17世紀最偉大的數學家——費馬，與牛頓相當，奠定了數論的基礎
17世紀最偉大的數學家，皮埃爾·德·費馬（Pierre Fermat，1601？-1665），過著繁忙的生活。盡管數學對他而言只是一個愛好，他卻在該領域取得了巨大的成就。費馬的研究涉及多個方面，包括積分、深奧的物理原理、解析幾何、算術和邏輯。在算術領域，費馬占據著舉足輕重的地位。他提出了一些關于素數的未解決問題，這些問題至今仍然困擾著數學家。費馬認為，有些定理之所以被認為是“重要的”，是因為它們具有深刻的智力價值，并能推動科學發展。作為純粹的數學家，費馬至少與牛頓不相上下。并且，牛頓的一生有近三分之一時間活在了18世紀，但費馬卻完全生活在17世紀。再者，牛頓把他的數學主要當做科學探索的工具。而費馬則不然，他雖然在將數學應用于科學，但純數學對他而言具有更強的吸引力。隨著笛卡兒在1637年公布了解析幾何，數學開始進入現代階段，而且在其后的很多年里仍然處在這樣的初級階段。發明微積分使牛頓作為一個純數學家的聲望達到頂點。而費馬在牛頓出生前13年，就想出并應用了微分的主要概念。至于笛卡兒和費馬，他們各自完全獨立地發明了解析幾何，在這個問題上他們旗鼓相當。笛卡兒的主要努力在于各種各樣的科學研究，對他的哲學的苦心經營。費馬從未像笛卡爾和帕斯卡那樣被關于上帝、人類和宇宙整體的哲學探討所吸引。在解決了他感興趣的微積分和解析幾何問題之后，費馬依然能夠將剩余的精力投入到他最熱愛的消遣——純數學。正是在這方面，他完成了他最偉大的成就，奠定了數論的基礎，并因此贏得了無可爭議的聲譽。很快我們將看到，費馬與帕斯卡共同創立了概率論的數學理論。如果所有這些一流的成就還不足以讓費馬在純數學領域成為他那個時代的王者，那么我們不禁要問，還有誰能做得更多？費馬是一個天生的創造者。嚴格意義上說，他在科學和數學領域屬于業余愛好者。然而毫無疑問，他在科學史上成為了最重要的業余愛好者之一。生平簡介
費馬于1601年8月出生在法國博蒙-德洛馬涅。他在數論和數學方面的杰出成就，并非源于他所受的教育，因為當時他所取得突破的領域還未被開發，他所學的內容幾乎不可能啟發他。在他的實際生活中，值得一提的幾個事件包括：他30歲時在圖盧茲擔任晉見接待官；1648年，他成為圖盧茲地方議會的議員，并在這個職位上工作了17年；最后，于1665年1月去世，享年65歲。我們現在扼要敘述一下費馬在微積分的發展中所起的作用。在微分學中，與幾何學等價的一個基本問題是在給定點上求曲線的切線。這里所說的“連續曲線”是指一條光滑且無間斷或突躍的曲線。簡單來說，這個問題關注的是如何找到一條直線，它僅在給定的點上與這樣一條連續曲線相接觸，形成相切的關系。費馬和其他微積分創始人使用幾何和物理的直觀思考來解決曲線上某點的切線問題。他們的方法是：- 在想象中讓點Q沿著曲線向點P滑動，直至Q與P重合。
當點Q靠近點P時，連接P和Q的直線PQ會逐漸接近曲線在點P處的切線。當Q與P完全重合時，直線PQ就變成了曲線在點P的切線。這種方法利用了幾何直觀來解決微積分中的問題。下一步就是 將幾何語言翻譯成代數和分析的過程，以求解曲線上某點的切線問題。- 首先，設定點P的坐標為(x, y)，點Q的坐標為(x+a, y+b)。
- 觀察圖形，可以看出弦PQ的斜率等于b/a。這個斜率可以理解為弦PQ相對于x軸的傾斜程度。
- 要找到點P處的切線斜率，需要計算當點Q接近點P（即a和b趨近于0）時，b/a的極限值。這個極限值就是切線的斜率。
