前一篇筆記，感覺對邏輯與集合的關系并沒有完全講透，雖然意思出來了，但是語言表述不到位。但文章較長，再改動太費時，故再寫一篇。這是第三篇關于邏輯與集合關系的筆記。由于這些思考完全出自我個人，有些想法會開始時不成熟，表達也就不是很清楚。隨著時間問題慢慢理順了，自然筆記的文字就會更簡潔、表達更到位。
本篇筆記就一個話題：「什么是邏輯？什么是集合？」
我們的切入點從邏輯開始。邏輯對單數個體、復數個體和抽象概念作為判斷對象的不同處理開始。
邏輯包括兩個方面：第一是【判斷】，第二是【推理】。先說判斷。判斷的語言符號形式就是句子。有自然語言的句子，也有形式語言的句子。自然語言的句子就不用說了大家都懂。形式語言的句子包括數學、邏輯、物理、化學、工程等等都有相應的公式表達式，而計算機更是有各種程序設計語言。不過形式語言的句子在不同學科有不同的叫法，數學與邏輯一般叫作公式，但是數學公式和邏輯公式意義不完全相同。例如 1 1 = 2 就是數學中的句子，寫成自然語言「一加一等于二」。不過根據我們過去的經驗很少把這種「算術題」叫作句子的。之所以叫作句子，是因為不管是自然語言句子還是數學式子，都可以看作是「判斷」這個心理活動的語言形式，如果判斷符合事實，我們就認為是正確的，否則就是錯誤的。把「正確」與「錯誤」的概念一般化，得到的就是「真」與「假」。因此任何判斷，如果作為句子表達出來必然就可以得到真假值。再說推理。推理是由多個句子依次構成。前面的句子叫作「前提」、最后的句子叫作「結論」。推理的實質是，由前提的每個句子的真假值，按照一定的邏輯規則組合，我們就可以確定最后的「結論」句子的真假值。如果最后的句子是真，我們就說整個推理有效，如果最后的句子為假，整個推理無效。推理的語言形式叫作【論證】，就像判斷的語言形式叫作句子一樣。句子的值分真假，論證的值分有效無效。
那什么是判斷的基本結構呢？要判斷，首先要有判斷對象，而判斷對象，有的是一般性的概念，有的是具體存在的個體。
(1) 孔子是儒家的創始人
判斷的對象是具體的個人；
(2) 數學很難學
判斷的對象是抽象的概念；
(3) 杜甫、李白和王維是唐朝的詩人
判斷的主體不是單一個體，而是三個；那么這三個個體作為一個群體，和單獨的個體在概念上有什么區別？
（4）很多人都喜歡中國古典詩詞
判斷的主體不是單一個體，而是不定的多數個體，這些個體所形成的群體，和確定數量的群體，在概念上又有哪些不同？
第二、要進行判斷，除了判斷的對象，另一個重要成分的是判斷的內容。例如上面例子中，「是儒家的創始人」、「很難學」、「是唐朝的詩人」就是判斷的內容。哲學通常把這類判斷的內容稱作「性質」。「一加一等于二」，判斷的對象是兩個一，兩個對象經過「加」這個操作，形成第三個對象，這第三個對象具有「等于二」的性質。因此，研究判斷就要研究判斷對象與性質之間的關系，以及判斷對象之間的關系，如果判斷對象的數量大于一。
以 (1) 和 (3) 為例，前者判斷的主體是單一個體，「孔子」獨享「儒家的創始人」這個性質；而 后者則是「杜甫、李白和王維」共享「唐朝的詩人」這個性質。那么，如何區分和處理這種差異呢？這就是邏輯學要研究的問題。對于多個判斷對象，邏輯學認為這是一種聯結關系。也就是說，在句子中，魚貫出現一系列被判斷的名稱，它們之間無形中存在著邏輯上的聯系，這種聯系有兩類，一類叫作「所有」，一類叫作「任何」。從概念上看，「所有」是串聯的關系，「任何」是并聯關系。就像是三道門。如果一個房間同時有三道門，我們從哪道門都可以出去，那么這三道門的關系是并聯關系，亦即，是「任何」的意義；但是，如果房間只有一道門，而且出了這道門還要同時再穿過兩道門才能出去，那么這三道門之間關系就是串聯，而串聯則是「所有」的意義。
