本文簡單介紹了托勒密定理及其推廣的表述與推導過程。

托勒密定理

圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的乘積。

若四邊形內接于圓，則

證明：如上圖，在上取點，使得。

結合四邊形內接于圓，易知：

因此有：，于是

類似地，由可知，再結合，可得：，于是有

將上述兩乘積式相加，得：

托勒密定理的推廣

四邊形中，有

恒成立。

注：四邊形中的均為四邊形的內角。

當四邊形為凸四邊形

作，。于是有，則

由于

再由知，即，因此有，所以

不難發現，由可知，由可知，因此有：

在中運用余弦定理可知：

將等式左右兩邊同乘得：

綜合上述三個等式，整理可得：

當四邊形為凹四邊形

作，。于是有，則

由于

再由知，即，因此有，所以

不妨假設其比值為，即

可得

由于

在中運用余弦定理可知：

將等式左右兩邊同乘得：

結合可知

考慮，不難發現：

代入上式即得

因此，無論四邊形為凸四邊形或凹四邊形，均有：

在四邊形中，始終有，因此

即

托勒密定理逆定理

特別的，當且僅當，即凸四邊形對角和為180°，即凸四邊形為圓內接四邊形時，，上述不等式取到等號：

即

以上推導步步可逆。

由此，即有托勒密定理逆定理：

在凸四邊形中，若

則四點共圓。

參考資料

[1] 賀功保,葉美雄. 三角形的五心. 哈爾濱工業大學出版社,2009.