2018-09-30 20:02:23 責任編輯： 來源：前瞻網 作者：Connor Feng
相對論說我們生活在四維空間中。弦理論認為是十維空間。究竟什么是“維度”?它們又是如何影響現實?
我在書桌前寫作，伸手去打開一盞燈，然后打開一個抽屜拿出一支鋼筆。我向前伸出胳膊，用手指撫摸著妹妹送給我的一個小而奇怪的小雕像，這是我的幸運符，當我向后伸出胳膊的時候，我可以拍拍那只依偎在我背上的黑貓。右邊是我文章的研究筆記，左邊是我的“必做”項目(賬單和信件)。上、下、前、后、右、左：我把自己置身于一個三維空間的個人宇宙中，這個世界的軸線被我辦公室的直線結構無形地壓在了我身上，像大多數西方建筑一樣，這些直角結構由三個相連的直角所定義。
我們的建筑、教育和字典告訴我們空間是三維的。《牛津英語詞典》將其定義為“一個連續或者寬闊的區域，它是自由的、可用的或閑置的……維度具有高度、深度和寬度，所有的東西都在這些維度中存在和移動。”在18世紀，伊曼努爾·康德(Immanuel Kant)提出，三維歐幾里德空間具有一種先天的必要性，正如現在計算機生成圖像和電子游戲滲透著我們的生活一樣，我們也不斷地被看似公理化的笛卡爾網格的表現所影響。從21世紀的角度來看，這幾乎是不言自明的。
然而，我們居住在一個擁有數學結構的空間里這個概念是西方文化的一個非常激進的創新，這需要推翻人們長期以來關于現實本質的信念。盡管現代科學的誕生常被認為是向機械論自然描述的轉變，但可以說，更重要的、也更持久的，是它在我們把空間看作幾何結構的概念上所帶來的轉變。
在過去的一個世紀里，描述空間幾何結構的探索已經成為理論物理學的一個主要項目，從阿爾伯特·愛因斯坦開始，專家們試圖解釋所有自然的基本力量都是空間形狀本身的副產品。在局部層面上，我們被教育認為空間是三維的，而廣義相對論描繪了一個四維的宇宙，弦理論則說空間有十個維度，如果你用一個被稱為M理論的弦理論擴展版本的話，那空間就有十一個維度。在二十六維空間理論中有一些變體，而最近純理論數學家們則被一個描述二十四維空間的理論版本所震撼。但是這些“維度”是什么呢?談論十維空間又是什么意思呢?
為了讓對空間的思考進入現代數學模式，人們首先必須把空間想象成可以被某種物質所占據的競技場。至少，“空間”應該被看作是一種延伸的東西。盡管現在我們看來這似乎是顯而易見的，但這種想法對亞里士多德來說幾乎是一種詛咒，他關于物理世界的概念在古代晚期和中世紀主導著西方的思想。
嚴格地說，亞里士多德物理學不包括空間理論，只包括地點的概念。想象一個杯子立在桌子上。對亞里士多德來說，杯子是由空氣包圍的，空氣本身就是物質。在他的世界中，沒有空的空間，只有一種物質(杯子)和另一種物質(空氣，或者桌子)之間的界限。對亞里斯多德來說，“空間”(如果你想這么稱呼它的話)只不過是杯子和它周圍事物之間極其微小的邊界而已，沒有擴展的概念，空間就不是其他任何東西都可以存在的地方了。
早在亞里士多德(Aristotle)幾個世紀之前，Leucippus和德謨克利特(Democritus)就已經提出了一種現實理論，這種理論援引了一種內在的空間化的視角——一種“原子論”的視角，即物質世界是由微小的粒子(或原子)在空虛中運動構成的。但亞里士多德反對原子論，聲稱空虛的概念在邏輯上是不連貫的。他說，根據定義，“什么都沒有”是不可能存在的。要克服亞里斯多德對空虛的反對，進而克服對擴展空間概念的反對，是一個將需要幾個世紀才能完成的宏大工程。直到伽利略和笛卡兒在17世紀早期將擴展空間作為現代物理學的基石之一，這種創新的觀點才得以形成。正如美國哲學家埃德溫·伯特(Edwin Burtt)在1924年所言，對于這兩位思想家來說，“物理空間被認為與幾何領域完全相同”——也就是說，我們現在在學校里教授的三維歐幾里德幾何。
