1+1=2 可能是數(shù)學(xué)方程式的最基本形式。在整個(gè)人類智力范圍內(nèi)，它是如此的基礎(chǔ)、廣為人知和易于理解，以至于我們形容某件事比較容易時(shí)便會用1+1=2來形容。但如果有人問，為什么 1+1=2，你會怎么回答？
我們中的大多數(shù)人都會被這樣的問題驚呆，因?yàn)槲覀儗⒌仁揭暈槭聦?shí)（事實(shí)確實(shí)如此），但我們從未真正嘗試找出其背后的原因，或者事實(shí)是如何成立的。但是，有一些勇敢的人和聰明的頭腦試圖準(zhǔn)確地回答這個(gè)問題，并提出了長達(dá) 379 頁的證明來證明為什么 1+1=2。
但在深入探討之前，我們有必要深入了解一下數(shù)學(xué)的歷史及其最基本的原理。
在公元前 4 世紀(jì)，數(shù)學(xué)僅由兩部分組成——幾何（形狀的研究）和算術(shù)（數(shù)字的研究）。與他同時(shí)代的著名數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家歐幾里得表示，數(shù)學(xué)是宇宙的語言，因此研究數(shù)學(xué)就像研究宇宙本身。他將數(shù)學(xué)（尤其是幾何學(xué)）傳播為普遍真理，因?yàn)樗强捎^察的和合乎邏輯的。
該假設(shè)的示例包括“兩條平行線永遠(yuǎn)不會相交”、“三角形所有內(nèi)角的總和始終為 180°”和“正方形的所有邊長相等”等陳述。
歐幾里得相信這些陳述永遠(yuǎn)不會是假的，因?yàn)槟菍⒁馕吨麄兩畹默F(xiàn)實(shí)（或宇宙）是錯(cuò)誤的，或者至少有漏洞（這是一個(gè)荒謬的假設(shè)，因?yàn)橄翊蠖鄶?shù)宗教一樣，希臘人相信他們的上帝使宇宙在其邏輯上是完美的）。
根據(jù)這個(gè)假設(shè)，歐幾里得給出了幾何學(xué)（和整個(gè)數(shù)學(xué)）可以基于的某些假設(shè)。根據(jù)他的說法，這些是“真實(shí)”的陳述，并且恰當(dāng)?shù)剡_(dá)到了它們的目的。
那是數(shù)學(xué)比較簡單，只有幾何和算術(shù)的年代。隨著時(shí)間的推移，出現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，即使它們基于原始的幾何和算術(shù)系統(tǒng)，它們的邏輯聯(lián)系也很脆弱。
隨著假想數(shù)等新概念和無窮大等概念的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)變得不穩(wěn)定。毫無疑問，面對歐幾里德幾何的最大話語是引入了直觀命名的部分——“非歐幾里得幾何”。接下來的想法很簡單。它的工作原理基本上是通過無視歐幾里德的第五假設(shè)進(jìn)行試驗(yàn)，該假設(shè)指出：
一條直線落在兩條直線上，使同側(cè)的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則兩條直線無限產(chǎn)生，相交于內(nèi)角和小于二的那一側(cè)直角。
除此之外，如果存在一條線和一個(gè)不在該線表面上的點(diǎn)，則只能通過該點(diǎn)繪制一條與第一條線平行的線。
數(shù)學(xué)家們嘗試排除這個(gè)原則，我們最終得到了大量假設(shè)的（和一些實(shí)際的）形狀，它們不遵循歐幾里得的假設(shè)，但在邏輯上仍然是一致的，并且沒有任何漏洞。這本身就足以摧毀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)需要聯(lián)系在一起，但那個(gè)時(shí)代讓人絕望。然后是這個(gè)傳奇的主要人物：伯特蘭·羅素和阿爾弗雷德·諾斯·懷特海。懷特海當(dāng)時(shí)是一位知名的劍橋?qū)W者，羅素雖然年輕得多，但已經(jīng)通過出版從數(shù)學(xué)到德國社會民主等主題的書籍引起了人們的注意。