同時，邏輯學認為，句子中的判斷對象，不管是單數還是復數，都構成一個范圍。如果范圍內的判斷對象是單數，則認為這是獨一無二的。例如在 (1) 中，「孔子」獨享「儒家創始人」這個性質，那么當我們談到「儒家創始人」的范圍時，亦即、當我們問「哪些人是儒家創始人」時就知道在「儒家創始人」所規定的范圍內只有一人，叫作「孔子」。相反，例 (3) 中，杜甫、李白和王維三人共享「唐朝的詩人」這個性質，「唐朝的詩人」所指稱的對象范圍就不是獨一無二。如果不是獨一無二，那么對象之間就存在上面提到的兩種聯結關系的一種，亦即，不是「所有」的串聯關系就是「任何」的并聯關系。當然，(3) 的意思是「任何」的并聯關系：杜甫、李白和王維三人中任何人都是唐朝的詩人。下面看一個「所有」的串聯關系的例子：
(5) 只有修完數學、語文和英語三門課才能畢業
意思是，只修完數學、語文和英語三門課其中的一門或兩門都不能畢業。
有了上面的討論，我們就可以從邏輯和集合的角度考察如何表達這些概念。第一概念叫作論域，也就是上面所說的范圍。論域是由論域中所有的對象共同構成，它們之間的關系是「所有」的串聯關系，論域的定義是其中所有對象的整體。中國哲學和中醫的「五行」概念是由「金木水火土」全體構成，缺一不可。這個概念如果用集合表示就是：
(6) 五行 = {金,木,水,火,土}
但是，如果我們逆向思維，從單個對象到概念，則是「任何」的并聯關系。例如我們可以說，「金」屬于五行，「木」屬于五行，「水」屬于五行，「火」屬于五行，「土」屬于五行。
因此，對于論域內的對象指稱，如果是從整個論域開始到個體對象，那么指稱的表達就是「所有」。「金木水火土中所有元素都是五行的元素」可以替換為「五行中所有元素都是五行的元素」。雖然第二句是同義反復，但這種替換可以看作是論域指稱時的表達方式。當然，前一句如果我們不窮舉也是成立的，「金木水火中所有元素都是五行的元素」，因為這時「金木水火」本身構成一個范圍，這個范圍仍在論域中，所以仍然成立。但是，「「金木水火天地都是五行的元素」就不成立了，因為「天地」并不在論域之中。反之，如果是從個體對象開始到論域，則指稱所表達的就是「任何」。這樣，就可以構成多個句子，就像上面的例子。集合符號的表達是：
(7) 金 ∈ 五行，木 ∈ 五行，水 ∈ 五行，火 ∈ 五行，土 ∈ 五行
邏輯把串聯聯結叫作「與」聯結，把并聯聯結叫作「或」聯結。所以，當一個判斷是由多個判斷對象構成時，我們首先要確定范圍，然后確定范圍內對象之間的聯結類型，是「與」聯結還是「或」聯結。「與」聯結，在自然語言句子中，常用「且」表示。
下面再舉幾個例子：
(8) 這次考試我們三人不但她及格了，他也及格了，連我也及格了
「這次考試」是條件，「我們三人」是論域，「她、他、我」是論域中的對象，這三個對象相共享「及格了」這個性質，共享方式是「或」，亦即、是「任何」的并聯關系。
(9) 房間里空無一人，大家都走了
「房間里空無一人」是條件，「大家」是論域，沒有具名的對象，「都走了」這個性質被「大家」這個論域中所有對象共享，共享方式是「與」，亦即是「所有」的串聯關系，這里用「都」表示，因為只要還有一個人沒走，「房間里空無一人」的條件就不滿足。
(10) 整數中有些數是質數
「整數」是論域，在這個論域中，存在滿足「是質數」性質的數，也存在不滿足「是質數」性質的數，因此在這個論域中性質有兩種：肯定和否定。如果「是質數」的性質用 P 代表，那么「不是質數」就可以用 ~P 代表；P(x) 表示任何具有「是質數」性質的數，~P(x) 表示任何不具有「是質數」性質的數。整數中元素之間關于 P 的聯結關系是「或」關系，或者是質數，或者不是質數，但是和上面的「或」不同，當論域的元素具有同一性質的肯定和否定兩種形式時，這個「或」就是排他的，對象只能是或者不是，不能同時既是又不是。這在邏輯上，稱作「排中律」。