在物理學家接受歐幾里德的觀點之前，畫家們就已經開創了空間的幾何概念，我們在概念框架上的巨大飛躍得要歸功于他們。在中世紀后期，在亞里士多德的主要競爭對手，柏拉圖和畢達哥拉斯他們逐漸擴大的影響下，一種觀點開始在歐洲傳播開來：認為上帝根據歐幾里德幾何學的法則創造了世界。因此，如果藝術家想要真實地描繪這個世界，他們應該在他們的表征策略中模仿創作者。從14世紀到16世紀，諸如喬托(Giotto)、保羅·烏切羅(Paolo Uccello)和皮耶羅·德拉·弗朗西斯卡(Piero della Francesca)等藝術家發展出了后來被稱為透視畫法的技巧——一種最初被稱為“幾何形狀”的風格。通過有意識地探索幾何原理，這些畫家逐漸學會了如何構建在三維空間中的物體的圖像。在此過程中，他們對歐洲人的思維造成了很大的改變，使他們以歐幾里得幾何方式看待空間。
歷史學家塞繆爾·埃德頓(Samuel Edgerton)在他的著作《The Heritage of Giotto's Geometry》)中講述了這個向現代科學的非凡過渡，并且指出推翻亞里士多德對空間的思考在一定程度上時間有多長和多緩慢，這個推翻是人們站在透視繪畫面前感到發自內心的感覺的副產品，仿佛他們正在窺探在墻另一邊的三維世界。這里的非凡之處在于，當哲學家和早期科學家小心翼翼地挑戰亞里士多德關于空間的格言時，藝術家們通過訴諸感官，在這一知識領域開辟了一條激進的道路。不夸張地說，透視表征是虛擬現實的一種形式，就像今天的VR游戲一樣，它的目的是給觀眾一種錯覺，讓他們覺得自己被帶入了一個在幾何上連續的、心理上令人信服的其他世界。
虛幻歐幾里得空間的透視表征逐漸烙印在歐洲人的意識中，同時也被笛卡爾和伽利略接納為現實世界的空間。值得補充的是，伽利略本人也接受過透視訓練。在他開創性的月球繪圖中，他表現深度的能力是一個關鍵特征，這幅畫描繪了山脈和山谷，暗示了月球和地球一樣是堅固的物質。
通過透視成像的空間，伽利略可以展示像炮彈這樣的物體是如何根據數學規律運動的。空間本身是一種抽象——一種無特征的、無生氣的、不可觸摸的、不可感知的虛無，它唯一的可知屬性是它的歐幾里德形式。17世紀末，艾薩克·牛頓(Isaac Newton)擴展了伽利略式的視野，將整個宇宙都囊括其中，如今，宇宙變成了一個潛在無限三維真空——一個巨大的、沒有質量的、向四面八方不停延伸的真空。“真實”的結構就這樣從一個哲學和神學的問題變成了一個幾何命題。
而在“科學革命”的初期，畫家們利用數學工具開發出了新的繪圖方法，笛卡爾則發現了一種方法，可以將數學關系的圖像呈現在它們自己身上。在這個過程中，他將維度的概念正式化，并將其注入我們的意識里，這不僅是一種看待世界的新方式，也是一種進行科學研究的新工具。
今天，幾乎每個人都能從笛卡爾平面的圖像中看到笛卡爾天才的成果——一個用x軸和y軸標出的矩形網格，以及一個坐標系。
根據定義，笛卡爾平面是一個二維空間，因為我們需要兩個坐標來確定其中的任何點。笛卡爾發現，有了這個框架，他可以把幾何形狀和方程聯系起來。因此，半徑為1的圓可以用方程x2 + y2 =1來描述。
我們在這個平面上可以繪制的大量圖形都可以用方程來描述，這種“解析”或“笛卡爾”幾何很快就成為了牛頓和萊布尼茨, G·W開發的微積分的基礎，微積分使物理學家能進一步分析運動。理解微積分的一種方法是研究曲線;例如，它使我們能夠正式定義曲線最陡的地方，或者到達局部最大值或最小值的地方。而當應用到運動的研究中時，微積分給了我們一種分析和預測的方法，例如，一個物體被拋到空中時會達到一個最大高度的地方是哪里，或者一個球沿著一個彎曲的斜坡滾下時會在什么時候達到一個特定的速度。自從微積分發明以來，它已經成為了幾乎所有科學分支的重要工具。
