我們發現，在平面幾何的學習中，大多數同學都有這樣的困惑 —— 題目看上去很簡單，一看答案都會，但真正考試時卻做不出來...
為了解決這樣的困惑，我們特別邀請了愛尖子張明宇老師于4月19日晚給大家開了一場關于數學競賽中平面幾何的學習方法建議的講座，現將講座內容整理成文字，希望能給同學們一些啟發和借鑒，本文僅張老師對平面幾何學習的個人見解，如有不妥，歡迎指正~
講座正文如下：
提示，萬字干貨，集合了幾位老師的心血，一定要看到最后！
《數學競賽中平面幾何學習方法建議》
主講人：張明宇
目錄：
一、中學生平面幾何學習規劃
二、平面幾何學習建議
三、平面幾何的訓練方法
四、平面幾何學習的常見誤區
五、常用書籍和習題推薦
平面幾何學習規劃
平面幾何不僅是高聯二試中非常重要的模塊之一，同時也是一個從初中到高中，一以貫之的知識內容。
首先列舉一下從初中到高中學到的幾何知識：
初中課內，主要以全等、相似、四邊形為主的直線型平幾知識為主，對圓要求相對不高；
高中課內，平幾的知識被收錄在選修里，高考對其要求不高，甚至一些地區不作為高考考察內容；
自招，各高校自招大概率會出現一些幾何計算的填空選擇題；
數學競賽，初高中數學聯賽直到IMO必考內容。
初聯、高聯等競賽實際上額外補充了很多定理、概念和方法，尤其明顯加強了圓這部分內容的考核。
由于平幾通常作為中考的壓軸題，高中課內又不太講，同時又是初聯、高聯非常重要的模塊之一，所以整體來看，如果你想走競賽這條路，且拿到不錯的成績，在初中階段系統地學習平幾是提升最快最高效的。
那么如何在初中階段學好平面幾何呢？
核心思想—— 按照高聯大綱要求的平面幾何來學習。
整個初中學習的平面幾何的知識點和方法，其實和高聯的差異并不大，高聯更多的就是補充了少部分的幾個定理以及一些更精妙更有技巧性的方法，所以沒有必要把初聯和高聯區分開。
高聯二試中代數部分是跟高中課內有關的，數論和組合，無論初中還是高中課內幾乎都不會接觸的，這不學肯定沒有任何機會，但平幾從初中就開始接觸，如果你目標是高聯省二及以上的話，那么平幾是你整個學習中非常重要的環節，也是最不容失分的模塊。
■ ■■■■
下面給大家介紹一下具體的學習規劃：
如果你是從初中開始，那么初一需要解決的是中考范圍內的直線形問題——全等、相似、四邊形等；初二，開始接觸圓和初高中聯賽必備的平面幾何知識；初三，因為大家可能有中考壓力，在復習中考的同時可以集中加強習題訓練，這樣，你在高一開學，如果能參加高聯，那么你在平幾上是有非常大的優勢，這是我對于初中同學的一個建議。
如果你是從高中開始，只參加過中考沒學過初聯也沒關系，因為在這個時候起碼中考范圍的內容你是沒有問題的。整個路徑跟剛才說的比較類似，高一上解決初高聯中必備的平面幾何知識；高一下加強訓練。這樣，你在高二的高聯中就很有機會把幾何題拿下。核心思想就是 —— 先解決課內知識，然后補充競賽知識。然后按照我后面說的方法進行訓練。至于說高聯當中考綱考哪些知識這個事兒后面會有些書籍相關推薦。
平面幾何學習建議
把握了核心思想之后，我對學習的要求有三個點 —— 重視基礎、吃透考點和強調模型。
（一）重視基礎
重視基礎是重中之重。很多孩子之所以認為自己平幾很厲害，結果考試卻做不對題，就是因為不重視基礎。以下我分了四個方向進行討論：
1、強調圖形認知能力：讀圖、識圖、畫圖、改圖
這點非常重要，什么叫認知呢，就是讀圖、識圖、畫圖和改圖。
讀圖，跟審題類似，就是要搞清楚題圖是怎么畫出來的。
先有哪個點、哪條線，哪些點連成哪些線，哪些線連成了圖形，這個過程能夠幫助你搞清楚很多隱藏的信息。
識圖，即在題目給的條件下挖掘出一些你見過的模型，找到其中一種你認識的模型下結論。比如，圖畫出來之后你發現屏蔽幾個點后，剩下的部分非常像之前做過的某個題；或者你看到某些角某些線組成關系的時候，可能跟之前見過的某個結論特別的像。這個過程就是從讀上升到了更加深入地認識這個圖里面蘊含的東西。
