交流電源示例1
50Hz正弦電源的電壓和電流值分別為：v t = 240 sin（ωt+60°）Volts和i t = 5 sin（ωt-10°）Amps。求出電路的瞬時功率和平均功率值。
由上可知，電路吸收的瞬時功率為：
從上面應用三角恒等式規則可得出：
然后計算平均功率為：
您可能已經注意到205.2瓦的平均功率值也是瞬時功率p（t）的第一項值，因為該第一項常數值是電源和負載之間的平均或平均能量變化率。
純電阻電路中的交流電源
到目前為止，我們已經看到，在直流電路中，功率等于電壓和電流的乘積，這種關系對于純電阻交流電路也是如此。電阻器是消耗能量的電氣設備，電阻器中的功率由p = VI = I 2 R = V 2 / R給出。這種力量永遠是積極的。
如圖所示，考慮下面的純電阻性電路（即，無窮大電容，C =∞，零電感，L = 0），其電阻器連接到交流電源。
純電阻電路
當將純電阻器連接到正弦電壓電源時，流經電阻器的電流將與電源電壓成比例地變化，即電壓和電流波形彼此“同相”。由于電壓波形和電流波形之間的相位差為0 o，導致cos 0°的相位角等于1。
然后，電阻器消耗的電能為：
純電阻中的電能
由于電壓和電流波形是同相的，即兩個波形同時達到其峰值，并且同時也通過零，因此上面的功率方程式減小為：V * I。因此，可以通過將兩個波形相乘得到伏安乘積來找到任意時刻的功率。這稱為“有功功率”，以瓦特（W），千瓦（kW），兆瓦（MW）等度量的（P）。
純電阻的交流電源波形
該圖顯示了電壓，電流和相應的功率波形。由于電壓波形和電流波形都是同相的，因此在正半周期內，當電壓為正時，電流也為正，因此功率為正，正數乘以正數就等于正數。在負半周期內，電壓為負，導致功率為正的電流也為負，因為負乘以負就等于正。
然后，在純電阻電路中，在電流流過電阻器的所有時間中都會消耗電能，并表示為：P = V * I = I 2 R瓦。請注意，V和I都可以是其均方根值，其中：V = I * R和I = V / R
純感應電路中的交流電源
在L Henries的純電感性電路（即，無窮大電容，C =∞，零電阻，R = 0）中，電壓和電流波形不是同相的。每當將變化的電壓施加到純感應線圈上時，由于其自?感，線圈會產生“反”電動勢。這種自感與線圈中流動的電流相反并限制了其變化。
反電動勢的作用是，電流不能立即與施加的電壓同相地通過線圈，從而導致電流波形在電壓峰值之后的某個時間達到其峰值或最大值。結果是，在純電感電路中，如圖所示，電流總是在電壓之后“滯后”（ELI）90°（π/ 2）。
純感應電路
上面的波形向我們展示了純電感線圈上的瞬時電壓和瞬時電流隨時間的變化。最大電流I max出現在電壓的最大值（峰值）之后的一個四分之一周期（90°）內。此處顯示的電流在電壓周期開始時具有負的最大值，并且當電壓波形在90°處達到最大值時，通過零增加到其正的最大值。
因此，由于電壓和電流波形不再一起上升和下降，而是在線圈中引入了90°（π/ 2）的相移，因此電壓和電流波形彼此“異相”另一種是電壓使電流領先90°。由于電壓波形和電流波形之間的相位差為90°，因此相位角導致cos 90° = 0。
因此，由一個純電感器Q L存儲的電能由下式給出：
純電感中的有功功率
顯然，純電感器不會消耗或消耗任何有功或有功功率，但是由于我們同時具有電壓和電流，因此在表達式中使用cos（θ）：P = V * I * cos（θ）不再有效。在這種情況下，電流和電壓的乘積是虛功率，通常稱為“無功功率”，（Q）以無功伏安（VAr），千伏無功（KVAr）等度量。
伏安無功，VAr不應與用于有功功率的瓦特（W）混淆。VAr代表彼此異相90°的伏特和安培數的乘積。為了在數學上識別無功平均功率，使用了正弦函數。然后，電感中平均無功功率的等式變為：
純電感中的無功功率
像有功功率（P）一樣，無功功率（Q）也取決于電壓和電流，還取決于它們之間的相位角。因此，它是所施加電壓與電流分量的乘積，該分量與所示電壓異相90°。
純電感器的交流電源波形
在0°和90°夾角之間的電壓波形的正一半中，電感電流為負，而電源電壓為正。因此，伏特和安培乘積給出的負功率為負乘以正等于負。在90 °和180°之間，電流和電壓波形均為正值，從而產生正功率。該正功率表示線圈正在消耗電源的電能。