考慮到前面的圖表，我們很容易看出如何添加第三個軸。因此，通過x、y和z軸，我們可以描述球體的表面——就像一個海灘球的表面一樣。這里的方程(對于半徑為1的球體)是：x2 + y2 + z2 = 1
用三條軸，我們可以描述三維空間中的形式。同樣，每一個點都是由三個坐標唯一確定的：正是“三”這個必要條件使空間成為三維的。
但為什么要止步于此呢?如果我加上第四個維度呢?我們姑且叫它p。現在我可以寫出一個方程來表示四維空間中的球面x2 + y2 + z2 + p2 = 1。我不能給你們畫出這個物體，但是從數學上來說，再加上另一個維度是合理的。“合理”的意思是這么做在邏輯上并沒有什么不一致——我沒有理由不能這么做。
我可以繼續這樣下去，增加更多的維度。我在五維空間中用五條坐標軸(x， y， z， p， q)定義了一個球面，給出了方程x2 + y2 + z2+ p2 + q2 = 1。六維中的球面則是：x2 + y2 + z2 + p2 + q2 + r2 = 1，依此類推。
雖然我可能無法想象高維的球體，但我可以象征性地描述它們，理解數學歷史的一種方式是對我們可以超越的看似合理的事物的逐漸領悟。這就是查爾斯·道奇森(又名劉易斯·卡羅爾)在《愛麗絲鏡中奇遇記》(1871年)中所表達的意思，他讓白皇后聲稱她有能力在早餐前相信“六件不可能的事情”。
從數學上講，我可以用任意數量的維度來描述一個球體，我所需要做的就是不斷增加新的坐標軸，數學家們稱之為“自由度”。按照慣例，它們會被命名為x1 x2 x3 x4 x5 x6等等。正如笛卡爾平面上的任何點都可以用兩個(x， y)坐標來描述一樣，十七維空間中的任何點都可以用17個坐標(x1， x2， x3， x4， x5， x6…x15， x16， x17)來描述。像上面的球體這樣的表面，在這樣的多維空間中，通常被稱為流形。
從數學的角度來看，“維度”不過是另一個坐標軸(另一個自由度)罷了，它最終只會成為一個純粹的符號概念，與物質世界毫無關系。19世紀60年代，開創性的邏輯學家奧古斯都·德·摩根(Augustus De Morgan)對劉易斯·卡羅爾(Lewis Carroll)的著作產生了影響，他總結了這個領域日益抽象的觀點，指出數學純粹是“符號的科學”，因此，數學本身除它本身之外，什么都不需要。從某種意義上說，數學是在想象的領域中被放任自由的邏輯。
不像數學家，他們在思想領域自由發揮，物理學至少在原則上是與自然，與物質事物相結合的。然而，所有這一切都提出了一種解放性的可能性，因為如果數學允許超過三維，而我們認為數學對描述世界很有用，那我們怎么知道物理空間只有有限的三個?雖然伽利略、牛頓和康德把長度、寬度和高度作為公理，但我們的世界難道就沒有更多的維度了嗎?
同樣，三維以上的宇宙是通過藝術媒介進入公眾意識的，這次的形式是文學推測，其中最著名的是數學家埃德溫·A·阿伯特(Edwin a Abbott)的《平地》(Flatland)(1884)。這部引人入勝的社會諷刺作品講述了這樣的一個故事：在平面上住著一個簡陋的正方形，有一天，一個三維物體——球體勛爵(Lord Sphere)造訪了這個正方形，并慫恿它到立體的世界去看看，在三維空間這個體積天堂里，方塊看到了他自己的三維版本——一個立方體，并開始夢想著進入到第四、第五和第六維度。它想，為什么不去看看超立方體呢?一個超超立方體呢?
