圖1：規范場論的大師們
和量子物理類似，規范場論（Gauge Theory）不是一個人的功勞，而是許多位大師級科學家們集體智慧的結晶，是物理與數學、真與美的結合。
撰文 | 張天蓉
責編 | 寧 茜、呂浩然
赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）是德國數學家及物理學家，對數學和理論物理做出了杰出的貢獻，被公認為是20世紀最有影響力的數學家之一。
數學家多少有幾分詩人氣質，外爾就給人這樣的印象。也許是在神圣的數學王國中遨游，長期受“美”的熏陶所致，他時不時會冒出幾句詩意的話語。外爾曾經用“蘇黎世一只孤獨的狼”來描述被自己崇拜的偶像愛因斯坦批評時，那種失望和迷茫的心態。這是外爾研究統一場論時的一段故事。
外爾對“美”有一種獨特的欣賞方式，他特別欣賞自然界的對稱美。外爾上世紀50年代初在普林斯頓大學作了一系列有關對稱的演講，后來寫成一本名為《對稱》的科普小書，廣受讀者歡迎。規范理論的誕生，便與外爾追求“對稱統一美”的工作有關。
外爾所著的《對稱》一書
外爾曾任蘇黎世聯邦理工學院數學系的系主任，在那里和年長幾歲的愛因斯坦是同事，也深受愛因斯坦的影響。在他1918年的《空間，時間，物質》一書中，外爾回溯了相對論物理的發展。同一年，他引入了規范（gauge，即尺度變換）的概念，并給出了規范理論最早的例子。
1933年納粹執政時，外爾也和愛因斯坦一樣，相繼避難于美國，成為普林斯頓高等研究院早期的重要成員。愛因斯坦追求統一場論數年未果，外爾則企圖將愛因斯坦有關統一的想法在某種程度上數學化。外爾用規范變換作了一個不成功的嘗試：企圖用時空的幾何性質來統一描述電磁場和引力場。這雖然是一個錯誤的模型，但卻開啟了規范場理論進入物理學的大門。
四種相互作用中的強、弱相互作用僅存在于微觀世界，人們在日常生活中最熟悉的、科學家們研究最成熟的，是引力和電磁力。當年的外爾，深切感受到廣義相對論及麥克斯韋電磁理論既真又美的特點。因此，外爾首先想到的，便是用他欣賞的規范理論，將這兩者統一起來。
所謂“統一”，實質上就是尋求不同理論之間的某種對稱性，而規范不變便是系統某種內在對稱性的數學表達。
對稱的意思就是在某種變換下不變，就好像外爾《對稱》一書封面上的蝴蝶，沿中線轉180度還是一樣的。因而表述它的變量具有冗余性，有某些多余的東西。例如：我們說雪花的形狀是六角對稱的，意思是說當我們將它以中心點旋轉60度、120度、180度等角度時，它的形狀不變，因而可以只用它1/6的形狀，便能描述整體。將這個概念用到物理上，即物理理論中的某種內在對稱，可以被描述為規范理論中的“規范不變”。
電路中 “電壓” 的概念，是物理理論中具有冗余變量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流電是危險的，接觸到便會置人于死地，幾萬伏特的高壓線就更不用說了。但是，你可能也注意到立于高壓線上的鳥兒，卻似乎一點危險也沒有感到，仍然能夠自由自在地活蹦亂跳，那是什么原因呢？
這是因為用“絕對的電壓值”來描述電力系統具有某種冗余性。因為電力系統對絕對電壓值的“平移”具有對稱性。絕對電壓V0并不是真正起作用的物理量，鳥兒兩個腳的V1和V2之間的“電壓差”V（V=V1-V2）才具有實在的物理效應。也就是說，用兩個數值（V1、V2）來表示系統的危險性是多余的，只需要一個數值V就足夠了。這也就是為什么在電路中（包括電子線路），“接地”的概念是很重要的原因。
用物理語言解釋以上例子，可以說成是“電壓具有平移規范對稱性”。
重力場也具有與上述電力系統類似的平移規范對稱性。就像父母不在乎孩子從五樓房間的床上跳到地板上，但絕對不允許孩子從五樓的平臺跳到樓下的草地上。這兒的物理效應也是這樣，不管“絕對高度”，只取決于高度的相對差距而已。
