第7講 正弦定理與余弦定理
[學生用書P82]
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內容
＝＝＝2R
(R為△ABC外接圓半徑)
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
變形形式
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形中常用的面積公式
(1)S＝ah(h表示邊a上的高)；
(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C；
(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．
1．辨明兩個易誤點
(1)在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現一解、兩解或無解，所以要注意分類討論．
(2)在判斷三角形形狀時，等式兩邊一般不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解．
2．余弦定理的推導過程
如圖，設＝a，＝b，
＝c.
則c＝a－b，
所以|c|2＝(a－b)2
＝a2－2a·b＋b2
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cosC.
即c2＝a2＋b2－2abcos C.
同理可證a2＝b2＋c2－2bccos A.
b2＝c2＋a2－2cacos B.
3．三角形解的判斷
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形
關系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的個數
一解
兩解
一解
一解
1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，則a等于( )
A．3 B．6
C．2 D．3
B [解析] 由正弦定理得＝，
所以a＝＝＝6.
2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，則A＋C＝( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
B [解析] cos B＝＝＝.
所以B＝60°，所以A＋C＝120°.
3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形( )
A．無解 B．有兩解
C．有一解 D．解的個數不確定
B [解析] 因為＝，
所以sin B＝·sin A＝×sin 45°
＝.
又因為a<b，所以B有兩解．
4．已知a、b、c分別為△ABC三個內角A、B、C的對邊，若cos B＝，a＝10，△ABC的面積為42，則c＝________．
[解析] 依題意可得sin B＝，又S△ABC＝acsin B＝42，則c＝14.
[答案] 14
5．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，則＝________．
[解析] 在△ABC中，∠A＝，
所以a2＝b2＋c2－2bccos，即a2＝b2＋c2＋bc.
因為a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，
所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.
[答案] 1
利用正、余弦定理解三角形(高頻考點)[學生用書P83]
利用正、余弦定理解三角形是高考的熱點，三種題型在高考中時有出現，其試題為中檔題．
高考對正、余弦定理的考查有以下兩個命題角度：
(1)由已知求邊和角；
(2)解三角形與三角函數結合．
[典例引領]
(1)(2016·高考全國卷丙)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則cos A＝( )
A. B.
C．－ D．－
(2)(2016·高考全國卷甲)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________．
【解析】 (1)設△ABC中角A，B，C的對邊分別是a，b，c，由題意可得a＝csin ＝c，則a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，則b＝c.由余弦定理，可得cosA＝＝＝－，故選C.
(2)因為A，C為△ABC的內角，且cosA＝，cos C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.
【答案】 (1)C (2)
利用正、余弦定理解三角形的應用
(1)解三角形時，如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
(2)三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．
[題點通關]
角度一 由已知求邊和角
1．(2017·蘭州市實戰考試)在△ABC中，a，b，c分別是內角A、B、C的對邊．若bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝，則b＝( )
A．14 B．6
C. D.
D [解析] bsin A＝3csin B?ab＝3bc?a＝3c?c＝1，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故選D.
角度二 解三角形與三角函數結合
2．(2017·河北省五校聯盟質量檢測)已知銳角△ABC中內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a2＋b2＝6abcos C，且sin2C＝2sin Asin B.
(1)求角C的值；
(2)設函數f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)，且f(x)圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f(A)的取值范圍．
[解] (1)因為a2＋b2＝6abcos C，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2abcos C，
所以cos C＝，又sin2C＝2sin Asin B，則由正弦定理得c2＝2ab，
所以cos C＝＝＝，又因為C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)f(x)＝sin－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，則f(A)＝sin，
因為C＝，所以B＝－A，因為0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，
所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范圍是(0，]．
利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀[學生用書P83]
[典例引領]
(1)設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
(2)已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若＋＝2c，則△ABC是( )
A．等邊三角形 B．銳角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
【解析】 (1)由正弦定理得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，則sin(B＋C)＝sin2A，由三角形內角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC為直角三角形．
(2)因為＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，當且僅當sinA＝sin B時取等號，所以2sinC≥2，即sin C≥1.
又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因為sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形為等腰直角三角形，故選C.
【答案】 (1)A (2)C
若將本例(1)條件改為“2sinAcos B＝sinC”，試判斷△ABC的形狀．
[解] 法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sinAcos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因為－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC為等腰三角形．
法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得
2a·＝c?a2＝b2?a＝b，
故△ABC為等腰三角形．
判斷三角形形狀的常用技巧
若已知條件中有邊又有角，則
(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
(2)化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．
[通關練習]
1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，則△ABC的形狀是( )
A．兩直角邊不等的直角三角形
B．頂角不等于90°或60°的等腰三角形
C．等邊三角形
D．等腰直角三角形
C [解析] 由2A＝B＋C，知A＝60°.
又cos A＝，
所以＝，
所以b2＋c2－2bc＝0，即(b－c)2＝0，
所以b＝c.故△ABC為等邊三角形．
2．在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求角A的大??；
(2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀．
[解] (1)由題意知，
根據正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.(*)
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，
所以A＝120°.
(2)由(*)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，故sinB＝sin C＝.
因為0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.
所以△ABC是等腰鈍角三角形．
與三角形面積有關的問題[學生用書P84]
[典例引領]
(2017·高考全國卷乙)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周長．
【解】 (1)由題設得acsin B＝，即csin B＝.由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由題設及(1)得cosBcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由題設得bcsin A＝，即bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.
