平行四邊形的判定（二）
-----三角形的中位線
忻州師院附中 何艷波
一、內容和內容解析
1. 內容
三角形中位線的定義，性質的探究和應用。
2.內容解析
《三角形的中位線》是“平行四邊形的判定”的第2課時的教學內容，教材安排一個學時完成。本節教材是在學生學完了三角形、四邊形內容之后,作為三角形和四邊形知識的應用和深化所引出的一個重要性質定理，它揭示了線與線之間的位置關系，線段與線段間的數量關系，對進一步學習非常有用，尤其是在證明兩直線平行和論證線段倍分關系時常常要用到.
三角形中位線的定義屬于概念性的知識，教材中直接告知。對于三角形中位線性質的探究，相當于平行四邊形判定的應用，需要構造平行四邊形來解決，經歷了感知、猜想、證明等過程，得出了三角形中位線和第三邊之間的數量關系和位置關系，體現了四邊形和三角形之間的相互轉化。
鑒于以上分析，本節課的教學重點是：經歷三角形中位線的性質定理的探究過程，并能利用它解決簡單的問題。
二、目標和目標解析
1.目標
（1）理解三角形的中位線的概念，。
（2）經歷探索、猜想、證明的過程，掌握三角形中位線性質，進一步發展推理論證的能力。
（3）能正確應用三角形中位線定理進行有關的計算和證明。
2. 目標解析
目標（1）的具體要求是：知道三角形中位線的定義，區別中位線和中線。
目標（2）是指在三角形中位線性質的探究過程中，讓學生體會三角形和四邊形之間的相互轉化；知道觀察、度量、實驗、猜想、證明是幾何研究的基本活動，體會“用合情推理發現結論，用演繹推理證明結論”這一幾何研究的基本思考方式。
目標（3）的具體要求是：能利用三角形的中位線的性質進行基本的計算和證明；初步學會分別從題設或結論出發尋求論證思路的方法，體會數學轉化的思想。
三、教學問題診斷
小學階段，學生已經對平行四邊形的有關性質有所了解，前面又對平行四邊形的判定進行了系統學習，讓學生感受到了四邊形向三角形轉化的思想，同時學生對于推理證明的基本要求、基本步驟和方法已經初步掌握。對于本節課三角形中位線定義的理解及完成大部分練習也不是難事，但在本節學習中學生容易出現以下問題：一是如何證明線段的倍分問題；二是應用中位線性質定理時怎樣添加輔助線的問題.
基于以上分析，本節課的教學難點是：訓練推理的能力和輔助線的添加方法。
四、教學過程設計
1、情境引入
小詩引入：
春風和煦 外出春游 突發奇想 想測池塘
如圖，測量一個池塘的寬AB,你能滿足老師的好奇心嗎？
2、問題探究
活動一：測量池塘的寬
方法一：如圖①，在池塘外找一點C,使得C能直接到達點A和點B,連接AC并延長到點E,使得CE=AC,同理得到CD,連接DE,得到全等三角形，量出DE的長度就求出了AB的長度。
方法二：如圖②，在池塘外找一點C,使得C能直接到達點A，連接AC,過點B做BC⊥AC,量出AC和BC的長度，根據勾股定理就能計算出AB的長度。
方法三：如圖③，在池塘外找一點C,使得C能直接到達點A，連接AC,過點B做BD∥AC, 且BD=AC,量出CD的長度，根據平行四邊形的性質就能求出AB的長度。
圖① 圖② 圖③
歸納：求線段的長度最終轉化為三角形和平行四邊形來解決，平行四邊形的問題又通過轉化為三角形來解決。
設計意圖：通過對問題的逐層分析，把解決問題方案的范圍逐漸縮小，最終確定一個合理的方案。能培養學生嚴密推理的能力和良好的思維習慣。
1、定義：連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線。 如圖，線段DE是連接△ABC兩邊的中點D、E所得的線段，稱此線段DE為△ABC的中位線。
思考 ：（1）一個三角形有幾條中位線？你能畫出來嗎？
（2）畫出三角形的一條中線和一條中位線，并說出它們的不同。
設計意圖：這兩個概念容易混淆，通過畫圖比較，鞏固學生對中位線概念的理解，培養學生嚴謹細致的學習習慣。
活動三：探索三角形中位線的性質
（鼓勵學生說出自己的猜想，并說出猜想的方法）
方法一：度量法（如圖）