他們肩負(fù)起為數(shù)學(xué)建立一個(gè)合適的、堅(jiān)不可摧的結(jié)構(gòu)的責(zé)任，這個(gè)結(jié)構(gòu)不會有任何可能引起懷疑和在結(jié)構(gòu)中造成斷裂的漏洞。羅素認(rèn)為，數(shù)學(xué)中要回答的最重要的問題在于最基礎(chǔ)的知識，而不是復(fù)雜的問題。
如果可以通過明確的解釋來穩(wěn)定基礎(chǔ)，那么整個(gè)數(shù)學(xué)就可以變得萬無一失。只有這樣，數(shù)學(xué)世界才能變得完整，一個(gè)烏托邦就存在了。為此，羅素和懷特海都認(rèn)為，他們需要在基礎(chǔ)上建立的是“邏輯”支持的陳述，而不僅僅是觀察。
觀察可能經(jīng)常是錯(cuò)誤的，但邏輯并不依賴于這種真實(shí)假設(shè)。如果邏輯是具體的，它就成為證據(jù)。從非歐幾何中，我們已經(jīng)確定數(shù)學(xué)不需要以現(xiàn)實(shí)為基礎(chǔ)，因此觀察遠(yuǎn)不及邏輯。羅素和懷特海進(jìn)一步推廣了一個(gè)后來被稱為“形式主義”的系統(tǒng)，其中所有數(shù)學(xué)都遵循由通用符號、邏輯公理和推理規(guī)則組成的“形式語言”。
深入研究羅素和懷特海提出的推理遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了本文的能力范圍，但我們可以談?wù)勊麄兊囊鈭D和有趣的瑣事。他們打算為數(shù)學(xué)創(chuàng)造一個(gè)萬無一失的基礎(chǔ)，然后提供在他們的邏輯上如此合理以至于無法挑戰(zhàn)的推理規(guī)則……這樣，他們打算為數(shù)學(xué)創(chuàng)造一個(gè)萬無一失的結(jié)構(gòu)。
現(xiàn)在我們可以理解為什么他們花了 379 頁來證明 1+1=2。因?yàn)樗麄儾粌H要從邏輯上證明數(shù)學(xué)，還要賦予“1”、“2”等數(shù)字以及“+”、“=”等符號以意義。
羅素和懷特海 最初假設(shè)他們將在一年內(nèi)完成該項(xiàng)目，但這與現(xiàn)實(shí)相去甚遠(yuǎn)。事實(shí)上，他們花了大約十年的時(shí)間才完成算術(shù)部分（也許這也不是他們喜歡的）。據(jù)悉，為了提高效率，羅素和他的妻子在研究過程中不得不搬進(jìn)懷特海的家中。
然而，在這段磨難中，羅素與懷特海年輕的妻子親近起來，給雙方家庭都帶來了麻煩。在這種情況下，懷特海推動了論文的早日發(fā)表。但即便如此，這些論文也很難發(fā)表，因?yàn)樗谐霭嫔缍季芙^了他們，因?yàn)樗麄兊淖髌穼ζ胀ㄗx者來說太難理解了。
數(shù)學(xué)家 Steven Wolfram 后來寫道，他想知道這篇論文是否打算供人類閱讀，并且羅素在論文發(fā)表多年后評論說，他假設(shè)總共只有 6 人閱讀了整篇論文。后來論文發(fā)表了，但是懷特海和羅素不得不自己出錢。經(jīng)過所有這些麻煩之后，它終于在 1910 年以《數(shù)學(xué)原理》的名義出版了。
論文發(fā)表后不久，一位名叫庫爾特·哥德爾的年輕數(shù)學(xué)家證明，沒有任何形式的數(shù)學(xué)系統(tǒng)是一致的和沒有矛盾的，尤其是他們的《數(shù)學(xué)原理》，但這是另一個(gè)故事了。即便如此，《數(shù)學(xué)原理》仍然是一部數(shù)學(xué)史詩，其影響力至今無人能敵。