在介于180°和270°之間的電壓波形的負一半中，存在負電壓和表示負功率的正電流。該負功率表示線圈正在將存儲的電能返回給電源。在270°和360°之間，電感器電流和電源電壓均為負值，從而導致一段正功率。
然后，在電壓波形的一個完整周期內，我們有兩個相同的正負功率脈沖，其平均值為零，因此，由于功率交替往返于電源，因此沒有實際功率用完。這意味著純電感器在一個完整周期內所消耗的總功率為零，因此電感器的無功功率不會執行任何實際工作。
純電容電路中的交流電源C Farads的純電容性電路（電感為零，L = 0，無窮大電阻，R =∞）具有延遲電路兩端電壓變化的特性。電容器以電介質形式的電場形式存儲電能，因此純電容器不會耗散任何能量，而是將其存儲起來。
在純電容電路中，電壓不能與電流同相增加，因為它需要首先“充電”電容器極板。這導致電壓波形在電流波形之后的某個時間達到其峰值或最大值。結果是，在純電容電路中，電流始終將電壓“領先”（ICE）90°（ω/ 2），如圖所示。
純電容電路
該波形向我們顯示了純電容器兩端的電壓和電流隨時間的變化。最大電流Im出現在電壓的最大值（峰值）之前的一個四分之一周期（90°）。此處顯示的電流在電壓周期開始時具有正的最大值，并且流過零，當電壓波形在90°處達到最大值時減小到其負的最大值。與純感應電路相反的相移。
因此，對于純電容性電路，相角θ= -90°，電容器中平均無功功率的等式變為：
純電容器中的無功功率
其中–V * I * sin（θ）是負正弦波。同樣，容性無功功率的符號是Q C，其度量單位相同，即與電感器相同的伏安無功（VAR）。然后我們可以看到，就像上面的純電感電路一樣，純電容器不會消耗或消耗任何有功功率或有功功率P。
純電容器的交流電源波形
在0的角度之間的電壓波形的正半周和90°，無論是電流和電壓波形是在產生正功率值正被消耗。在90°至180°之間，電容器電流為負，電源電壓仍為正。因此，伏安乘積給出的負功率為負乘以正等于負。該負功率表示線圈正在將存儲的電能返回給電源。
在介于180°和270°之間的電壓波形的負一半中，電容器電流和電源電壓均為負值，從而導致一段正功率。這個正功率周期表示線圈正在消耗電源的電能。在270°和360°之間，存在負電壓和正電流，再次表示負功率。
然后，在電壓波形的一個完整周期內，存在與純電感電路相同的情況，因為我們有兩個相同的正負功率脈沖，其平均值為零。因此，從電源到電容器的功率恰好等于電容器返回電源的功率，因此沒有實際功率用完，因為功率交替地流入和流出電源。這意味著純電容器在一個完整周期內所消耗的總功率為零，因此電容器的無功功率不會執行任何實際工作。
電源示例2
電阻為30歐姆，電感為200mH的電磁線圈連接到230VAC，50Hz電源。計算：（a）螺線管阻抗，（b）螺線管消耗的電流，（c）電流與施加電壓之間的相角，以及（d）螺線管消耗的平均功率。
給出的數據為：R =30Ω，L = 200mH，V = 230V和?= 50Hz。
（a）電磁線圈的阻抗（Z）：
（b）電磁線圈消耗的電流（I）：
（c）相角θ：
（d）電磁線圈平均消耗的交流功率：
交流電源摘要我們在這里已經看到，在交流電路中，純無源電路中流動的電壓和電流通常是異相的，因此，它們不能用于完成任何實際工作。我們還看到，在直流（DC）電路中，電功率等于電壓乘以電流，即P = V * I，但是我們無法按照與交流電路相同的方式進行計算。考慮任何相位差，在純電阻電路中，電流和電壓都是同相的，并且電阻通常將所有電能消耗為熱量。最后，沒有電力返回到電源或電路。
因此，在包含電抗的純電感或純電容電路中，（X）電流將使電壓超前或滯后恰好為90°（相角），因此功率既被存儲又返回電源。因此，在一個完整的周期內計算出的平均功率將等于零。電阻（R）消耗的電功率稱為有功功率或有功功率，只需將均方根電壓乘以均方根電流即可獲得。電抗所存儲的功率（X）稱為無功功率，是通過將它們之間的電壓，電流和相角的正弦值相乘而獲得的。相角的符號是θ（Theta），它表示AC電路相對于總無功阻抗（Z）的低效率，該阻抗與電路中的電流相反。