什么是畫圖呢？我會要求學生做高聯二試時，哪怕卷子上有圖，也最好自己再完整地畫一遍。因為重新畫圖的時候，我會想怎么能夠把這圖畫得準確、到位，這些需要小心注意的點，恰恰很可能是解題的關鍵。畫圖的順序、邏輯，跟解題的方法有很大的關系。
改圖，并不是改題（有些學生水平很高，做完題可以改是肯定很好）。改圖，就是如果發現題目中有些點、有些線可以任意取，那么就想一下 —— 這個點、這個線或者條件換一下，我能不能通過一些特殊位置，能不能通過一些極端方法，去探究當我改了這個圖之后這個結論是不是依然成立，如果結論依然成立，順帶著能不能發掘出其他關系和條件？所以，改圖就是在挖掘一些動點或者動態過程中一些不變條件。
2、加深概念定理的認知、理解和運用場景
這點恰恰體現在看答案能看懂，做題不會的這個現象。定義本身知道，所以看了答案，按照方法都能推出來，但難就難在考試的時候根本想不到能用這個定理。歸根結底，這是因為你沒有搞清楚這個定理本身到底在說什么，闡述的是一個什么現象，描述的是什么關系。其次是沒有把這個定理和很多題目以及模型進行強關聯。當你能夠完成一些關聯之后，你就能搞清楚這些定理常見的應用場景，這樣考試才能想起來。
3、理解“簡單”推理過程的本質
很多學生在看答案時，像導角、導邊啊，這些特別簡單的過程，他認為考試時肯定能倒出來就跳過了。但實際上很多題目中導角恰恰是很多學生看不出來的東西。
比如去年高聯第一題，其實有很多重要的導角導邊的過程，但學生根本就不會找，也沒有想到去找。這些過程看似簡單，但為什么這么導，怎么導，甚至導出這個角對題目有沒有幫助，學生都沒想清楚。所以一定要深入理解一些看似比較簡單的推理過程，它背后所闡述的幾何現象。
很多老師讓學生認真寫過程，不僅為了規范，同時也是為了能好好理解過程中一些推理闡述的本質。
4、深究幾何變換、輔助線的目的和效果
很多學生做不出題來找我，老師你把輔助線告訴我唄，我一旦告訴他這題就沒有任何價值了，因為知道輔助線怎么畫基本就知道怎么做了，而難就難在不知道怎么做輔助線。輔助線帶來的效果是什么，能做到什么，為什么通過這種方式能帶來額外的條件和性質等，學生都不清楚。
比如說截長補短啊，倍長中線啊，這都是初中特別簡單的知識，很多孩子就會認為，是不是看到中點就要倍長呢？是不是看到A B=C就要截長補短呢？在很多簡單題中是這樣的，但競賽中就沒這么直接沒這么簡單了。大家要真正搞明白所謂倍長中線到底在說什么。它說的是一個平四邊形的構造，是邊和角的平移和位置的變化。如果你搞不清楚，考試時你可能想不到倍長中線。
這是其中一個例子，所以你得搞明白輔助線、變換最終的目的和效果，這樣才能舉一反三。
（二）吃透考點
說白了就是知彼知己，你得知道考什么。比如你目標是高聯，但你訓練的定理和方法全都是國家隊，甚至是IMO要求的東西，那你肯定是練偏了。所以大家一定要搞清楚高聯考什么定理，考什么變換，考什么方法。而這些東西很多書會幫你總結，很多課程也會幫你梳理。同時你要通過訓練搞清楚在考什么東西。
比如平面幾何，學生說我研究解析法，我研究復數法，研究向量法，沒問題，這是一些常見方法。但這些方法在高聯中出現得多嗎？多少年考一次呢？最近時間考了幾次？大家可能都不知道。其實常規的方法還是主流的。
（三）強調模型
中考范圍內，平面幾何考點沒有特別復雜，無非那么幾種套路，從中可以總結一些常見的結論和模型。高聯也一樣，只是模型藏得更深，數量更多。所以對待高聯，第一要理解模型本身的結論，第二找到它的應用場景，第三訓練找模型的能力。
你首先得知道很多模型。人家做題能知道用a用b你啥都不知道，那就說明手里的兵器不夠。這通過平時訓練、看書做題，包括老師講課，都能做一些總結，慢慢累積。
其次，每次做題時，如果能發現相關模型或結論，你要想，為什么它在這兒能用，它在這兒有什么好處。
再者，搞清楚怎樣從題圖里發現模型。很多題把模型藏起來本身是有邏輯的，所以如果你能想明白出題人是怎么把它藏起來的就非常有價值。
平面幾何的訓練方法
下面來說說如何訓練解題。
