歐拉數e是一個數學常數~2.718，定義如下：
式1：歐拉數e的定義
這個常數是由瑞士數學家雅各布·伯努利發現的。
式2：唯一一個等于它自己的導數的函數。
稱為指數函數，它等于它自己的導數(它是唯一具有這個性質的函數)。
圖1：方程y = 1/x的曲線圖。歐拉數e是使陰影區域面積等于1的唯一數字。
超越數
實數可以是代數的也可以是超越的。根據定義，階數為n的代數滿足具有整數系數的多項式方程，例如：
式：:帶積分系數的多項式方程。它由代數數來滿足。
代數數的次數為n的事實意味著x的系數不為零。超越數是不滿足如式3這樣的方程的實數。
e的超越
我們這篇文章的目的是證明e是一個超越數。這個證明的最初版本是由法國數學家查爾斯·埃爾米特提供的，但是這里給出的版本是由德國數學家大衛·希爾伯特簡化的版本。
圖2：法國數學家查爾斯·埃爾米特和德國數學家大衛·希爾伯特。
我們首先假設與我們要證明的相反，即e是n次的代數數：
式4：如果e是n次的代數數，它滿足這個方程，其中第一個系數和最后一個系數為a，且非零。
我們開始用有理數來逼近e的冪。我們定義了以下對象：
式5:用有理數逼近e的冪。
這里
對于等式5中e的每個冪，我們有:
對于很小的方程意味著所有e^t非常接近有理數。現在我們將式5代入式4，并消去因子m，我們得到：
式6:將式(5)代入式(4)的結果
注意，式(4)和式(6)中的n是相同的量。式 6有兩個明顯的特點：
第一個括號內的表達式是整數，并且選擇M使得表達式不為零在第二個表達式中，將選擇，使其足夠小，以使表達式的絕對值<1
式7：式6第二項的性質。
我們的證明將包括證明式6不可能是正確的，它構成了一個矛盾。發生這種情況是因為非零整數和絕對值<1的表達式的和不會消失。
定義M和
埃爾米特通過定義M和開始，首先，他將M定義為:
式8：定義M的積分。
這里p被選為質數，以后再確定。' p可以看作是我們想要一樣大(但M將任何值的整數p)。其他的M和被定義為：
式9
現在我們通過選擇p來滿足上面的性質1和2。
我們先求積分M，把分子中的二項式乘出來，我們可以得到下面的等式：
式10：將等式兩邊的二項式相乘
具有積分系數。將此替換為M并使用：
方程11:階乘m的積分表達式。我們得到
式12
將自己限制為大于n的素數，我們立即看到該方程式的第一項不能被p整除。但是，我們可以很快看到第二個項可以。擴展階乘：
式13：方程12的第二項可以被p整除。
因為M不能被p整除，所以方程6的第一個括號也不能被p整除。引入變量y：
積分就變成：
分子括號內的多項式有整項系數
經過幾個步驟，我們得到：
對于整數cs(其中使用了式 11)。每一個M(k)是能被p整除的整數，所以式6的第一個括號不能被p整除。因此，我們得出結論，式6的第一個括號中的項是一個非零整數。如果它是0，它可以被p整除，我們得出結論是：它不是0。
最后一部分是證明如果我們選擇一個足夠大的p值，則式7是正確的。使用式 9，經過幾個步驟，我們發現：
如果這個二項式乘積的絕對值對于x∈[0,n]有一個上界B，則有：
當p→∞時，RHS→0，證明成立。