可悲的是，回到平地的時候，正方形被認為是一個瘋子，并被鎖在了瘋人院。不同于它所激發的一些更甜蜜的動畫和改編，這個故事的優點之一，是它承認了炫耀社會習俗所帶來的危險。正當正方形在為空間的其他維度爭論時，他也在為存在于其他維度的東西辯護——他是個數學怪人。
在19世紀末和20世紀初，許多作者(赫伯特·喬治·威爾斯，數學家和科幻作家查爾斯·辛頓，他為四維立方體創造了“超正方體”這個詞)，藝術家(薩爾瓦多·達利)和神秘的思想家(P D Ouspensky)，都探討了四維空間，以及如果人類遇到四維空間意味著什么。
然后在1905年，一位當時還尚不知名的物理學家阿爾伯特·愛因斯坦發表了一篇論文，將現實世界描述為一個四維空間。在他的“狹義相對論”中，時間被添加到空間的三個經典維度中。在相對論的數學形式主義中，所有四個維度都聯系在一起，時空一詞也就進入了我們的詞典。這種集合絕不是隨意的，愛因斯坦發現，沿著這條路走下去，一種強大的數學儀器誕生了，它超越了牛頓的物理學，使他能夠預測帶電粒子的行為。只有在一個四維模型的世界，電磁學才能被充分和準確地描述。
相對論遠遠不止是另一種文學游戲，尤其是當愛因斯坦把它從“狹義”理論擴展到“廣義”理論時，現在的多維空間充滿了深刻的物理意義。
在牛頓的設想中，物質在自然力量(尤其是重力)的影響下穿越時空。空間、時間、物質和力量是現實的不同范疇。通過狹義相對論，愛因斯坦證明了空間和時間是統一的，從而將基本的物理范疇從四種減少到三種：時空、物質和力。廣義相對論則更進一步，將重力引入時空結構本身中，從四維角度來看，重力只是空間形狀的產物。
為了理解這種不同尋常的情況，讓我們先暫時想象一下它的二維類比。想象一張蹦床，想象一下我們在它的表面畫一個笛卡爾網格，現在把一個保齡球放在網格上，在它周圍，表面會拉伸和扭曲，所以一些點彼此之間會變得更遠。我們擾亂了空間內固有的距離度量，使其變得不均勻。廣義相對論說，這種扭曲是一個重的物體(比如太陽)對時空造成的影響，而空間本身偏離笛卡爾完美狀態的變化則產生了我們所經歷的重力現象。
然而在牛頓的物理學中，重力無從解釋，但在愛因斯坦的物理學中，它自然地來自于四維流形的固有幾何;在那些流形伸展最多或偏離笛卡爾規則最多的地方，重力感覺更強。這有時被稱為“橡膠板物理學”。在這里，巨大的宇宙力使行星圍繞著恒星運行，而恒星圍繞星系運行，這都只不過是扭曲空間的副作用，重力實際上是幾何運動。
如果進入四維空間有助于解釋重力，那么在五維空間思考是否會有其他科學優勢呢?為什么不試試呢?1919年，一位名叫西奧多·卡魯扎(Theodor Kaluza)的波蘭年輕數學家認為，如果愛因斯坦將重力歸納到時空中，那么或許我們可以用另一個維度來解釋電磁力，將其作為時空幾何的產物。因此，卡魯扎在愛因斯坦的方程中加入了另一個維度，令他高興的是，他發現在五維度中，這兩種力都很好地被證明了是幾何模型的產物。
數學就像魔術一樣，但問題是額外的維度似乎與任何特定的物理定量都無關。在廣義相對論中，第四維是時間;但在卡魯扎的理論中，第五維度并不是你能指出、看到或感覺到的任何東西：它只是存在于數學中。就連愛因斯坦也對這種空靈的創新猶豫不決。第五維度是什么?他問道，它究竟在哪里?