這個過程將幾何問題轉換成代數問題，從而更容易地求解曲線在某點處的切線。這并不一定就是費馬畫切線的過程，但是他的過程大體上與上面描述的過程相同。為什么求解曲線上某點的切線值得關注。動力學中一個基本概念是移動質點的速度。我們可以繪制一個描述質點運動的線（直線或曲線），它展示了質點在單位時間內通過的距離。在這條線上任意給定點處的切線實際上表示質點在該點的瞬時速度。質點運動得越快，切線斜率越陡。實際上，這個斜率衡量了質點在運動路徑上任何點的速度。當將運動問題轉換為幾何問題時，它實際上變成了在曲線上找到給定點的斜率的問題。還有類似的問題，如求解曲面上的切平面（在力學和數理物理中也具有重要意義）。這些問題都需要用微分學來解決，而我們已經嘗試描述了微分學的基本問題，就是在費馬和他的繼承者面前所呈現的樣子。在中學教育中，學生們通常會學習到這些知識。在繪制函數y=f(x)的圖形時，如果圖形上有極大或極小點，我們會發現在這些極值點處，切線將平行于x軸，即切線斜率為零。因此，當我們尋找給定函數f(x)的極值時，我們需要解決曲線y=f(x)斜率問題。在找到一般點(x, y)處的斜率后，令斜率的代數表達式等于零，便可找到該極值點的x值。這就是費馬在1628-1629年發現的極大極小方法，10年后才把這個方法給了笛卡兒。費馬極值方法在科學中有廣泛的應用。例如，在力學中，拉格朗日發現了當某個關于物體位置和速度的函數取極值時，它提供了系統的運動方程，反過來又可以確定給定時刻的運動。在物理學中，有許多類似的函數，每個函數都概括了數理物理學的一個廣泛分支。希爾伯特在1916年為廣義相對論發現了一個這樣的函數。費馬將他的極值方法成功應用于光學。值得注意的是，這一特殊發現被證明是從1926年開始發展的新量子理論的基礎，特別是在數學方面的波動方程。費馬還發現了通常稱為“最小時間原理”的原理。根據這個原理，光線在從點A傳播到點B的過程中，會自動選擇一條使傳播時間最短（極小）的路徑。在這個過程中，光線可能會經歷反射和折射。折射是指光線在經過不同介質（如從空氣進入水中）時發生彎曲。這個原理表明，盡管光線在傳播過程中可能經歷各種扭曲、轉向和反射，但它總會選擇一條讓從A到B所需時間最短的路徑。費馬將解析幾何從二維擴展到了三維，這一擴展對于當時的數學家并不顯而易見。他還在一個關于曲線分類的基本論點上修正了笛卡兒的理論。雖然兩人在費馬的切線方法上發生爭論，但最終費馬獲得了勝利，因為他是正確的。有趣的是，盡管長時間沒有明確證據表明牛頓了解費馬的微積分成果，但在1934年，L·T·莫爾在其關于牛頓的傳記中提到了一封信。在這封信中，牛頓明確表示，他從費馬的切線方法中獲得了微分法的啟示。數論
我們現在轉向費馬最偉大的工作——數論。希臘人把我們通常認為的“算術”分成了兩個單獨的部分，即邏輯學和算術。邏輯學是關于計算在一般商業和日常生活中的實際應用；算術就是在費馬和高斯意義下的算術，他們力圖去發現關于數的一些性質。算術研究整數之間的相互關系，這在數學中可能是最復雜的問題。為了解決這些問題，數學家不得不發明代數和分析中的深奧的定理。這些看似無用的研究在其他數學領域產生了豐富的應用，與物理世界產生了直接聯系。專業代數學家開發了新方法來解決代數方程理論，這些方法直接源于解決費馬大定理。下面要討論的，在費馬的一生中是非常重要的，在數學史上也是如此。考慮一組數3，5，17，257，65537，它們都屬于一個特殊類型的“序列”，因為它們都是用同一個簡單的過程生成的，費馬宣稱，序列中所有的數都是素數（被稱為費馬素數）。然而，當n大于4時，費馬素數的素數性質就不再成立。例如，F_5 = 2^(2^5) + 1 = 2^32 + 1 = 4294967297，它可以被641整除，因此不是素數。費馬素數的研究在數學領域具有重要意義，并為后來的研究提供了基礎。在18世紀末的十年里，數學史上的幾個最重要事件之一發生了，這在某種程度上歸因于費馬素數。其中一件是構造正多邊形。古希臘人已經發現如何僅使用直尺和圓規構造正3，4，5，6，8，10和15邊形。接下來的挑戰是用尺規構造正7，9，11，13等邊形。許多人嘗試過，但沒有成功，因為這樣的方法是不存在的，只是他們并不知道這是不可能的。在2200多年后，那個在數學和語言學天才邁出了重要的一步。這位年輕人證明了用直尺和圓規構造奇數邊的正多邊形是可能的，但只有在邊數是費馬素數或由不同費馬素數相乘得到的數時才可能。因此，正如古希臘人所知，可以構造正3，5和15邊形，但不能構造正7，9，11或13邊形。正是這個發現，使得這位年輕人選擇了數學而非語言學作為他的畢生事業。他的名字叫高斯。費馬小定理