下面用邏輯和集合的符號歸納我們上面的內容：
(11) 所有：A = {a,b,c} 定義為：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A
(12) 任何：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A
一個判斷句中的判斷對象超過一個時，就需要集合的概念。集合，是由元素的「與」聯結構成，邏輯符號是 ?。而每個單一對象與集合的關系則是「或」聯結，邏輯符號是 ?。指稱「與」聯結構成的整體，語言表達形式是「所有」、「一切」、「凡」、「皆」，英語是 for all、for everything，邏輯符號是 ?；指稱「或」聯結的語言表達形式是：「任一」，英語是 any of，連接符號是 ∈，如果集合內同一性質有肯定和否定，那么表達肯定部分的符號是 ?。本質上，量詞的意義不在于指稱任何具名個體，而是指稱不具名的個體，因此，量詞要與變項一同使用，(11) 與 (12) 可以用量詞改寫為
(13) 所有：?x (x ∈ A) 等價于：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A
(14) 任何：?x (x ∈ A) 等價于：a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A
如果集合中的個體同時存在性質 P 和 P 的否定，那么個體之間的關系就是「排他或」的聯結。
(15) 任何：?x (x ∈ A) 但未必等價于 a ∈ A ? b ∈ A ? c ∈ A
因為集合中，有元素可能不具有性質 P。例如
(16) B = {2,3,4,5}
其中，只有 4 不具有質數性質，其它都是質數，用 P(x)。所以，
(17)
a. 質數 = {x ∈ B ：P(x)} 等價于 {2,3,5}
b. 非質數 = {x ∈ B ： ~P(x)} 等價于 {4}
c. 排他或：?x( P(x) ? ~P(x)) 等價于 {2,3,5} ? {4}
總結：邏輯與集合的一個事物的兩個側面。當指稱單一元素與集合的關系、判斷對象是單一個體時，使用集合表達式 如 a ∈ A、或性質表達式 A(a)；當指稱多個元素與集合的關系、判斷對象是多個個體或抽象概念時則使用集合表達式與邏輯連接符表達個體之間的聯結關系，串聯關系或并聯關系。同時，如果是多個個體，就要確定論域，在論域中，確定集合的元素使用【量詞】，串聯關系是關于「所有」、「一切」的全稱量詞，并聯關系是關于「任一」、「存在」的存在量詞；前者是基于集合元素都具有某種性質 P，而后者則假定有些集合元素具有 ~P 性質。
后記：我仍然覺得，學習線性代數，學習任何數學，根基是邏輯與集合，這是和中學數學最不相同的地方，也是和刷題數學不相容的。如果學習數學的目的是透徹理解數學的精神，提高自己的抽象思維能力，那么就一定要打好根基，這個根基就是：【邏輯】與【集合】，從思想上體會和掌握邏輯和集合與概念的關系，而不僅僅是學習邏輯與集合的符號操作。目前就我知、或所及范圍，尚無有這方面的文獻、文檔、教科書問世，因此我這里的筆記是在這方面的嘗試和探索，希望通過扎實的邏輯集合基礎，保證未來的數學學習行穩致遠。
本站僅提供存儲服務，所有內容均由用戶發布，如發現有害或侵權內容，請
點擊舉報。
