容變得簡約而集中、完整而系統，既便于比較，也便于記憶、理解和溝通，同時，又能使學生在整體上把握知識。在教學時，既要注意知識的整體性，按照數學知識的發生、發展過程，引導學生展開積極主動的認知活動，又要突出重點，每一單元后還要引導學生歸納、整理理順知識間的內在聯系，并重組知識間的內在聯系，使之系統化。同時，在教學中，好要運用“同化”，“順應”兩個機制，將新的知識同化或順應到舊的知識體系中去，幫助學生發展和完善數學認知結構。如在學習誘導公式時，引導學生分析公式的特點，用口訣“奇變偶不變，符號看象限”，將誘導公式聯系起來。
②重視數學思想方法的教學
數學認知結構是主體對數學知識結構的主觀反映，由于數學思想方法的存在，才使得數學知識不再是刻板的套路或個別的一招一式，數學思想方法在數學認知結構中起著重要的固定作用。在數學過程中，由于學生能力及心理發展的限制，學生在學習數學時不能觸類旁通、融會貫通，碰到沒有見過的題目就會不知所措。布魯納指出：掌握基本的數學思想方法是通向遷移的“光明之路”。因此，在教學過程中要重視數學思想方法的教學，通過反復的滲透，引導學生領會蘊藏在其中的數學思想方法，使學生在潛移默化中達到理解和掌握。
（2）
數學學習動機、自我效能與數學解題活動中的自我監控能力顯著相關，也必將極大地影響著數學學習成績的好壞。因此，在數學教學中應當加強對數學學習動機和自我效能感等非智力因素的培養。由于非智力因素的形成與知識的掌握是兩種不同的方式和過程。因此難以進行專門、專題、專時的培養。需要長期的熏陶、暗示、頓悟和主觀上由意識的磨練，才能沉淀到某一水平。在教學過程中首先詳細了解學生的學習動機，以便采取一定的措施激發與培養學生正確的數學學習動機，消除厭學現象，充分調動學生學習數學的興趣，使學生在解決數學問題的過程中始終伴隨著良好的情緒體驗；引導學生對解決數學問題的過程進行積極的監控，使學生充分體會到成功的喜悅，從而增強學生解決數學問題的自我效能感，使學生建立起正確的內部歸因。這可以從下面兩方面著手。
①
(3)．充分展示數學解題思維過程，讓學生在體驗思維活動過程中發展解題自我監控能力
在解題教學過程中，教師要充分展示自己的解題的整個思維過程，讓學生“看到”老師在解題時如何理解題意？怎樣制定和事實解題計劃？怎樣選擇方法或策略？當思路受阻時是如何調節和修正，解題后又是如何及時地進行總結和反思等。教師展現解題思維過程的教學方法，不僅僅是向學生展現思維的認知過程，更重要的是向學生展示解題過程中思維不斷進行控制和調節的自我監控過程。這為學生的解題自我監控提供了很好的榜樣示范作用，從而能促進學生解題自我監控能力的培養。具體在解題教學過程中該如何展現思維過程呢？
①
例1
（Ⅰ）方程 有實根；
（Ⅱ）
（Ⅲ）設 是方程 的兩個實根，則 。
思考：本題主要考查二次函數的基本性質、不等式的基本性質與解法，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力。對第一問，一般學生都想到用一元二次方程的判別式來解決，而用判別式那是必須要驗證a的條件，于是我們可針對a≠ 0與a=0作出討論，結合條件 便可證的第一問；第二問，由易證；第三問，利用第二步的結論，很容易得出利用一元二次方程的韋達定理即可。
在教學中，把思路形成的過程暴露出來，可以使學生隨時將自己的思維與教師的思維進行比較，找出自己思維的優點和不足，在比較中逐漸認識自己的思維特點，從而提高對自身自我監控能力的認識。
②
例2 已知點P，Q是橢圓 和圓 的動點，求 的最小值。
思考：通過觀察題目的條件知，可設P點的坐標為 ，Q點的坐標為 ，其中 ，利用兩點間的距離公式便可得到 關于 的關系式 ，從而去求的最小值。但是，仔細觀察和分析發現：將（1），2）代入 的表達式消去 非常困難，而且，即使能把 消去了，式子中仍含有兩個變量，最小值仍很難求出，所以這種解決問題的方法不行，對解題思路加以調整。再次思考題中所給的信息，P是圓上的點，而圓有其特殊性質，可以把求的最值問題轉化為求 的最值問題（C是已知圓的圓心）。這樣問題可以進行分步解決，先求點P與圓心（-1，0）的距離的最小值， ，可求得，然后再求得P、Q兩點間的最小值 。