同樣類似的“規范”概念可以搬到經典電磁場中，只不過比上述的“平移規范”具有更為復雜的形式。平移規范對稱性是整體規范變換的實例，可以用電路接地，即定義一個整體的零點“地”來解決。電磁場規范變換則是局部時空場的變換，即隨著時空點的不同而不同。
根據麥克斯韋電磁理論，電磁場可以用電場E和磁場H來描述，也可以用考慮相對論效應的4維電磁勢A來更為方便地描述。但是，根據經典電磁理論，只有電場和磁場才與物理效應有關，電磁勢與物理效應不是一一對應的，它具有一定冗余性，就像“絕對電壓”很高的值并不能電死鳥兒一樣，電磁勢的值不完全等效于物理作用。經典電磁理論中，對于同樣的電場和磁場，電磁勢A不是唯一的，如果四維電磁勢A作如下規范變換時，電場E和磁場H保持不變：
其中θ是一個任意函數，這說明對于描述同樣的電磁場，四維矢量勢A不唯一。上文的規范變換一詞，便反映了電磁系統用4維矢量勢來表述電磁場時的冗余性。
外爾認為可以“利用”電磁勢的這個冗余性。他的做法是：當四維電磁勢A作如（1）的規范變換時，給廣義相對論的時空黎曼度規乘上一個尺度（規范）因子λ(x) = eθ(x) ：
如此得來的“新度規”，在形式上可以包容電磁場，數學上看起來非常美妙，閃耀著新思想的火花。然而，當外爾興致勃勃地將他的文章寄給愛因斯坦后，得到的反饋卻不咋地。愛因斯坦一方面贊賞外爾幾何是“天才之作、神來之筆”，一方面又從物理的角度，強烈批評了這篇文章脫離了物理的真實性。
因為從物理上講，外爾在度規函數中引入一個任意的函數λ(x)，即相當于在4維時空中的每一個點都可以有任意不同的長度單位和時間單位，也就是有任意不同標度的鐘與尺，好比我在家里的臥室里測量結果是“高2米、年齡20歲”，但到了廚房就被測量成了“高4米、年齡10歲”，這在物理上是不可能被接受的。
因此，外爾企圖統一電磁和引力的模型失敗了，盡管它具有數學之美，卻失去了物理之真。
愛因斯坦的反對意見讓外爾失望，卻也進一步激勵了他求真求美的興趣。外爾的好友薛定諤（Erwin Schr?dinger，1887 -1961）對量子力學的研究也深深影響了他。后來，外爾帶著“量子”的新武器，再次返回到規范場這個課題，并將其原來的理論作了如下兩點改變：
1. 規范變換不是作用在度規張量gij上，而是作用在電子標量場f上;
2. 在原來變換中尺度因子的指數上，乘了一個i，也就是-1的平方根。
這一次，聰明的外爾回避了“老大難”的引力場統一問題，轉而研究電磁場和電子的相互作用。此外，外爾將原來的規范因子，乘上了虛數i，改變成了電子波的“相”因子，意味著引入了電子的波動性，進入了量子力學。
在上述兩點改變下，外爾的電磁規范變換成為以下由兩個變換組成的聯合運算：
f → eiqθ(x)f ， A → A ? iq? θ(x)（3）
圖2：經典規范變換和量子規范變換之不同
圖2的（a）和（b）分別直觀地說明了經典規范變換（1）和量子規范變換（3）的不同。經典電磁場的規范變換，只是電磁勢A自己變換，然后使得E和B變化而引起電子所受作用力F的變化，電子完全處于被動的位置。量子理論中的規范變換，將電子場f的相因子變換，以及電磁勢A的補償變換結合起來，電子不再是被動的，而是通過電子場與電磁場相互作用，兩者一起變換。
公式（3）中，為了更簡單明了，將電子的場函數f取為標量函數，但實際上，它是代表薛定諤方程（或狄拉克方程）的解，不是標量。此外，量子規范變換的公式（3）僅與粒子的電荷q有關。實際上，物理學家為了方便，一般采用一種特別的單位，稱之為自然單位，其中令約化普朗克常數
改進后的外爾規范理論，已經不是原來的尺度變換理論，而變成了“相因子變換”理論。它沒有了愛因斯坦當年所批評的“鐘和尺”不確定的問題，被成功地應用于量子電動力學中，為實驗所精確證實。量子化之后的四維矢量勢A，也正確地描述了與電子相互作用的電磁場。