1926年，瑞典物理學家奧斯卡·克萊因(Oskar Klein)回答了這個問題，他回答的方式讀起來就像從仙境中走出來一樣。想象一下，他說，你是一只生活在一根長而細的軟管上的螞蟻。你可以沿著軟管向前和向后跑，而永遠不會意識到腳下軟管的微小圓圈。只有你的螞蟻物理學家用他們強大的螞蟻顯微鏡才能看到這個微小的維度。據Klein說，我們四維時空中的每個點都有一個像這樣的額外的空間圈，它太小了，小到我們都看不見。由于它比原子小很多數量級，難怪我們到目前為止還沒有發現它。只有擁有超強粒子加速器的物理學家才有希望看到如此微小的規模。
物理學家們從最初的震驚中恢復過來后就被克萊因的想法迷住了。在20世紀40年代，這個理論在數學上得到了詳盡的闡述，并進入了量子領域。不幸的是，新維度的無限小尺度使我們無法想象如何通過實驗驗證它。Klein計算出這個小圓圈的直徑只有10-30厘米。相比之下，氫原子的直徑是10-8厘米，所以我們在討論的是比最小的原子還要小20個數量級的東西。即使在今天，我們也無法看到如此微小的規模，所以這個想法就逐漸被主流遺忘了。
然而，卡魯扎并不是一個容易被嚇倒的人，他相信他五維空間的想法，他相信數學理論的力量，所以他決定進行他自己的實驗。他選定了游泳的主題，卡魯扎不會游泳，所以他把所有關于游泳的理論都讀了一遍。當他覺得他在原則上已經了解了水上運動的時候，他就帶他的家人去海邊，把自己扔進海浪里，沒想到他真的可以游泳。在卡魯扎看來，游泳實驗證明了理論的正確性，盡管他沒能活著看到他心愛的五維空間取得勝利，但在20世紀60年代，弦理論學家重新提出了高維空間的概念。
到20世紀60年代，物理學家們發現了另外兩種自然力量，它們都在亞原子尺度上運行。它們被稱為弱核力和強核力，它們負責某些類型的放射性，并將夸克聚集在一起，形成組成原子核的質子和中子。在1960年代末，弦理論的物理學家開始探索新的主題(假定粒子就像微小的橡皮筋在空間振動)，卡魯扎和克萊恩的想法重新得到注意，理論家們也逐漸開始懷疑這兩個亞原子力量也可以用時空幾何描述。
結果是為了包含這兩種力，我們需要在數學描述中加入另外五個維度。沒有一個先驗的理由應該是五;再一次，這些額外的維度都與我們的感官體驗無關，它們只是存在于數學中。這就得到了弦理論的十維，這里有四個大尺度的時空維度(由廣義相對論描述)，外加六個額外的“緊湊”維度(一個是電磁維度，另外五個是核力維度)，它們都蜷縮在某種極其復雜、扭曲的幾何結構中。
物理學家和數學家們正花費大量的精力去理解這個微型空間可能會呈現的所有形狀，如果有的話，有哪些可能的形狀在現實世界中得到了體現。從技術上講，這些形式被稱為Calabi-Yau流形，它們可以在任何偶數的更高維度存在。作為一種奇異的、精致的存在，這些非凡的形式構成了多維空間的抽象分類;Calabi-Yau流形的一個二維切片(大約是我們在視覺化它們方面能做的最好的了)讓人想到病毒的晶體結構;它們看起來活靈活現。
通過Calabi-Yau流形的2D切片。來自維基百科
弦理論方程有很多描述十維空間的版本，但在上世紀90年代，普林斯頓高等研究院(愛因斯坦故居)的數學家愛德華·威滕(Edward Witten)指出，如果從十一維空間的角度來看，事情可以以某種方式被簡化。他稱自己的新理論為M理論，并神秘地拒絕說出“M”代表什么。據稱通常它被認為代表“膜”，但“矩陣”，“大師”，“神秘”和“怪物”等猜測也被紛紛提出。
到目前為止，我們還沒有任何關于這些額外維度的證據——我們仍然處于一個游泳物理學家夢想著一個我們還無法到達的微型景觀的世界中——但是弦理論卻被證明對數學本身有強大的影響。最近，有一個理論版本發展出二十四個維度，顯示出了數學的幾個主要分支之間意想不到的相互聯系，這意味著，即使弦理論在物理學中沒有取得成功，它也將被證明是純粹理論洞察力的一個非常有用的來源。在數學中，二十四維空間是相當特殊的——那里有神奇的事情發生，比如把球體以一種特別優雅的方式組合在一起的能力——盡管現實世界不太可能有二十四維空間。對于我們所熱愛和生活的世界，大多數弦理論學家認為十到十一個維度就足夠了。
