【編者按】
2016年12月1～2日，北京教育學院初等教育學院攜手中小學管理雜志社召開“首屆小學實踐課程研討會”，圍繞“基于核心素養的數學實踐課程與教學變革”這一主題，來自全國各地的近500名中小學校長和教師齊聚北京，開啟了一場探索“有趣數學”的奇妙之旅。其中東北師范大學原校長、義務教育數學課程標準修訂組組長、普通高中數學課程標準修訂組組長史寧中教授深入淺出的專題報告，為與會者帶來了對“數學核心素養”及“數學教學”更深刻的理解。本刊特擷錄于此，希望能為您帶來更多思考與啟示。
核心素養的培養，在本質上與以人為本或以學生發展為本的理念是一致的。為了便于理解，我們可以將核心素養抽象為這樣幾句話：核心素養是后天習得的、與特定情境有關的，而不是隨時隨地都可以表達出來的東西；是通過人的行為表現出來的，因此是可監測的知識、能力和態度；涉及人與社會、人與自己、人與工具三個方面，最終要落實在人即受教育者身上。
如何進行學生核心素養的培養？我想，最終還是要落在學科核心素養的培育上。我們以數學學科為例來探討這個問題。數學核心素養包括哪些內容？如何在小學數學教學中培養學生的核心素養？
一學科核心素養培養對學科教學提出新要求
1. 什么是數學核心素養？
高中數學課程標準將高中階段的數學核心素養定義為：具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力。那么，設定數學核心素養的標準又是什么呢？我們可以這樣認為，數學教育的終極目標是，一個人學習數學之后，即便這個人未來從事的工作和數學無關，也應當會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界。所謂數學的眼光，本質就是抽象，抽象使得數學具有一般性；所謂數學的思維，本質就是推理，推理使得數學具有嚴謹性；所謂數學的語言，主要是數學模型，模型使得數學的應用具有廣泛性。
基于此，我們將高中階段的數學核心素養確定為數學抽象、邏輯推理、數學模型、直觀想象、數學運算、數據分析六方面。雖然義務教育階段的數學核心素養現在還沒有開始正式討論，但也離不開義務教育數學課程標準中提到的八個核心詞：數感、符號意識、推理能力、模型思想、幾何直觀、空間想象、運算能力、數據分析觀念。我們可以這樣理解，數學抽象在義務教育階段主要表現為符號意識和數感，推理能力即邏輯推理，模型思想即數學模型，直觀想象在義務教育階段體現的就是幾何直觀和空間想象。還有三個超出數學范疇的一般素養，義務教育階段強調的是應用意識和創新意識，高中階段則增加了學會學習。
在終極目標下，我們的數學教學活動應當秉承這樣的基本理念：把握數學內容的本質；創設合適的教學情境，提出合理的問題；啟發學生獨立思考，鼓勵學生與他人交流；讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學的本質；讓學生積累數學思維的經驗，形成和發展數學核心素養。
2. 培養學科核心素養對教師教學提出挑戰
教師要在學科教學中幫助學生掌握知識、提高能力、發展素養。形成學科核心素養是終極目標，在本質上，這樣的目標不是教師短時間“教”出來的，而是學生領悟出來的，是長期經驗的積累，是在一個過程中慢慢形成的。這就需要把常態教學與核心素養的培養結合在一起，老師們在備課時可以將核心素養的要求呈現出來。比如：在教學目標中，教師在設想過程性目標時，不僅要說“經歷什么”“探究什么”，還應該明確“得到什么”，比如說，形成“幾何直觀”素養。與此同時，教師備課不能僅局限于某一堂課，而應當把相對成邏輯體系的知識整合在一起，思考通過這些課程讓學生掌握什么樣的知識和能力，培養什么素養，然后再考慮每堂課怎樣體現。
二如何將學科核心素養培養貫串于教學中
如何將數學核心素養的培養落實在小學數學教學中？我認為，可從以下三方面著手。
1. 數學抽象：讓學生學會“用數學的眼睛看”
