三維矩陣旋轉(zhuǎn)、平移的左乘與右乘分析

在矩陣的初等變換中，矩陣的左乘代表著行變換，TA=B。
矩陣的右乘相當(dāng)于列變換， AT=C。

當(dāng)三維坐標(biāo)發(fā)生旋轉(zhuǎn)、平移時，就需要考慮到矩陣是左乘還是右乘。
設(shè)有旋轉(zhuǎn)矩陣R，平移矩陣T， 坐標(biāo)矩陣A。

-若是繞著靜態(tài)的世界坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，有RA，即左乘旋轉(zhuǎn)矩陣
- 若是繞著動態(tài)的自身坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，有A’R’， 即右乘旋轉(zhuǎn)矩陣
- 若是進行平移，則有TA，即左乘平移矩陣， A’T’為右乘平移矩陣

在使用中，我們通常對三維點（云）的旋轉(zhuǎn)與平移進行左乘。
而旋轉(zhuǎn)矩陣在左乘時設(shè)逆時針為正。
以下是常用的旋轉(zhuǎn)矩陣。

有列向量A=[x,y,z];
則 RA 就是對 A 進行旋轉(zhuǎn)。注意這里 A 是列向量，因為是在對A的每行的元素進行變換。
若要寫成右乘形式，則有（RA）’=A’R’,此時R’變?yōu)橛页说男D(zhuǎn)矩陣，A’為行向量，對A’的每一列元素進行變換。

對于平移有平移矩陣T=

其中 u 為平移向量（x,y,z）; I 為3X3的單位矩陣。
設(shè)有 列向量B，則對B進行平移為 TB，左乘形式。
右乘形式為 B’T’

旋轉(zhuǎn)與平移的過程

設(shè)有 3x3旋轉(zhuǎn)矩陣R， 平移列向量u,平移矩陣T 為上述表達形式， 坐標(biāo)列向量A
以下過程用常見的左乘形式
1 先旋轉(zhuǎn)再平移
RA+u = [ R , u ; 0 1]* [A , 1 ]
也可以寫成 T*R*A 的形式， A為齊次坐標(biāo)的形式

2 先平移再旋轉(zhuǎn)
R（A+u）=RA+Ru；
也可以寫成 R*T*A

若要將上述過程寫成右乘的形式，則要全部進行轉(zhuǎn)置