在量子理論中，電子場f，或者是波函數f(x)表示的是電子的幾率幅，它的絕對值的平方是電子在時空中某一點出現的幾率，而復數相位的絕對大小沒有物理意義，有意義的只是不同時空點之間的相位差，它影響到幾率波的干涉效應。因此，規范變換中將幾率幅乘上一個相因子eiqθ(x)，意味著幾率幅的相位變化了一個角度qθ(x)，對計算幾率絲毫沒有影響。
在規范變換作用下，如果能使得物理規律保持不變而引入的場，被稱之為規范場。如果物理規律符合量子理論，便是量子化的規范場。
因此，符合變換（3）的電磁場是第一個量子規范場（光子場）。根據諾特定理，對稱與守恒相對應。量子化電磁場的規范不變對稱性，對應于電荷（q）守恒定律。使用群論的語言，相因子對稱也就是U(1)群對稱。酉群U(1)是1維復數群，與實數2維空間的旋轉群SO(2)同構，也就是說，電磁規范場符合U(1)對稱，即“平面上的旋轉對稱”。
二維旋轉U(1)是可交換的，被稱為阿貝爾群。大多數對稱性對應的是更為復雜的、不能交換順序的非阿貝爾群。例如，三維旋轉群就是不能交換順序的“非阿貝爾”群。當物理學家們試圖將電磁規范場推廣到另外兩種相互作用（強、弱）時，便碰到了非阿貝爾規范場（non-Abelian gauge field）的問題。這個問題最后被楊振寧（Chen-Ning Yang，1922-）和米爾斯（Robert Laurence Mills，1927-1999）首先突破。因此，之后便將非阿貝爾規范場稱為楊-米爾斯場（Yang-Mills field）。
1949年春天，楊振寧前往普林斯頓高等研究院作研究。同一年，外爾退休離開了普林斯頓，楊振寧搬進了外爾的舊居，并成為高等研究院的永久成員。
楊振寧不僅接租了外爾的房子，還接替了外爾在理論物理界的位置，按照戴森（Freeman Dyson，1923 -2020）的說法，“成為了理論物理界的一只領頭鳥”[1]。更有趣的是，楊振寧對外爾在規范理論方面的工作非常感興趣。這個共同的興趣——對物理真及數學美的追求，激勵他之后對外爾的規范理論作了一個漂亮的推廣。
四種相互作用中的電磁力和引力是長程力，作用范圍大，因此日常生活中就能感覺到，另外兩種是短程力，只表現于微觀世界。弱力在beta衰變中存在，費米（Enrico Fermi，1901-1954）在20世紀30年代對其作出了最早的描述。對強相互作用的認識始于1947年發現與核子作用的π介子及其它“強子”。強作用比弱相互作用的力程長（約為10-15m），作用最強（電磁力的137倍），它是核子（質子或中子）之間的核力，是使核子結合成原子核的相互作用，因而成為當時研究者的首選。
強相互作用比其他三種基本作用有更大的對稱性，需要有新的物理學說來解釋此現象。這點正好符合了楊振寧要推廣規范場的想法。
1953-1954年，楊振寧暫時離開高等研究院，到紐約長島的布魯克海文國家實驗室（Brookhaven National Laboratory , BNL）工作了一段時期，正好和來自哥倫比亞大學的博士生米爾斯使用同一個辦公室。布魯克海文實驗室有當時世界上最大的粒子加速器，世界各地也不斷傳來多種介子被陸續發現的消息，這些實驗使得兩位物理學家既振奮又雄心勃勃，楊振寧認為迫切需要一個描述粒子間相互作用的有效理論，他對規范理論的思考也有了重大的突破。他和米爾斯認識到描述同位旋對稱性的SU(2)是一種“非阿貝爾群”，與外爾的電磁規范理論的對稱性U(1)完全不同，需要進行不同的數學運算。
比如，將四維電磁矢量勢A，推廣到楊-米爾斯場的情況時，勢場用B來表示。A是電子場的勢，B是楊-米爾斯場的勢。因為楊-米爾斯場描述的對象是兩個分量的同位旋， 與其相對應的B 也不是原來類似A的矢量場了，而是成為2x2的矩陣場B。而二維矩陣是不對易的，因而，在相應的張量Fmn表達式中需要加上一項對易子，見圖3。
楊振寧和米爾斯認識到這點，加上對易子一項。如楊振寧在回憶中說：“我們知道我們挖到寶貝了！”[2]。通過兩人卓有成效的合作，他們在《物理評論》上接連發表了兩篇論文，提出楊-米爾斯規范場論。