義務教育數學課程標準中提到的核心詞，如符號意識、數感，甚至幾何直觀和空間想象，都可以歸到數學抽象這個素養中。所謂數學抽象，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程。主要包括從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者術語予以表征。簡而言之，抽象就是從現實世界進入數學內部，讓學生學會用數學的眼睛看。
小學階段通過抽象得到的是基本概念，還包括關系和法則。抽象的方法有兩種：對應和內涵。對應的方法就是給研究對象起個名字，內涵的方法就是給研究對象明確定義。我建議老師們在一、二年級的教學中采用對應的方法，重在讓學生感悟；以后可以逐漸采用內涵的方法，重在讓學生理解。
比如：啟發學生理解“數是什么？數的本質是什么？表示數的關鍵是什么？”時，在讓學生理解基本概念、關系和規律的同時，教師一定要知道這些內容涉及“符號意識”和“數感”這兩個核心素養。在教學過程中，教師一定要讓學生感知“數”是一種符號表達，是對數量的抽象，我們可以用對應的方法，從“兩匹馬”“兩頭牛”對應到兩個小方塊，然后再讓兩個小方塊對應符號“2”。僅僅抽象出概念并不是最重要的，更重要的是要抽象出概念之間的關系。數量關系的本質是多和少，因此對應數的關系的本質就是大和小。抽象的核心是舍去現實背景。
“數感”是對數的感悟，其核心是回歸現實背景，讓學生知道數在不同場合的使用。比如：對于“100”這個數字，我們可以帶100元錢去超市，但不可以帶100元錢去買房子。
數學是通過抽象得到一般結論。但是，抽象的東西不是具體的存在，而是抽象的存在。比如：現實中沒有抽象的“2”，只有具體的“兩匹馬”“兩頭牛”。什么是抽象的存在？我們看到了蘋果，看到了足球，感覺到一個圓，離開了蘋果和足球，腦子里還有一個圓，基于這樣的存在我們能在黑板上畫出一個圓，這樣的存在就是抽象的存在。如同鄭板橋所說：我畫的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。老師在課堂上教的不是他在黑板上畫出來的、具體的圓，而是一般的、抽象的圓。
2. 邏輯推理：讓學生學會“用數學的思維想”
義務教育數學課程標準的核心詞還提到運算能力和推理能力，這都屬于邏輯推理。數學內部的發展依賴的就是邏輯推理。邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的思維過程。它主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。
演繹推理是從大范圍內成立的命題推斷小范圍內命題也成立，只能用來驗證知識，不能用來發現新的知識。而歸納推理是通過條件預測結果、通過結果探究成因的推理，其結果是或然成立的，用于發現知識。我們之前的教育，更多的是培養學生的演繹推理能力，缺少歸納推理能力的培養，這對培養創新型人才是不利的。
在數學教學中，教師可以引導學生通過歸納推理探究成因，比如：探究計算方法規定的緣由。在混合運算中，為什么要先乘除后加減？對于“3+2×6=3+12=18”這樣的算式，可以舉例說明：“操場上有3名同學，又來了一隊同學，2人一排共6排。問現在操場上有多少名同學？”其計算的緣由可以理解為：現在同學數=原來同學數+后來同學數=3+2×6，因此可以得到先乘除后加減的結論。教師可以讓學生感悟，混合運算是講兩個或者兩個以上的故事，先乘除后加減的規定就是一個故事、一個故事地計算。教師要在引導學生邏輯推理的過程中，逐漸幫助他們建立數學的思維模式，這就是會用數學的思維想。
在教學中，如果學生討論不清楚或者教師講不明白，那就舉例說明。一個好老師的頭腦中應該有很多例子，甚至能隨時根據需要想出一些例子來。但所有的應用題必須是在生活中能夠發生的，不能硬編。
3. 數學模型：讓學生學會“用數學的語言說”
