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引言
傳統的汽車通常是全鋼車身，所用鋼材延展性較好，碰撞后車體結構主要發生潰縮和彎折變形，只有極少量結構件可能斷裂失效。所以在進行碰撞仿真時只要求材料卡片能夠準確描述材料彈塑性行為，一般無需對材料失效進行數值模擬，少量部件失效的影響可以基于工程經驗進行估計。
近年來，輕量化材料，如鎂鋁合金、高強熱成型鋼和非金屬復合材料在汽車行業得到了廣泛的應用，這些材料的延展性遠低于普通鋼材，在車輛發生碰撞時極有可能發生斷裂，如圖1。所以有必要考慮其失效行為并在仿真分析中應用合適的材料失效模型。
圖1 鋁合金車體碰撞時失效開裂
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應力三軸度與失效應變
在碰撞仿真中，我們可以基于單向拉伸試驗的失效塑性應變來判斷材料是否失效，這就是所謂的常應變失效準則。常應變失效準則按照所采用應變指標的不同，又可細分為多種，其中最常見的有最大主應變準則和等效塑性應變準則，分別如公式(1)和公式(2)所示。
其中εmax為單拉工況的失效應變，εpmax為單拉工況的失效塑性應變，對于大多數材料，發生失效時塑性應變遠大于彈性應變，所以我們可以認為失效應變和失效塑性應變近似相等。εp1、εp2和εp3是三個塑性主應變。εp是等效塑性應變，也叫Von Mises塑性應變，其表達式與Von Mises應力類似，但前面多了一個系數2/3。
此處需要強調一點，通常認為塑性應變不會導致體積變化（即塑性應變的泊松比為0.5），所以三個塑性主應變之和恒定為0，
常應變失效準則最簡單最易實現，但它的表達形式中沒有考慮到材料失效中的諸多因素，因而計算結果誤差較大。
對現有金屬材料的研究發現，應力狀態對于失效等效應變數值起著決定性作用，材料所受應力狀態不同時，材料內產生的塑性變形與應力集中程度將不同，材料失效應變數值也將發生變化。
在大多數的失效準則中，結構一點處的應力狀態通常采用應力三軸度η來表示，其表達式為
從應力三軸度的定義式可以看出，應力三軸度為靜水應力與Von Mises應力的比值。靜水應力導致體積變化，Von Mises應力反映了形狀改變。應力三軸度作為描述應力狀態的參數，同時反映了體積變化和形狀改變。
需要注意的是，有些文獻中定義應力三軸度時，在公式(6)表達式前加了一個負號，材料受拉時應力三軸度為負，受壓時為正，與通常的定義方式恰好相反。
圖2展示了幾種典型加載工況下的應力三軸度數值，都是比例加載情況，應力三軸度在整個加載過程中保持恒定。
圖2 不同加載工況下的應力三軸度
將材料試件設計為不同的缺口形式，進行單雙軸拉伸以及剪切等形式的加載，以對應不同的應力三軸度，通過對其失效應變進行測量，就可以建立起應力三軸度和材料失效時的等效塑性應變之間的對應關系，如圖3所示。從圖中可見，應力三軸度和等效塑性應變之間并不是簡單的單調函數關系，而是一條形狀比較復雜的曲線。
圖3 試驗測定應力三軸度和失效等效塑性應變關系曲線
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為什么需要復雜的失效模型？
得到應力三軸度η與失效等效塑性應變εf的關系曲線后，似乎在碰撞仿真中就很容易判斷材料是否失效了。我們發現某個單元的等效塑性應變數值達到了當前應力三軸度所對應的失效塑性應變，就認為該單元失效，在下一時間步將該單元刪除即可。這樣看來我們并不需要再去研究復雜的失效模型，只要用常應變失效準則同時考慮應力三軸度η即可。
可惜的是，上述方案只適用于比例加載（η為恒定值）的情況，對于非比例加載工況并不適用。對于非比例加載情況，失效等效塑性應變不僅取決于加載結束時的η值，加載過程中的η值也有影響。
圖4展示了某種材料的η-εf曲線和4條加載路徑。兩條灰色加載路徑的應力三軸度η是恒定的，所以失效時的（η，εf）必然位于曲線上，我們根據η值就可以確定加載到何時會發生斷裂失效。而紅色和綠色路徑是非比例加載，應力三軸度η在加載過程中不斷變化，導致這兩條加載路徑的失效點不在η-εf曲線上，我們無法直接判斷出加載到何時發生失效。
圖4 比例加載和非比例加載示例
為了應對非比例加載情況，我們需要一種合適的失效模型，能夠考慮整個加載過程中材料的損傷演化，進而判斷出失效點。
LS-Dyna軟件中可以采用GISSMO模型、MMC模型和Johnson-Cook模型等多種材料失效模型，它們都引入了應力三軸度作為應力狀態參數，都考慮加載過程中的損傷累積效應。其中GISSMO模型的卡片輸入比較簡潔，所需參數便于試驗測定，計算結果也比較符合實際，因此獲得了廣泛的工程應用。
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GISSMO模型對損傷的累積計算