故△ABC的周長為3＋.
與三角形面積有關問題的解題策略
(1)求三角形的面積．對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個角就使用含哪個角的公式．
(2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化．
(3)求有關三角形面積或周長的最值(范圍)問題．一般轉化為一個角的一個三角函數，利用三角函數的有界性求解，或利用余弦定理轉化為邊的關系，再應用基本不等式求解．
(2017·重慶第一次適應性測試)在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin 2A.
(1)求A；
(2)設a＝7，b＝5，求△ABC的面積．
[解] (1)由cos(B＋C)＝－sin 2A可得，
－cos A＝－sin 2A，
所以cos A＝×2sin Acos A，因為△ABC為銳角三角形，所以cosA≠0，故sin A＝，從而A＝.
(2)因為A＝，故cos A＝，由余弦定理可知，
a2＝b2＋c2－2bccos A，即49＝25＋c2－5c，
所以c2－5c－24＝0，
解得c＝－3(舍去)，c＝8，
所以△ABC的面積為bcsin A＝×5×8×＝10.
[學生用書P85])
——正、余弦定理的應用
(本題滿分12分)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面積為3，求b的值．
[思維導圖]
(1)
(2)
(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，
所以－cos 2B＝sin2C.(3分)
又由A＝，即B＋C＝π，得
－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，
解得tan C＝2.(6分)
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得
sin C＝，cos C＝.(8分)
因為sin B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝.(9分)
由正弦定理得c＝，(10分)
又因為A＝，bcsin A＝3，
所以bc＝6，(11分)
故b＝3.(12分)
(1)本題是解三角形與三角恒等變換的結合，求解中首先利用正弦定理把邊的關系轉化為三角函數關系，再利用恒等變換，再次應用正弦定理，求解所求問題．
(2)計算準確，爭取得滿分
①公式運用要準確，這是計算正確的前提．
②算數要準確無誤，尤其注意正、負號的選擇，計算時要盡量利用學過的公式簡化計算過程．
[學生用書P280(獨立成冊)]
1．(2017·蘭州市實戰考試)△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，則cos C＝( )
A. B．－
C. D．－
B [解析] 由題意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故選B.
2．(2017·重慶適應性測試(二))在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，則△ABC的面積為( )
A. B.
C. D.
B [解析] 依題意得cos C＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面積等于absin C＝××＝，選B.
3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若＜cos A，則△ABC為( )
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．等邊三角形
A [解析] 已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sinBcos A，即sin B·cos A＋cos Bsin A－sin Bcos A＜0，所以cosBsin A＜0.又sin A＞0，于是有cosB＜0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．
4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，則的值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [解析] 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，因為a＝4，b＝5，c＝6，
所以＝＝2··cos A＝2××＝1.
5．在△ABC中，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，則的值為( )
A. B.
C．2 D．4
C [解析] 在△ABC中，由bsin A－acos B＝0，
利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，
所以tan B＝，故B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，
即b2＝(a＋c)2－3ac，
又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.
6．(2017·哈爾濱一模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b＝1，a＝2c，則當C取最大值時，△ABC的面積為( )
A. B.
C. D.
B [解析] 當C取最大值時，cos C最小，
由cos C＝＝＝≥，
當且僅當c＝時取等號，
且此時sin C＝，
所以當C取最大值時，
△ABC的面積為absin C＝×2c×1×＝.
7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面積S＝，則三角形外接圓的半徑為________．
[解析] 由面積公式，得S＝bcsin A，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋22－2×2×2cos120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.
[答案] 2
8．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點D為AB延長線上一點，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．
[解析] 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，則
sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因為BD＝BC＝2，所以∠CDB＝
∠ABC，則cos∠CDB＝＝.
[答案]
9．(2017·貴陽市監測考試)在△ABC中，內角A、B、C所對邊分別是a、b、c，若sin2＝，則△ABC的形狀一定是________．
[解析] 由題意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC為直角三角形．
[答案] 直角三角形
10．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，sin A，sin B，sin C成等差數列，且a＝2c，則cos A＝________．
[解析] 因為sin A，sin B，sin C成等差數列，所以2sinB＝sin A＋sin C.
因為＝＝，
所以a＋c＝2b，
又a＝2c，可得b＝c，
所以cos A＝＝＝－.
[答案] －
11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
[解] (1)在△ABC中，由＝，
可得asin B＝bsin A.
又由asin 2B＝bsin A，得
2asin BcosB＝bsin A＝asin B，
所以cos B＝，所以B＝.
(2)由cos A＝，可得sin A＝，則
sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin A＋cos A＝.
12．(2017·河南省八市重點高中質量檢測)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足2asin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C－sin B)c.
(1)求角A的大?。?div style="height:15px;">
所以cos A＝.
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sin B＝.
又B∈，故B＝或.
若B＝，則C＝，于是S△ABC＝absin C＝.
B [解析] 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因為b∈[1，3]，所以當b＝時，c取最小值3.
2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.
因為∠BAC為銳角，所以∠BAC＝.
所以＝＝＝.
所以BC＝，BD＝.
15．(2017·武漢市調研測試)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.
(2)若△ABC的面積為，求a，c.
所以2c2＝a2＋1.
所以S△ABC＝bcsin A＝bc＝×1×＝.
所以a＝，從而c＝2.
16．(2017·高考全國卷丙)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)，c＝4.
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面積與△ACD面積的比值為＝1.