1、訓練題目：中考壓軸題 —— 幾何教程 —— 初高聯真題 —— 高聯模擬題 —— CMO中1245題
① 初中幾何知識學完后，先拿中考壓軸題練手，幫助同學理解幾何思想，同時強化輔助線、各種定理的理解；（尤其注意，學完知識不等于會了，一定要拿題進行檢驗）
② 中考知識消化后，開始競賽幾何學習，可以拿一些著名的書籍或課程來學習；（后面會推薦）
③ 掌握了知識后，開始做題。首推初高聯真題，真題做完后可以做一些不錯的模擬題，比如中等數學增刊里的題等，水平好一些的同學還可以嘗試做一做CMO里的幾何題。
2、訓練頻次：保證每周2~3道二試大題
因為二試題目需要思考的時間長，所以幾何訓練如果能有大塊兒時間是最好的。每周至少要保證有2~3道二試大題的訓練。把基礎教程（推薦的書或課）刷完差不多，這個頻率一定要保證。所謂手感要火熱嘛，起碼幾何的思路不能斷，時長訓練才能厚積薄發。
3、訓練時長：每道題保證至少30分鐘思考
我見到很多孩子，包括很多對數學非常狂熱的孩子，有個習慣，拿到個難題，開始瞪眼，瞪了十五分鐘或者十分鐘，發現太難了太復雜了，根本就超出個人能力了，然后趕緊看答案，一副恍然大悟，這題真好，真精彩。但久而久之這些題全浪費了全都做瞎了。我的要求是，哪怕這個題你不會做，每個題也得花完三十分鐘。只要題目難度是合理的，是你應該訓練的，那就必須把時間用到位。如果連這種耐心都沒有的話，在高聯考場肯定就慌亂了，長時間思考，長時間嘗試，包括重建思路，推翻思路，這個過程是必須要有的。
全國范圍內高聯二試四個模塊都能做對的學生肯定沒那么多，目標省級獎項，一般來講能做對2~3題就很不錯了，所以考試時間相對來說比較充裕，如果沒有花很多時間去考慮一個問題，沒有這種耐心和習慣，問題是非常大的。所以，考試過程怎么保證思路清晰、保證思路快速變化的能力是要通過日積月累的訓練的。
4、學會看答案（非常重要）
不會看答案，是很多學生學習幾何的通病。
看答案達到什么效果才能對孩子真正有價值呢？這里面我提到了四個字，叫順理成章。什么意思呢，題不會做很正常，尤其是一些比較難的題目，不會做太正常了。刷競賽題的初期可能就沒幾個題會做，這沒關系，你看答案的時候，很可能這個題會因為其中的一到兩個步驟，這一兩個步驟實際上就是我們破題的關鍵。如果能夠找到這樣兩個步驟，并且除了這兩步以外，其他步驟都能獨立完成，而且步驟的推導非常順利，那就說明你找到了這個題的關鍵點。
找到這個點，是你開始的第一步，也是你破題的關鍵。而其他步驟，如果邏輯關系很清晰，說明你已經具備看懂這個題的基本能力了。而不是像流水賬一樣12345678，好了就過了。
當你找到這個點之后，該干嘛？你最大問題在于你沒做出來對不對，那么就要去問自己這一點或者這一步我為什么沒找到，去分析整個題目的條件與結論以及模型。你常見的及之前的累積，要去做一個排列組合。然后你會發現，原來是因為哪個點沒考慮到，忽略了這點，把題目的條件、結論和破題的關鍵，做一個邏輯關聯，這個題你才算是真正的學會了。
總結下來就是，先理解并找到題目的關鍵，再通過命題的思路反推這個題目關鍵的來源。那么你再去考場上做題的時候，這就是你其中一個武器。我發現這個題和之前的某個特別像，某一個點特別接近，當時這個題我沒做出來，是因為某個某個結論，能夠可能推導出什么什么東西。當時那個東西就是解題的關鍵。那今天我來嘗試一下，能不能得到相應的結論，這就是一個累積的過程。
所以看答案一定要非常謹慎，如果一個題需要你三十分鐘思考的話，那么看答案，起碼也得需要二十分鐘，甚至是比你做題時間還要更長，這才能真正思考到位。這個時間只是一個量化，孩子領悟能力不一樣，看個人情況。
平面幾何的常見思維過程
前面我們說到了訓練方法，下面我們來模擬一下考試的時候常見的思維流程。請注意，“流程”這個詞并不是適用于所有題目。每個孩子的能力不一樣，腦回路也不一樣，以下僅提供一種方式以供參考：
首先，讀圖，從中挖掘一些你可能發現或者沒發現的條件；
其次，把題目中給出的條件和結論做延展。從條件出發，經過之前的模型累積能夠等價出或者拓展出哪些其他結論？看看結論之間有沒有更多的等價條件？