金屬材料的韌性斷裂是指金屬材料經過塑性變形后發生的宏觀斷裂。一般金屬材料都是由多種成分組成，包括第二相粒子及夾雜物。金屬材料受力后，隨著宏觀變形的發展，金屬材料中局部產生微孔洞。而第二相粒子和夾雜物也會在材料中成核。微孔洞成核之后在變形過程中不斷的生長，與周圍的孔洞相互聚合最終形成宏觀的裂紋。
既然金屬韌性斷裂的微觀機理表現為微孔洞的成核、長大和聚合等演變過程，我們就可以利用內部損傷變量來表征細觀結構缺陷引起的材料性能劣化的程度，以損傷變量的演化函數來描述材料從變形到破壞的整個過程。
GISSMO模型以及其他考慮損傷積累的模型，都是定義了一個損傷變量D∈{0,1}，在加載過程中，材料的等效塑性應變εp逐步增加，材料的損傷D也在不斷累積，當損傷值D=1時，材料發生失效。
GISSMO模型定義了損傷值變化率和塑性應變率之間的關聯，
其中εf為斷裂等效塑性應變，是當前的應力三軸度η的函數，其數值根據試驗εf -η曲線確定；n為材料的損傷累積指數。
在有限元顯式分析中，實際使用的是公式(7)的增量形式，
每一個時間步計算一次損傷增量ΔD，當某個時間步的損傷值D≥1 ，即認為材料發生失效。
對于比例加載情況，應力三軸度η在加載過程中保持不變，所以εf也保持為常量。這樣公式(1)可以積分為更簡潔的形式，
顯然，對于比例加載情況，當εp=εf時D=1，此時材料發生失效。
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GISSMO模型對材料本構曲線的修正
上節提到金屬韌性斷裂的過程實質是微孔洞的成核、長大和聚合的過程，這種損傷累積會對材料的本構關系產生影響。如圖5所示，材料的截面積為S，材料中的微孔洞導致材料的有效承載面積?<S，設有效承載面積?上的應力為σ，則分攤在總面積材料的宏觀應力σ*必然小于σ。
圖5 微孔洞導致材料有效承載面積縮減
韌性金屬的本構曲線通常如圖6，首先是線彈性段；然后材料發生塑形變形并進入強化；達到應力最高點σM后，因為損傷導致微觀有效承載面積減少，宏觀應力開始下降；隨著損傷的累積，材料性能的退化越來越明顯，微觀有效承載面積越來越小，最終發生斷裂失效。
圖6 韌性金屬的本構曲線
GISSMO模型不僅能計算損傷的累計，而且能考慮損傷對應力應變曲線的影響，構建出應力下降段，將圖7中的A-B-C單調遞增曲線修正為A-B-D的形式，其應力修正公式如下。
圖7 GISSMO模型對材料本構曲線的修正
其中，Dcrit為本構曲線開始下降點（修正起始點）的損傷值，在損傷值D達到Dcrit之前不進行應力修正，當損傷D≥Dcrit時才進行應力修正。參數m為應力退化指數，m選不同的值，可以構建出不同形狀的下降段，如圖8。
圖8 應力退化指數取不同值時的本構曲線
通過調整Dcrit和m兩個參數，即可得到跟試驗結果接近的下降段。
根據公式(10)可知，當損傷值D達到1時，修正后的宏觀應力σ*為0，表征著此時材料完全喪失承載能力。
如果我們將Dcrit設置為大于等于1.0的數值，則GISSMO模型修正出的本構曲線如圖7中的A-B-C-E，本構曲線沒有下降段，加載到等效塑性應變達到εf時，即D=1時，材料直接失效。對于一些沒有明顯下降段的材料，例如鑄鋁和鑄鐵，可以考慮采用此種設置方法。
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LS-Dyna中的卡片設置
LS-Dyna采用*MAT_ADD_EROSION來設置GISSMO失效模型 ，如圖9所示。
圖9 Gissmo卡片設置示例
幾個關鍵字段設置方法如下：
IDAMG：應設置為1以激活Gissmo模型
DMGTYP：應設置為1，計算累計損傷值D，當D≥Dcrit時修正本構曲線，當D=1時材料失效。如果設置為0，僅計算累計損傷值，不修正本構曲線，材料不失效。
LCSDG：材料η-εf曲線的ID號。
ECRIT：本構曲線上應力開始下降位置的等效塑性應變。
DMGEXP：材料的損傷累積指數，即公式(7)、(8)和(9)中的n。
DCRIT：本構曲線上應力開始下降位置的所對應的損傷值，即公式(10)中的Dcrit。
FADEXP：應力退化指數，即公式（10）中的m。
LCREGD：單元尺寸歸一化曲線的ID號。
需要注意的是，ECRIT和DCRIT都是用于定義本構曲線修正的起始點，但ECRIT的優先級高于DCRIT。如果ECRIT設置為大于0的數字，則DCRIT的設置被忽略，當等效塑性應變εp達到ECRIT值時，軟件按公式(10)開始修正本構曲線，公式(10)中的Dcrit即為此時的損傷值。只有ECRIT設置為0時，程序才會按DCRIT設置值來修正本構曲線。
碰撞仿真所用的網格尺寸對結果有重要影響。通過不同網格尺寸試樣與實際試驗曲線的對比可以看出，在相同輸入條件下，隨著網格尺寸的增大，仿真試樣的失效應變與試驗值偏差逐漸增大，如圖10。LCREGD字段引用的曲線定義了網格尺寸歸一化因子和失效塑性應變之間的關聯，能夠修正網格尺寸所帶來的偏差。
圖10 網格尺寸對失效應變的影響
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