埃爾米特于1822年12月24日出生在法國。創造性的才能與掌握他人理論精華的能力，在他身上罕見地結合在了一起。而19世紀中葉所需要的，把高斯的算術創造與阿貝爾和雅可比在橢圓函數中的發現、以及由英國數學家布爾、凱萊和西爾維斯特發展的代數不變量理論協調在一起的，正是埃爾米特的這種能力。
當埃爾米特還是中學生時，就在圖書館里掌握了拉格朗日關于數字方程求解的論文。他還買了高斯的《算術研究》，而且掌握了它，而在這以前或以后，只有極少數人掌握了它。在埃爾米特領悟了高斯做過的數學研究后，他就準備開始自己的研究了。他后來說，從拉格朗日和高斯的著作中，我學會了代數。
《新數學年報》（創刊于1842年）第一卷收錄了埃爾米特還是學生時寫的兩篇文章。第一篇文章是關于圓錐曲線的解析幾何，沒有顯示出什么獨創性。第二篇是《對五次方程代數解的探討》。
埃爾米特說，
拉格朗日使一般五次方程的代數解依賴于確定一個特殊的六次方程的根，他稱這個六次方程為簡化方程（今天稱為預解方程）……因此，如果這個簡化方程可以分解成二次或三次的有理因子，我們就會得到五次方程的解。我將試著說明這樣一個分解是不可能的。
埃爾米特在他的嘗試中獲得了成功，從而躋身了代數學家行列。奇怪的是，埃爾米特竟認為初等數學是困難的。他在學校的成績很一般。
1842年下半年，埃爾米特20歲時參加了綜合工科學校的入學考試。但是成績僅僅名列第68名。這次考試成了這位年輕數學大師的“污點”，他日后的全部成功也未能消除。
埃爾米特在綜合工科學校只讀了一年，這一年，他把他的時間都用在了阿貝爾函數上。阿貝爾函數是當時數學的研究熱點和重點。他還結識了一位一流的數學家，劉維爾。
埃爾米特在阿貝爾函數方面的開拓性工作，在他21歲之前就開始了。1843年，埃爾米特給雅克比寫了一封信，
學習您關于從阿貝爾函數理論中產生的四重周期函數的論文，使我得出了一個定理，是關于這些函數的變量的分離的，類似于您給出的……得出由阿貝爾探討的方程根的最簡表示式的定理。
我大致解釋一下所論問題的性質。三角函數是有一個變量、一個周期的函數，
其中x是變量，2π是周期；阿貝爾和雅可比通過“逆轉”橢圓積分，發現了有一個變量、兩個周期的函數，比如說，
其中p和q是周期；雅可比發現了兩個變量、四個周期的函數，比如說，
其中a，b，c，d是周期。在三角學中早期碰到的一個問題是用sinx表示
其中n是任意整數。埃爾米特要解決的是有兩個變量四個周期的函數的相應問題；在埃爾米特的無與倫比的更困難的問題中，結果仍然是一個方程，關于這個方程，出人意料的是它能夠代數求解，也就是說，用根式求解。
埃爾米特不僅同雅克比分享了在阿貝爾函數方面的發現，而且給他寫了4封關于數論的長信。這些信件中的第一封是埃爾米特年僅24歲時寫的，開辟了新的領域（我們不久就將指出是在什么方面），僅僅這些信就足以確立埃爾米特為一名富有創造力的第一流數學家。
雅可比證明了下面的論斷∶有三個不同周期的單變量單值函數是不可能存在的。有一個周期或兩個周期的單變量單值函數可以存在。
單值函數對變量的每一個值，只取一個值。
埃爾米特宣稱，雅可比的這個定理給了他引進高等算術的思想。這些方法過于專業，無法在這里描述，但是可以簡單地指出其中的思想。
高斯意義下的算術，討論有理整數的性質。高斯特別研究了具有兩個或三個未知數的不定方程的整數解，例如在
中，a，b，c，m是任意整數，要求討論方程的全部整數解x，y。這里要注意的是，問題是確定的，并且得完全在有理整數域求解。要讓用于研究連續數的“分析”，研究這樣一個離散問題似乎是不可能的，而這正是埃爾米特所要做的。他從離散的系統表述開始，把分析應用于這個問題，最后在離散的領域得到結果。由于分析學比任何離散方法都發展得更為充分，因此埃爾米特的工作可與為中世紀的手工業引進現代機器相提并論。
在代數和分析這兩方面，供埃爾米特使用的方法，比高斯在寫《算術研究》時所能使用的方法有力得多。這些更現代的方法使埃爾米特能夠解決在1800年讓高斯困惑的問題。在一項進展中，埃爾米特趕上了高斯和愛森斯坦討論過的那種類型的一般問題，他至少開始了任意多個未知數的二次型的算術研究。
