大 道 至 簡
——《三角形內(nèi)角和》研課手記
江蘇省海安縣實驗小學(xué) 仲海峰
一
對“三角形內(nèi)角和”一課的研討，焦點比較多地集中在“如何讓學(xué)生探究出三角形內(nèi)角和是180°”。從幾套新教材的編排看，常用的方法有兩種：1.測量求和法；2剪拼法（將三角形的三個內(nèi)角剪下來，拼成一個平角）。這兩種方法均貼近學(xué)生的思維水平，操作簡單，結(jié)論直接，但缺點也同樣明顯：測量時會有誤差，三角形三個內(nèi)角的度數(shù)和未必正巧是180度，這使得測量結(jié)果非但不能驗證結(jié)論，相反卻給人以誤導(dǎo)；剪拼時會破壞原有圖形，不能很好地體現(xiàn)剪拼后的圖形與原三角形間的聯(lián)系與變化。
國標(biāo)本蘇教版教材中還提供了一種“折拼法”（如圖1）：將三角形三個角折拼在一起，組成一個平角。這種方法在一定程度上彌補了上面兩種方法的缺陷，但原理解釋起來費勁（必須沿著“中位線”折），學(xué)生操作起來困難——先折出一條邊上的“高”，找到對應(yīng)的“垂足”，然后將三角形三個“頂點”對準(zhǔn)“垂足”折疊，這樣三個角才能拼在一起（見圖2）。
在對“三角形內(nèi)角和是180°”的各種探究方法的利弊、優(yōu)劣進行了充分的分析、比對后，我們的課堂教學(xué)仍然遭遇到了不少“尷尬”：1.“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論大多數(shù)學(xué)生都預(yù)先知道，因此沒有太多的探究欲望；2.即便進行探究，也大多浮于形式，“測量求和”因無法消除誤差只能是走過場， “折拼”等方法只是先前看過書的一兩位學(xué)生表演。3.無論哪種方法，客觀存在且不可避免的誤差，都使得“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論“腰桿不硬”，不足以讓人信服。
二
問題出在哪兒呢？是我們的教學(xué)組織不力，還是我們的教學(xué)理解太淺？
在“簡潔、清晰、流暢、凝練、深刻中彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)”的簡約教學(xué)理念指導(dǎo)下，我們對“三角形內(nèi)角和”的教學(xué)再度追問——
第一、學(xué)生學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和”的起點和重心是什么？
課前有學(xué)生就知道“三角形的內(nèi)角和是180°”，這是不爭的事實。但對大多數(shù)學(xué)生而言，也只是聽到并機械地接受了這樣一個信息而已。至于三角形的內(nèi)角和是180°依據(jù)是什么？學(xué)生普遍缺乏批判思考，更缺乏理性推斷。因此，教學(xué)的重心毫無疑問應(yīng)該是讓學(xué)生經(jīng)歷三角形的內(nèi)角和之所以為180°的探究過程。
第二、用“直觀感知”的模糊法研究“三角形內(nèi)角和”的可行性如何？
多數(shù)老師認(rèn)為，小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，很多東西知道個大概就行了，沒必要太嚴(yán)密。在“三角形的內(nèi)角和是180°”的幾種驗證方法中，測量求和也好，剪拼、折拼也罷，誤差是不可避免的，不必過于糾纏，學(xué)生能直觀感知到“三角形的內(nèi)角和是180°”就行。對此，我們覺得：用存在“誤差”的方法能驗證“三角形內(nèi)角和是180度”，那同樣也就可以驗證“三角形內(nèi)角和是179度”。用這種不
第三、是否有更嚴(yán)謹(jǐn)邏輯的適合小學(xué)生驗證“三角形內(nèi)角和”方法？
接著他又發(fā)現(xiàn)：“任何三角形都可以沿著高將它分成兩個小直角三角形”。這兩個直角三角形六個角加起來的和是360°，如果去掉兩個直角，剩下的就正好是原來三角形的三個內(nèi)角的和180°（見圖4）。所以進一步推斷：“任意三角形內(nèi)角和是180°。”
此外，還有人通過直觀演示來揭示“三角形的內(nèi)角和是180°”。如圖5，先將鉛筆筆尖朝右與任意三角形ABC的一條邊AB重合，然后依次繞著三角形的三個內(nèi)角的頂點旋轉(zhuǎn)，在鉛筆分別轉(zhuǎn)過角A、C、B后，筆尖正好調(diào)轉(zhuǎn)了方向，由向右變成向左，一共旋轉(zhuǎn)了180°，所以三角形內(nèi)角和是180°。
相比較而言，上述兩種方法，跳出了簡單的直觀感知層面，避開了誤差尷尬，充滿著理性色彩和濃重的數(shù)學(xué)味兒。但因其思維層次高，對教師的教學(xué)引導(dǎo)提出了很高的要求。
三
基于上述思考，我嘗試著尋找“探究和講授的中間地帶”，上了一節(jié)研究課。課堂用講故事的形式引出改變帕斯卡一生的發(fā)現(xiàn)（三角形內(nèi)角和定理）；接著讓學(xué)生自主驗證、交流經(jīng)驗；然后由教師演示講解上圖5所介紹的“用鉛筆旋轉(zhuǎn)證明三角形內(nèi)角和是180°”；再接著借課件展示一組圖片（見下圖）建立新舊知識間的聯(lián)系；最后綜合應(yīng)用。
進，固然需要勇氣；退，更需要智慧用心。回顧“三角形內(nèi)角和”的研課歷程：如果說備課之初的研讀教材讓我們的課堂走向豐富和深刻；那么緊接其后的對資料的“簡約化”處理則讓“豐富和深刻”回歸本源。正可謂——
“大道至簡，各道至繁；直指大道，方不為遮。”
——本文發(fā)表在《教育科研論壇》2010年第6期