再次，得到很多條件和結論的延展后，拿之前所訓練過的模型和方法進行匹配。
比如，想證明ABC這些結論，有哪些手段？這一結論，我們什么時候見過？這個時候你之前的累積就有價值了。
最后，多次試錯、調整，不要干瞪眼。
之所以高聯題目難，可能是因為你試了很多次都發現跟你做的東西都不太一樣，你之前熟悉的東西不好用了，這個時候，干瞪眼兒也沒有用，一定要學會試錯。我希望孩子們不要在考試的時候去試，而盡量在平時的時候就養成試錯的習慣，你試的錯越多，你積累的錯誤路徑就越多，考試就更容易避開。
總之，學幾何一定不能指望考場上靈光乍現。希望同學能夠通過合理的訓練，平時多積累、多總結，勢必在高聯中拿下幾何題。
平面幾何學習的常見誤區
下面來說說同學做題時一些常見的誤區。
1、迷信高端定理
炫技，在同學面前顯擺一個從來沒聽說過的定理，感覺自己很大神，但很可能這個定理平時根本用不上，只是知道名字罷了，甚至高聯，其實完全不考。所以就了解考綱本身，知道常見的一些定理就很不錯了，千萬不要迷信高端定理，你可能真的用不上。
2、難題就是好題
很多學生，甚至很多外面上課的老師都會給大家一個感覺就是難題就是好題，有些課講這么簡單沒啥意思等等......除非你都能做對，就怕你不見得會做，還覺得簡單，這并不是什么好事兒。
老實講，我認為真題才是好題。一味追求難度，可能會超出高聯考綱。所以盡量做一些比較像真題的題目，或者公認質量比較高的模擬題。基礎訓練非常重要，難題和好題之間其實沒有明確的強關系。
3、追求“炫酷”方法，但不研究本質
比如說好好的幾何，非得來個解析法，非得用上復數，非得用三角函數。我并不否定大家學這些方法，很多時候這些方法非常好用，但掌握這些方法關鍵在于研究用這個方法的本質。為什么這個題用三角函數，用平面解析法要比正常的推理更簡單，為什么這個用反證法？你不搞清楚本質，下一次只能因為想用而用，未必能快速準確的答題。
4、看懂答案 = 會做題
5、不寫不看解題過程
最后兩條放一塊兒說，這是孩子們做題時的非常不好的習慣，很多孩子答案一看懂，好題好題巧妙，打勾過去了，根本沒有把過程重新想一遍、復述一遍，沒明白之間的邏輯關系。如果你有這種習慣的話，就跟沒做一樣，反而浪費了好題。
推薦書目
下面給大家推薦幾本書：
1、浙大小紅皮，《高中數學競賽專題講座-平面幾何》
上圖就是我們俗稱的“浙大小紅皮”。這本書里平面幾何的基本知識講解的比較透徹，而且比較好理解。所以對于學完初中課內，想準備競賽知識的同學來說，這本書可圈可點的，可以通過它來學習一些常規的知識方法。
2、《平面幾何證明方法》全書（第二章）
這本書是胡老師向我推薦的，它的第二章闡述了很多方法，從點、線、面到整個幾何圖形的平移、旋轉等等各種變化，講得非常詳細。這本書也是從方法角度和思想層面對學生有很大的提升。這本書還有個特點，答案是單獨賣的，可見這本書答案有多詳細。所以這本書的答案如果能好好使用的話，價值非常得大。
3、《奧賽經典》
這套書大家很熟悉，我們推薦的是奧賽經典高中版的幾何。我當年高中學平幾的時候用過，后來做了老師后用的更多。這本書定義講的非常地細，而且定義非常多，但題目有點難，且梯度有點大，a組的簡單題還OK，但b組題很多會上升到國家隊甚至IMO的難度。所以這本書要選擇自己適合的難度和相關的章節去使用，最好有人能指導。這本書作為補充我覺得完全沒問題。
4、《俄羅斯平面幾何問題集》、《中等數學》增刊
這兩本書的作用不太一樣。俄羅斯那本書，它更多的是基礎習題，如果你中考完全能搞定，想訓練平幾的基礎能力，這本書就非常適合。
中等數學增刊則用于初高聯的真題刷完之后，它里面有很多國內非常著名的老師出的一些模擬題。整體難度比聯賽要偏高一點點，但不會有太大偏差。
CMO真題中的3題和6題太難了，平幾一般不太會出現在3、6題上，偶爾會有。所以CMO中1245位置的平幾是值得一些水平不錯的孩子去訓練。
以上就是我推薦的書籍和題目。
