熱身練習
1、如圖點A，B，C三點共線，點D,E分別是線段AB，AC的中點，已知AB=8， AC=2, 則DE的長為_______；
2、若點A，B，C三點共線，且點A為線段BC上的動點（不與B,C重合），點D,E分別是線段AB，AC的中點,已知BC=10，則DE的長為______；
3、在2中，條件都不變，BC=12，則DE的長為______.
由上面的熱身練習可知，無論A在BC上什么位置，只要滿足D是AB中點，E是AC中點，
則DE與BC的數量關系保持不變.（位置關系也不變）.
做一做
改變點A的位置，使點A不在BC上，但D、E仍然是AB,AC的中點，
猜想DE與BC的關系，
想一想
由上圖，
當A不在BC上時，改變A點位置，改變BC長度，都可以得到，DE與BC有特殊的數量關系，DE是BC的一半.通過驗證，發現，DE與BC是平行的.DE這條線是三角形中非常重要的一條線段，稱為三角形的中位線.
三角形的中位線定理
定義：連接三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.
定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.
如圖，在△ABC中，D是AB中點，E是AC中點，則：
DE∥1/2BC，DE=1/2BC.
證明
分析：想要證明DE與BC的關系，這里的1/2如何處理是關鍵 .
思路1：倍長
延長DE至F，使得EF=DE，如圖
此時只需要證明DF與BC平行且相等，考慮證明四邊形DBCF是平行四邊形.
實際上，AC與DF互相平分，
易得四邊形ADCF是平行四邊形，
則AD與CF平行且相等，
則BD與CF平行且相等，
則四邊形DBCF是平行四邊形
所以DF與BC平行且相等
則命題得證.
思路2：截長
取BC中點F，則BF=1/2BC，只需要證明DE與BC平行且相等
即證明四邊形DBFE是平行四邊形，怎么證明呢？問題歸結為已有條件D,E是AB,AC中點怎么使用？
連接FE并截取EG=FE（或者也可以延長FE交BC的平行線AG于G,可得到一組全等三角形）易得平行四邊形AFCG,則AB與FG平行且相等，則BD與FE平行且相等，則四邊形DBFE是平行四邊形，則DE與BF平行且相等，則命題得證.
通過猜想，驗證，證明，我們得到了三角形的中位線定理.
使用三角形中位線定理的關鍵：
找中點的連線以及與之相關的三角形.
辨識：中線與中位線
名稱
圖示
特征
三角形的
中線
頂點與對邊中點的連線，
與三角形的一邊中點有關
三角形的
中位線
三角形兩邊中點的連線，與三角形兩邊中點有關.
應用
1、如圖, 在△ABC中,D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點
（1）圖中共有幾個平行四邊形？為什么？
（2）圖四個小三角形有什么關系？
（3）若AC=4cm，BC=6cm，AB=8cm，
則△DEF的周長= _______
（4）若△ABC的面積為24，△DEF的面積是_______
根據三角形中位線的性質定理，可以得到很多特殊的性質，如圖，連接三角形的三條中位線，將原三角形分成了四個全等的三角形.中位線構成的三角形周長等于原三角形的周長的一般，面積為原三角形面積的1/4.
2、如圖, 在四邊形ABCD中,D、E、F、G分別是AB、BC、CD、DA邊的中點.
思考1：四邊形EFGH有什么特殊的性質？
分析：有很多中點的連線，但并無三角形，可以考慮構造與中位線相關的三角形，連接AC,或BD，或者同時連接AC，BD可以解決問題.
易得四邊形EFGH一定是平行四邊形.
此四邊形也稱為中點四邊形，任意四邊形的中點四邊形一定是平行四邊形.
思考2：四邊形EFGH的面積與原四邊形有什么關
分析：
設BD交中點四邊形EFGH于PQ,易得，四邊形EPQH時平行四邊形，由練習1可得，四邊形EMDH時平行四邊形，根據等底等高，可得平行四邊形EMDH的面積與平行四邊形EPQH的面積相等，再由練習1所得結論，可得，平行四邊形EPQH的面積為△ABD面積的一半，同理可得，四邊形PFGQ的面積是△BCD面積的一半.
中點四邊形EFGH面積是原四邊形ABCD面積的一半.這個結論對任意四邊形都成立.
思考3：四邊形EFGH的周長與原四邊形的什么有關？
分析：直接上圖，
連接AC,BD可得，四邊形EFGH的周長等于對角線AC與BD的和.
變式1：將相對邊上的兩個中點移到對角線的中點
如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是BD、BC、 AC、AD的中點.
思考：四邊形EFGH是平行四邊形嗎？
提示：如圖
利用三角形中位線定理即可.
變式2：如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別為AC, BD的中點,
求證：2EF＜AB+DC
分析：借助變式1思考，如圖
追問：
若AB=CD，
上圖中有等腰三角形嗎？
易證得，如圖所示的藍色三角形是等腰三角形.
變式3：如圖,在四邊形ABCD中,E,F分別為BD, AC中點, AB=DC,EF交AB于P,交CD于Q,且BA,CD的延長線交于點M，
求證：MP=MQ
三角形中位線定理中有平行線出現 ，這樣就產生了同位角、內錯角、同旁內角等許多角之間的等量關系，又由于中位線等于底邊的一半。 并且平分兩腰，這樣就出現了線段之間的等量關系。 更主要的是定理將角的等量關系與線段的等量關系有機地聯系在 一起，因此這個定理在幾何題的證明中，特別是在證明兩直線平行或線段的等量關系或角的等量關系中，起著獨特的作用，有時甚至非它莫許。因此凡是題設中有中點出現，就不妨設法應用中位線定理來進行證明，也許很有效。