算術“型理論”的一般性質，可以從一個特殊問題的陳述中看出來。代替兩個未知量（x，y）的二次高斯方程
要求s個未知量n次的類似方程的整數解，其中n，s是任意整數，方程左邊的每一項都是n次的。埃爾米特敘述了他在仔細思考之后，怎樣看出了雅可比對于單值函數的周期性研究依賴于二次型理論中一些更深刻的問題，
在高斯先生給我們展現的這個無限廣闊的研究領域中，代數和數論似乎必然會融進同一階的分析概念，我們目前的知識還不足以讓我們形成一個有關它的精確想法。
對于x^3-1=0，理解
是既充分又必要的；對于x^7+ax+b=0，其中a，b是任意已知數，為使x可以用a，b明顯地表示出來，必須發明什么樣的“數”x呢？高斯提供了一類解答∶任意的根x是一個復數。但是這只是開始。阿貝爾證明了如果只允許作有限次的有理運算和開方，那么就不存在把x按a，b表示出來的顯式。我們將在稍后再回到這個問題；埃爾米特甚至在更早的時候，就在心里的某個地方產生了他的一個最偉大的發現。
這里可以提到埃爾米特的一項算術研究（雖然它相當專業），作為純數學的預言方面的一個例子。我們回想起高斯為了給雙二次互反性以最簡單的表述，把復整數引入高等算術中。然后狄利克雷討論了這樣一些二次型，其中作為變量和系數出現的有理整數，被高斯的復整數所代替。埃爾米特探討了這種情形的一般情況，在今天所說的埃爾米特形式中研究了整數的表示。這樣一種形式的一個例子（以兩個復變量x_1，x_2和它們的共軛代替n個變量的特殊情形）是
a_12和a_21是共軛的，且a_11，a_22是它們各自的共軛（因此a_11，a_22是實數）。非常容易就能夠看出，如果把所有的積都乘出來，整個形式是實的（沒有i）。
當埃爾米特發明這樣的形式時，他感興趣的是發現什么樣的數由這些形式表示。70多年后，人們發現埃爾米特形式的代數在數理物理學中，特別是在現代量子理論中，是不可缺少的。埃爾米特不知道，他的純數學會在他去世很久以后在科學上成為有價值的。
埃爾米特在代數不變量理論中的發明過于專業，無法在這里討論。我們介紹他在其他領域中的兩項驚人的成就。埃爾米特在兩個領域中發現了一些他全部工作中最令人吃驚的獨創性成果，這兩個領域是一般五次方程和超越數。他在第一個領域中發現的性質，清楚地表現在他的短論《論一般五次方程的解》的引言中：
大家知道，一般五次方程能夠由系數除平方根和立方根之外不用任何無理性確定的替換化簡為下面的形式，
這就是說，如果我們能夠解這個方程，那么我們就能解一般五次方程。
這個歸功于英格蘭數學家杰拉德（Jerrard）的卓越結果，是自阿貝爾證明了根式解不可能以來，在五次方程的代數理論中邁出的最重要的一步。阿貝爾證明的不可能性，表明了在尋找解答時，有必要引進某些新的分析元素（某種新的函數），因此，以我們剛剛提及的那個非常簡單的方程的根作為輔助量，似乎是很自然的。然而，為了證明把它嚴格地用作一般方程解中的一個基本元素是合理的，還得了解形式的這個簡單性是否能讓我們得出關于其根的性質的一些想法，掌握這些量的存在方式上特殊的和基本的東西，我們對這些量，除了知道它們不能用根式表示這一事實之外，什么也不知道。
現在很值得注意的是，杰拉德的方程以其極大地簡便運用于這項研究，并且在我們將要解釋的意義上，可能有一個真正的分析解。因為我們也許確實可以從與長期以來由前四次方程的解所表明的、我們特別專注地解不同的觀點，考慮方程的代數解的問題。
代替用一個包括多值根式的公式，表示被認為是系數的函數的、互相密切相聯的根系，我們可以試圖得到用多個互不相同的輔助變量的單值函數來分別表示的根，這些變量的個數有三次方程所用到的那么多。在這種情形下，所討論的方程是
如我們所知道的，只要用一個角（比如說A）的正弦表示系數a，就足以把方程的根分別表示為如下確定的函數
埃爾米特在這里回顧了三次方程的“三角解”。“輔助變量”是A；“單值函數”在這里是正弦函數。
現在的有關方程是
我們必須展示的是一個完全相似的事實。只是必須采用橢圓函數，而不是正弦和余弦函數……