義務教育數學課程標準的核心詞還有模型思想、數據分析觀念等，這都是數學模型素養。數學模型是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型、解決問題的過程。也就是說，數學模型是用數學語言講述現實世界的故事，是溝通數學與現實世界的橋梁。因此數學模型是一個核心素養。在現代社會，數學的真正應用是模型，模型已經成為一種語言應用于物理、化學這些學科，甚至應用于社會科學和人文學科，數學模型引發的數學特征就是數學應用的廣泛性。義務教育數學課程標準中主要提到兩個模型，一個是加法模型，一個是乘法模型，或者轉化成現實問題，一個是總量模型，一個是路程模型。
數學建模突出學生系統地運用數學知識解決實際問題的過程，因此，教師在數學教學活動中培養學生數學模型核心素養，能夠幫助學生感悟數學與現實之間的關聯，使其加深對數學內容的理解，逐步積累數學實踐經驗，進而提升應用能力，增強創新意識。
三如何在教學評價中考查學科核心素養
在基于核心素養的學科教學中，評價與考核很重要，除了考查學生知識技能的獲得，還要關注學生學科素養的形成。在近些年實施的基礎教育質量監測中，我們在數學領域的監測標準中提出的三個原則，基本體現了對學生數學核心素養培育的關注。
1. 不強調計算速度：重思考深度、輕技巧訓練
我認為，小學數學過分強調計算速度是沒有道理的，速度的訓練是導致學生課業負擔加重的主要原因。我們在后來的基礎教育質量監測中，嘗試減少題量或者是延長測試時間。素養培養是慢功夫。學校不能動輒考核教師，否則只會導致教師也要求學生拼命練習，通過反復做題訓練速度，培養應試技巧。數學學習是需要思考的，教師的一項重要責任，就是要引導和啟發學生學會思考、敢于思考、善于思考。
2. 監測內容要指向學科核心素養：關注學生的思維品質
以前的測試主要考查學生對知識點了解、理解、掌握的程度，在基礎教育質量監測中，我們要求監測內容中要蘊含數學素養，比如：考查學生對概念的理解，以及學生的邏輯推理能力、運算能力、空間想象力等，尤其是要關注學生的思維品質，考查學生的思維能力。
有這樣一道題目。五年一班和五年二班舉行跳繩比賽，每班派10人參加比賽。已經賽完9人，將派最后1名同學上場。五年一班可以在甲、乙兩名同學中選出。這兩名同學最近成績是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），這兩名同學的平均分差不多，你建議讓哪位同學上場比賽？理由是什么？
學生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因為乙的成績比較穩定；但是郊區有一些孩子生活經驗豐富，認為得看賽完九次之后的成績，如果五年一班輸了，那就可以讓甲參加比賽，因為甲的成績跳躍比較大，沖一沖沒準這次就贏了。這時候我們發現，學生的思維能力是與生活閱歷有關的。
3. 采用滿意原則：考查學生的思維過程
我們可以通過開放題來考查學生的思維過程，開放題應當采用加分原則。我曾經給小學四年級出過這樣一道題：有兩個居民區，中間有一條道路連接，現在要在路邊建一個超市，你建議建在哪里？為什么？大部分學生答應該建在中間位置，因為大家走得一樣遠，這樣的回答有道理，可得滿分；有的學生答要看居民區人的多少，應該離人多的居民區近一點，這樣的回答更好了，可以多加兩分；還有的學生答需調查哪個居民區去超市的人多，按比例來建，這樣的回答可以再多加兩分。只要學生答得更好，就可以給他加分。
在這樣的測試中，我們不能僅僅通過結果判斷學生答案的對和錯，重要的是判斷學生的思維過程是否有道理，是否合乎邏輯；只要學生的思維過程與得到的結論是一致的就應該滿意，這就是“滿意原則”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于開放題的答案是不確定的，這就對我們的老師提出了更高的要求，教師不僅要能出題，還要有判斷思維是否有邏輯的能力。因此，教師在日常教學中要教會學生們思考問題，讓學生在掌握所學知識技能的同時，積累思維的和實踐的經驗，形成數學核心素養。