如果n是任意整數，p是任意素數，那么n^p-n可以被p 整除。例如取p=3，n=5，我們得到5^3-5是120；對于n=2，p=11，我們得到2^11-2是2046=11×186。在數學中，有些定理被認為是“重要的”，而其他一些卻被認為是相對不重要的。有幾個標準可以用來評估定理的重要性：首先，這個定理應該能應用于數學的其他領域；其次，它應該激發算術或廣義數學的研究；第三，它應該在某種程度上具有普遍性。費馬定理滿足了這些要求：它在數學的許多領域中具有不可或缺的作用，包括群論，群論又是代數方程論的基礎；它具有普遍性，因為它描述了所有素數的一個性質，這種普遍性陳述是非常難以發現的。費馬以他的一貫方式陳述了關于n^p-n的定理，但沒有給出證明。第一個證明是萊布尼茨給出的。高等算術為我們提供了豐富的有趣事實和真理，這些事實和真理并非孤立存在，它們之間存在著緊密的內在聯系。隨著我們知識的積累，我們不斷在這些事實和真理之間發現新的、有時出人意料的聯系。高等算術中的很多定理因為具有以下特性而更具吸引力：具有簡單特征的重要命題往往容易通過歸納法發現，但這些特征卻很深奧，我們往往需要經過許多徒勞的努力才能找到它們的證明。即使我們確實找到證明，通常也是通過一些復雜且繁瑣的過程，而更簡單的方法可能需要很長時間才能找到。
高斯提到的這些有趣的事實之一是費馬發現的關于數的最美妙的東西：每一個形式為4n＋1的素數是兩個數的平方和，并且這種和的形式是唯一的。例如，37被4除有余數1，所以37一定是兩個整數的平方和。通過試驗，我們發現確實37=1＋36=12＋62，并且沒有其他兩個數x，y能滿足37=x2＋y2。費馬也沒有留下這個定理的證明。偉大的歐拉在1749年首次證明了這個定理，花了7年時間。費馬大定理
任何玩數字游戲的人很可能會注意到27=25＋2這個奇妙的事實，因為27和25都是某個的數的冪，即這樣我們就觀察到，y^2=x^2＋2有一個整數x，y的解；這個解是x=5，y=3。讀者現在可以證明y=3，x=5是滿足這個方程的唯一整數。這個證明并不容易。事實上，對付這件表面上幼稚的事，比掌握相對論需要更多的天賦。方程y^2=x^2+2是一個丟番圖方程，指一類只尋求整數解的代數方程。與普通代數方程不同，丟番圖方程的特點是，我們對這類方程只關心整數解，而不關心實數解或復數解。y=3，x=5這個解是"由檢查"看出的；問題的困難在于證明沒有其他的整數y，x能滿足這個方程。費馬證明了沒有其他的解，但像通常那樣沒有發表他的證明。直到他死后好多年，才找到了一個證明。費馬有一個習慣，在讀巴歇的《丟番圖》時，他把思考的結果簡略地記在書頁的空白處。空白處不適宜寫下證明。這樣，費馬在評論丟番圖的算術的第2卷上第8個問題時，該問題要求方程x^2＋y^2=a^2的有理數解，他寫下了如下的話：反之，不可能把一個數的立方分解成兩個數的立方和，把一個數的四次方分解成兩個數的四次方的和，或者更一般地說，把大于2的任意次冪的數分解成兩個同次冪數的和：我已經發現了（這個一般定理的）一個真正奇妙的證明，但是這個空白太窄了，寫不下。
這就是他在大約1637年發現的他的著名的費馬大定理。把這段話用現代語言敘述出來就是：如果n是大于2的整數，則不存在這樣的整數x，y，a，使得費馬本人用他的無窮下降法給出了x^4+y^4=d^4不可解的一個證明。費馬有沒有弄錯的可能呢？在1994年，英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）成功證明了費馬大定理。懷爾斯的證明是通過將費馬大定理與其他復雜的數學概念聯系起來，如橢圓曲線和模形式。這一證明是一個巨大的成就，不僅解決了一個長期未解的問題，而且還為數學的其他領域帶來了深遠的影響。費馬大定理在歷史上的著名性和證明過程的復雜性使其成為數學領域的一個重要里程碑。
本站僅提供存儲服務，所有內容均由用戶發布，如發現有害或侵權內容，請
點擊舉報。