然后，埃爾米特立即著手解一般五次方程，為此目的用了橢圓函數。要向非數學家解釋這個問題，幾乎是不可能的。打一個很不恰當的比方，埃爾米特發現了著名的“失去的和弦”，而當時沒有人對這樣一個無法捉摸的東西會存在于時空中的某處有過絲毫的猜疑。他的完全出人意料的成功轟動了數學界。更了不起的是，它開創了代數和分析學的一個新的部門，其中的主要問題是發現和研究那樣一些函數，按照這些函數能夠以有限形式明確地解出一般n次方程。目前所得到的最好結果，是埃爾米特的學生龐加萊得到的，他創造出了提供所需要的解的那些函數。這些函數實際上是橢圓函數的“自然”推廣。被推廣的那些函數的特征是周期性。
埃爾米特另一個轟動數學界的成果是，是證明了自然對數e的超越性，
e大約為2.718281828…。e在現時的數學（純數學和應用數學）中到處出現。“超越”的概念是極其簡單，也是極為重要的。一個系數是有理整數的代數方程的任何根，稱為代數數。關于代數數的詳細解釋可以看文章：最懂“整數”的人—克羅內克，最深奧的數學最終一定可以表示成整數。不是代數數的“數”就稱為超越數。
現在，給定任何根據某種確定規律構造的“數”，要問它是代數的還是超越的，是一個有意義的問題。例如，考慮下面簡單定義的數
其中指數2，6，24，120，…是相繼的“階乘”，即2=1×2，6=1×2×3，24=1×2×3×4，120=1×2×3×4×5，…。這個數是任何有理整系數代數方程的根嗎？但其答案是否定的。另一方面，由無窮級數
確定的數是代數數；它是99900x-1=0的根。
第一個證明某些數是超越數的人，是劉維爾，他在1844年發現了很廣泛的一類超越數，其中所有形為
的那些數，皆屬最簡單的超越數。但是要證明一個特定的數，如e或π，是超越數或不是超越數，是非常困難的。所以當埃爾米特在1873年證明了e是超越數時，數學界不僅十分高興，而且對證明的不可思議的精巧大為吃驚。
自埃爾米特那時以來，已經證明了許多數是超越數。1934年，年輕的俄國數學家亞歷克西斯·蓋爾方德（Alexis Gelfond）證明了一切類型為
的數是超越數，其中a不是0和1，b是任意的無理代數數。這解決了希爾伯特23問中的第7問。
埃爾米特在證明e是超越數后，慕尼黑大學的林德曼證明了π是超越數，他用的方法與埃爾米特證明e的方法非常相似。這樣就永遠解決了“化圓為方”的問題。從林德曼證明的中，推斷出不可能只用尺規畫出面積等于任何給定的圓的正方形，這個問題從歐幾里得時代開始，一直折磨著一代又一代的數學家。
附：關于e的超越性的證明（希爾伯特版）
首先，假設e是n次的代數數：
方程1：如果e是n次的代數數，它滿足這個方程。
我們用有理數逼近e的冪，定義了以下對象：
方程2
其中，
對于方程2中e的每一次方，有：
對于非常小的?函數，這個方程意味著所有e^t都非常接近一個有理數。現在我們將方程2代入方程1，并消去因子M，得到：
方程3
注意，方程1和方程3中的n是相同的量。方程3有兩個明顯的特征：
第一個括號內的表達式是一個整數，M使表達式不為零
在第二個表達式中，?將被選得足夠小，以至于表達式的絕對值< 1
式1
定義M和?
埃爾米特首先定義了M和?。首先，他將M定義為：
其中p為質數。質數p可以取為我們想要的任意大（但是M對于p的任意值都是整數）。其他的M和?的定義為：
方程4
我們現在繼續選擇p，以便滿足上面的性質1和2。
讓我們先求積分M的值，把分子上的二項式乘出來，就得到了
它有積分系數。把這個代入M，然后用
得到：
限定在大于n的質數上，我們馬上就會發現這個方程的第一項不能被p整除。但是，我們很快就會發現第二項可以。展開階乘：
因為M不能被p整除，所以方程3中的第一個括號也不能被p整除。現在考慮方程4中的第一個積分。引入變量y：
積分變成：
分子括號里的多項式有積分系數項從
經過幾個步驟，得到：
對于整數cs。每個M(k)都是一個能被p整除的整數，因此，方程3中的第一個括號不能被p整除。因此，我們得出結論，方程3的第一個括號中的項是一個非零整數。如果它是0，它就能被p整除，但我們得出的結論是不能。
剩下的最后一部分是證明，只要我們選擇一個足夠大的p值，證明式1是正確的。利用方程4，經過幾個步驟，我們發現：
如果這個二項式積的絕對值對x∈[0,n]有一個上界B，我們得到：
由于p→無窮時RHS→0，得證。