寄出文章之前，1954年的2月，楊振寧應邀到普林斯頓研究院作報告，正逢泡利在高研院工作一年。當楊在黑板上寫下他們將A推廣到B的第一個公式時，“上帝鞭子”泡利開始發言了：“這個B場對應的質量是多少？” ，急得楊振寧一身冷汗，因為這個問題一針見血地點到了他們的“死穴”。之后泡利又問了一遍同樣的問題，楊只好回復說事情很復雜，泡利聽后便冒出一句他常用的妙語：“這是個很不充分的借口”。當時的場景使楊振寧分外尷尬，報告幾乎做不下去，虧得主持人奧本海默（Julius Robert Oppenheimer， 1904-1967）出來打圓場，泡利方才作罷，之后一直不語。
泡利尖銳的評論，說明他當時已經思考過推廣規范場到強弱相互作用的問題，并且意識到了規范理論中有一個不那么容易解決的質量難點。因為規范理論中的傳播子都是沒有靜止質量的，否則便不能保持規范不變。在電磁規范場理論中，作用傳播子是光子，光子正好本來就沒有靜止質量。但是，強相互作用不同于電磁力，電磁力是遠程力，強弱相互作用都是短程力，短程力的傳播粒子一定有質量，這便是泡利當時所提出的問題。這個質量的難題，讓規范理論默默等待了20年。
從上一篇的介紹可知，之后的希格斯機制（Higgs Mechanism），解決了這個質量問題。
當年楊-米爾斯理論的原意是要解決強相互作用問題，盡管這個目的沒有立即達到，但卻構造了一個非阿貝爾規范場的模型，為所有已知粒子及其相互作用提供了一個框架和基礎。
史蒂芬·溫伯格（Steven Weinberg，1933-）與謝爾頓·格拉肖（Sheldon Glashow，1932-）、及阿卜杜斯·薩拉姆（Abdus Salam，1926-1996），用規范理論解決了弱電統一問題U(1) *SU(2)，由此3人共同獲得了1979年的諾貝爾物理學獎（見下一篇）。
類似于量子電動力學（QED），強相互作用可被基于SU(3)規范對稱性的量子色動力學 （QCD）描述。因此，在眾多物理學家們的努力下，將除了引力之外的電磁及強弱相互作用，用規范理論（對稱群U(1) *SU(2)*SU(3)）統一起來，并在此基礎上建立了我們下一篇將介紹的標準模型。即使是尚未統一到標準模型中的引力，也完全可以包括進經典規范場的理論之中。
楊-米爾斯規范理論，不僅僅是物理學中統一理論的基礎，還頗受數學家們的青睞，對于純粹數學的發展，起到了一定的推動作用。
規范場論中的規范勢，恰是數學家在20世紀30-40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯絡。這個聯系激起了數學家對規范場方程進行了許多深入的研究。
邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，1929-2019）是黎巴嫩裔英國人，他在1966年榮獲菲爾茲獎（Fields Medal），被譽為當代最偉大的數學家之一。
阿蒂亞的早期工作主要集中在代數幾何領域。70年代后他的興趣轉向規范場論，著力研究瞬子和磁單極子的數學性質。他出版的專題文集《楊-米爾斯場的幾何學》（Geometryof Yang-Mills Fields），使眾多數學家對規范場日益重視。近30年來，在量子場論和弦理論的研究中，他對低維拓撲和無窮維流形幾何的研究，深刻影響了愛德華·威滕（EdwardWitten，1951-）等數學物理學家。
1990年的國際數學家大會有四位菲爾茲獎獲獎者：威滕、德林菲爾德（V.Drinfel'd，1954-）、瓊斯（Vaughan Jones，1952-2020）、森重文（Shigffumi Mori，1951-）。除了森重文，其他三人的工作都和楊-米爾斯場有關。其中，威滕是理論物理學家，對物理統一理論做出了杰出的貢獻，我們將于以后介紹他對弦論的杰出貢獻。