把教師解題過程中的嘗試的探索過程展現出來，包括把失敗過程以及從失敗到成功的轉化過程展現出來，使學生看到教師是如何轉變思維的方向和策略，諸如從特殊到一般、從具體到抽象、從正向到反向、從靜到動等等。這在解題的自我監控能力培養方面無疑提供給學生一種很好的體驗和啟發。
③
例3 已知函數 在區間 上的最大值為3，求實數a的值。
思考：在時函數為一元二次函數，對于一元二次函數的幾種情況我們是熟悉的。本題的關鍵是要確定 在 上的哪點上取得最大值。題目涉及了的單調性，而當a>0時與a<0時，函數圖象開口方向不同，對稱軸又與a有關，所以，單調區間必與a有關。所以，本題可結合圖象利用分類討論方法，在討論開口方向的同時討論對稱軸與區間的關系，然后根據各種情況進行求解。但仔細一思考，這種方法雖然肯定是可行的，可分析起來步驟比較煩瑣，那么能不能對上述情況進行歸納呢？通過對題目進行定性分析，可發現二次函數在閉區間上有最大值、最小值，而且最值不是在頂點取得就是在區間兩端點取得，所以可用代入驗證法從而獲得比較簡單的解法。
在解題過程中要注意遵循思維規律，重視數學思想方法的傳授，是揭示選擇與優化解題過程的重要途徑。例如反面設問、滲透反證法的思想；重視圖形，滲透數形結合思想；縱橫溝通，滲透化歸思想等等。理解、領會、熟悉這些數學思想方法，有利于學生對解題方法的選取和對解題過程的優化。
④
展現解題過程中的偏差糾正過程，讓學生看到教師在解題過程中也會有失敗的經歷,但更重要的是讓學生看到教師是如何及時糾正自己的錯誤,如何及時尋找錯誤的原因以及總結失敗的教訓。這將有利于學生解題自我監控能力的提高.
(4)．注重數學解題策略的教學，促進學生解題掌握監控的技巧和技能的提高
解題策略是培養學生解題掌握監控能力的基礎，在教學中應該注重解題策略的教學，以促進學生解題自我監控能力的提高。
數學解題有一般性的解題策略和特殊的解題策略。一般性的解題策略是適合所有的解題活動，如：準確理解題意，不要匆忙答題，必要時可畫出示意圖幫助理解;必須善于進行雙向推理；解題之后要善于總結自己的思路，反思自己的解題過程，探索出最佳解題方案，提高解題效率等。特殊的解題策略適合具體的數學問題解決，在中學數學中常用的有這樣幾種：枚舉法、模式識別、問題轉化、以退求進、特殊到一般、從整體看問題、正難則反等。對于各種策略，在教學中，應該向學生點名它的意義、價值、操作方式、使用條件等。例如，對枚舉法既可以防止解題者在問題涉及的幾種可能的假設之間猶豫徘徊，又可避免解題時顧此失彼，以偏概全，使解答嚴密而完備。枚舉法的運用程序是：⑴根據問題列舉一切可能的答案或中間過程；⑵對各種可能逐一檢驗；⑶確認可能的真假，從而去假存真，得出問題的答案。運用條件是：面臨的問題存在著若干個答案，但我們暫時又較難直接確定哪些答案能夠滿足題設條件，且問題設計的可能的情形或假設的個數又不多。枚舉法既用于解題的整體過程，又更多地用于解題的局部過程。如完全歸納法、分域討論法等都是這種策略思想的體現。講明策略的意義和價值能提高學生學習和使用策略的熱情；講解策略的使用條件可以縮小搜索策略的范圍，提高檢索策略的速度。
在進行解題策略的教學時，還應注意：⑴要循序漸進，先易后難，逐步積累；先教學基礎的，應用范圍較廣的，后教學特殊的，應用范圍較窄的。⑵要針對各種解題策略選擇較多的恰當事例說明其應用的廣范性，使學生對所學的解題策略形成概括化的認識。⑶策略的訓練不宜密集進行，不能在短時間內將過多的策略傳授給學生，要給學生足夠的消化理解的時間。
培養學生在數學解題活動中的自我監控能力，根本目的是為了通過自我監控技能的遷移性能提高整個數學學習活動的自我監控能力，培養數學學習能力，從而促進學生“學會學習”，這是教學成功的最高境界。
參考文獻
[1]懂奇.元認知與思維品質關系性質的相關、實驗研究[J].北京師范大學學報,1990(5)
[2]趙振威.數學發現導論[M].合肥:安徽教育出版社,1993.
[3]毛洪翔等.數學學習心理學.廣西師范大學出版社,1992
[4]鄭毓信.數學教育哲學.四川教育出版社,2004.
[5]許麗萍.解題教學中自我監控能力的培養[J].中學數學教學參考,1999,11.
