古典集合論：說到古典集合論，我們不得不先介紹一下其背后貢獻最大的數(shù)學家——康托爾（為數(shù)學而“瘋”的數(shù)學家），他是古典集合論的創(chuàng)始人，完善了古典集合論的大部分基礎理論，對于集合論的產生，占有舉足輕重的地位。康托爾于1845年3月3日出生于俄國圣彼得堡，從小對數(shù)學有著濃厚的樂趣，1863年進入柏林大學，之后取得哈勒大學的教授職位，從此一直從事著集合論的創(chuàng)立工作。
黎曼于1854年在論文《關于用三角級數(shù)表示函數(shù)的可能性》中提出函數(shù)的三角級數(shù)表示的唯一性問題，1870年，康托爾受邀海涅解決這一問題，他在1871-1872年間，逐步把三角級數(shù)展開的唯一性條件推廣到允許例外值成為無窮的情況，認識到了無窮集合的重要性，這是集合論產生的一個直接原因。
1873年，康托爾在于戴金德的來信中，宣布證明了實數(shù)集是不可數(shù)的，這一年被稱為集合論的誕生年。1874年，康托爾在論文中斷言：所有實代數(shù)數(shù)的集合是可數(shù)的，所有實數(shù)的集合是不可數(shù)的，因此非代數(shù)數(shù)的超越數(shù)是存在的，而且遠遠多于代數(shù)數(shù)。康托爾的證明引起了許多數(shù)學家的反駁。但是康托爾冒著被稱為“神經病”的稱號，依然堅持著自己對于集合論的研究。
1878年，康托爾提出一一對應的概念，作為判斷兩個集合對等的充要條件。所謂以一一對應，可以理解為：兩個集合的元素通過映射，可以建立滿射關系，一一對應包含了集合元素基數(shù)（也稱勢，即元素個數(shù)）相等，這是研究無窮集合的一個重要概念。用阿列夫0代表自然數(shù)集的勢，用c代表實數(shù)集的勢，運用一一對應比較各種無窮集合的大小，其中，無窮集合與有限集合最大的區(qū)別在于：無窮集合可以與其子集建立一一對應關系，例如整數(shù)與偶數(shù)建立一一對應關系，兩者的勢是相等的。
1883年，康托爾證明了康托爾定理：任何集合的勢都小于其冪集（由集合的子集組成的集合）的勢，揭示了無窮有無窮多個層次。并且提出了著名的“連續(xù)統(tǒng)假設”：可數(shù)集的勢與不可數(shù)集的勢之間不存在其他勢。因為實數(shù)軸上的數(shù)都是連續(xù)的，因此在實數(shù)范圍內的集合的勢，又稱連續(xù)勢。再來說一下關于可數(shù)集與不可數(shù)集的區(qū)別，可數(shù)集（又稱可列集），一種最小的無窮集合，與自然數(shù)集對等的集合，都是可數(shù)集。不可數(shù)集，與實數(shù)集對等的集合，都是不可數(shù)集，例如實數(shù)軸上的區(qū)間、無理數(shù)集等等。在連續(xù)統(tǒng)假設下，實數(shù)范圍內的不可數(shù)集的勢，又稱連續(xù)統(tǒng)基數(shù)，（例如實數(shù)集的勢），因此，連續(xù)統(tǒng)基數(shù)是最小的不可數(shù)基數(shù)。
1895—1897年，康托爾發(fā)表了題為《關于超窮集合論的基礎》，給出了超限基數(shù)和序數(shù)的定義，定義了基數(shù)與序數(shù)的加法、乘法和乘方的運算，建立了集合論的基數(shù)理論和序數(shù)理論，自此，康托爾關于集合論的建立工作基本完成。
公理集合論：古典集合論建立之后，得到大多數(shù)數(shù)學家的肯定，從自然數(shù)到集合論可以建立起整個數(shù)學大廈，集合論成為了現(xiàn)代數(shù)學的基石。希爾伯特、龐加萊（當時的兩位數(shù)學界的大家）曾在1900年的數(shù)學大會上高度贊揚（古典）集合論的重大影響，希爾伯特提出的著名的23個問題中，更是把連續(xù)統(tǒng)假設作為第一個問題，可見其對集合論的高度認可。讀者讀到這里，可能就會想了：既然古典集合論已經很完善，并且有著重要的數(shù)學地位，為什么還會有公理集合論的產生呢？
在數(shù)學的世界里，各種理論都是在不斷完善發(fā)展的，集合論同樣如此。盡管古典集合論解決了當時許多數(shù)學問題，但是經過數(shù)學家們的研究，古典集合論仍然存在著漏洞。
1903年，英國數(shù)學家羅素提出了著名的“理發(fā)師悖論”（規(guī)定只給不會給自己理發(fā)的理發(fā)師，到底該不該給自己理發(fā)），緊接著，各種悖論撲面而來，數(shù)學家們開始認識到古典集合論的巨大漏洞，間接引發(fā)了第三次數(shù)學危機。既然問題已經出現(xiàn)，就需要解決問題，數(shù)學家們紛紛需求解決方案，這就促使了數(shù)學家們用公理化方法和數(shù)理邏輯去重建集合論。1908年，策梅洛建立了第一個公理集合系統(tǒng)，經過弗倫迪克、馮諾依曼等人的補充，得到了策梅洛——弗倫迪克公理系統(tǒng)，簡稱ZF系統(tǒng)，加上選擇公理后，又稱ZFC系統(tǒng)，一直沿用至今。從該系統(tǒng)中，可以導出古典集合論中所有的結果，并且排除了羅素悖論等各種已知悖論。
另外，古典集合論中的連續(xù)統(tǒng)假設（CH）、選擇公理（AC）在20世紀得到重大突破，1940年，哥德爾證明了CH、AC對于ZF系統(tǒng)的相容性。1963年，科恩證明了CH、AC相對于ZF系統(tǒng)的獨立性，即連續(xù)統(tǒng)假設在該系統(tǒng)中無法證明，與平行公設不可證相同，也就是說，可以同時存在使CH成立與不成立的系統(tǒng)，正如歐式幾何與非歐幾何一樣。哥德爾曾經提出著名的哥德爾不完備定理，打破了希爾伯特將數(shù)學公理化的愿望，任何兼容性的體系，無法用于證明它本身的兼容性。也就是說，在公理集合論中，總會存在屬于該系統(tǒng)本身，卻又無法用該系統(tǒng)去證明的定理、假設等。