弦理論有一個決定性的發展非常值得注意。1999年，麗莎·蘭德爾(Lisa Randall)(她是第一位在哈佛大學獲得終身教職的女性理論物理學家)和拉曼·桑德拉姆(Raman Sundrum)(印度裔美國粒子理論家)提出，在宇宙尺度上可能存在一個額外維度，即廣義相對論所描述的維度。根據他們的“膜”理論——“膜”是“薄膜”的簡稱——我們通常所稱的宇宙可能嵌入在一個更大的五維空間中，類似于一種超級宇宙。在這個超級空間里，我們的宇宙可能只是一系列共存的宇宙中的一個，每一個宇宙都是在一個更廣闊的5D空間里的一個獨立的4D氣泡。
我們很難知道我們是否能夠證實蘭德爾和桑德姆的理論。然而，在這一觀點和現代天文學的開端之間我們已經有了類比。500年前的歐洲人發現，在我們自己的世界之外我們不可能想象出有其他的物理“世界”，但現在我們知道，宇宙中居住著數十億顆圍繞數十億顆恒星運轉的其他行星。誰知道呢，有一天我們的后代可以找到數十億其他宇宙存在的證據，每個宇宙都有自己獨特的時空方程。
理解空間的幾何結構是科學的標志性成就之一，但物理學家們可能已經走到了這條路的盡頭。因為，在某種意義上，亞里士多德是對的，擴展空間的概念確實存在邏輯問題。盡管相對論取得了非凡的成就，但我們知道，它對空間的描述不可能是最后一個，因為在量子層面，它會崩潰。在過去的半個世紀里，物理學家們一直試圖將他們在宇宙尺度上對空間的理解與他們在量子尺度上觀察到的東西結合起來，但一直沒有取得成功，而且似乎越來越多地現象表明，這種結合可能需要全新的物理學支持。
正如普林斯頓高級研究所的研究主任Robbert Dijkgraaf最近所說，在愛因斯坦發展了廣義相對論后，他把他剩下的大部分時間用于嘗試“從時空的動態中構建所有的自然規律，將物理減少到純幾何。”“對愛因斯坦來說，在無限的科學對象層次中，時空就是自然的‘底層’。”就像牛頓的設想一樣，愛因斯坦的設想使空間成為存在的基本基礎，成為萬物發生的舞臺。然而，在量子性質占主導地位的非常微小的尺度上，物理學定律揭示我們所習慣的空間可能并不存在。
一些理論物理學家提出了一種觀點，認為空間實際上可能是某種更基本的東西所產生的一種突發現象，就像溫度作為一種分子運動產生的宏觀性質一樣。正如Dijkgraaf所說：“目前的觀點認為時空不是一個起點，而是一個終點，是一個從量子信息的復雜性中浮現出來的自然結構。”
加州理工學院(Caltech)的宇宙學家肖恩·卡羅爾(Sean Carroll)是新空間思維方式的主要倡導者，他最近表示，經典的空間不是“現實建筑的基本組成部分”，并辯稱，我們錯誤地將這種特殊地位賦予給了四維、十維或十一維空間。Dijkgraaf用溫度做了一個類比，Carroll讓我們考慮“潮濕”，一種大量水分子聚集在一起的現象。沒有一個水分子是濕的，只有當你把一堆水分子放在一起時，潮濕才形成了一種特性。因此，他說，空間是由量子層面上更基本的事物所產生的。
卡羅爾寫道，從量子的角度來看，宇宙的演化在數學領域有超過10(10 ^ 100)維度”——這是10后跟著一個天文數字的零，或1萬萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億萬億個0。你很難想象這個幾乎不可思議的巨大數字，它使已知宇宙中粒子的數量變得微不足道。然而，它們中的每一個都是量子方程在數學空間中描述的一個獨立維度;每個維度都有一個新的“自由度”，宇宙可以自由支配。
即使是笛卡爾，也可能會被我們受他影響所取得的成果、以及在“維度”這個簡單的詞中所包含的令人眼花繚亂的復雜性所震驚。
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