分別量出DE和BC的長度，發現DE=BC；
分別量出∠ADE和∠ABC的度數，發現∠ADE=∠ABC，說明DE∥BC。
方法二：折紙法（如圖）
取一個三角形硬紙板，將AB、AC對折,分別找見中點D、E,剪下DE,將BC對折后和DE比較，二者重合，再將∠ADE和∠ABC比較，發現二者重合，說明DE=BC且DE∥BC。
結論：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。
歸納猜想方法：①直觀感覺 ②度量 ③折疊
已知：如圖，點D、E、分別為△ABC邊AB、AC的中點。
求證：DE∥BC且DE=BC．
分析：所證明的結論既有位置關系，又有數量關系，聯想已學過的知識，可以把要證明的內容轉化到一個平行四邊形中，利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質來證明結論成立，從而使問題得到解決，這就需要添加適當的輔助線來構造平行四邊形．
證法三：作如右圖所示的輔助線，即過E點作AB的平行線交BC于N，
三角形中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊。
幾何語言
∵DE是△ABC的中位線
（或AD=BD,AE=CE或D為AB的中點，E為AC的中點）
∴DE∥BC,
設計意圖：先由直觀的方法感知DE與BC在位置與數量上的關系，再用說理的方式來證這一關系，此舉既滿足了學生探求新知的欲望，獲得成功的體驗，又刺激學生進行更深入的探求。
3、小結
本節課你有什么收獲？
1、三角形中位線是三角形中重要的線段，它與三角形中線不同。
2、三角形的中位線定理是三角形的一個重要性質定理。
3、在這節課中我們一起經過實驗、探索，發現了三角形中位線定理，學會了一種很重要的探究問題的方法。
4、布置作業
1、教材第49頁練習1、2、3.
五、目標檢測設計
1、如圖：在△ABC中，DE是中位線；
（2）若BC＝8cm，則DE＝ cm.
2、已知三角形三邊分別為6、8、10，連接各邊中點所成三角形的周長為 。
拓展：△DEF為中點三角形，面積為原三角形的四分之一，周長為原三角形的一半。
3、首尾呼應
方法：在池塘外找一點C,可以直接到達A、B,
找到AC、BC的中點，量出DE的長度，就求出了
AB的長度。
六、課后反思
三角形中位線是三角形中重要的線段，三角形中位線是三角形重要的性質定理，它是已學過的平行線、相似三角形等知識內容的應用和深化，也為今后進一步學習其他相關的幾何知識奠定基礎。這個定理既得到線段之間的位置關系，又得到線段之間的數量關系，所以在教學設計中，一定要重視學生的探究發現過程，讓學生既能從操作上認識，也能進行嚴格的邏輯證明。
本節課的優點是：
1、在學習三角形中位線性質時，先由直觀的方法感知DE與BC的位置關系與數量關系，再用說理的方式來證這一關系，既滿足了學生探求新知的欲望，獲得成功的體驗，又刺激學生進行更深入的探索。參與式教學特別注重發揮學生的主體性,讓學生充分參與教學活動。
2、用精彩的問題設置吸引學生。“思維總是從提出問題開始的”，課堂提問是啟發學生積極思維的重要手段，教師要善于運用富有吸引力的提問激發學生的興趣。如：我在講解三角形中位線的時候，大膽的提出把三角形沿中位線DE剪一刀，再動手操作拼一拼得到平行四邊形，從而得到三角形中位線結論的另一證明方法。
本節中需要改進的地方：在學生畫出△ABC的三條中位線DE，EF，DF后，應該設計一道開放性問題，讓學生探討，發揮小組合作的力量，看還能得出那些結論，這樣能夠讓學生加深對本節課所學知識的理解，還能鞏固復習所學舊知識，將新舊知識融為一體，達到知識系統化、專題化，學生解題時就具有靈活性、可操作性，讓孩子們對每一類問題形成解題的技能，總結提升解題的方法。我們應該把學生最該處理的問題，進行重點的剖析挖掘，爭取讓孩子們通過這一個題的分析與挖掘，達到會做這一類題舉行反三觸類旁通。
教 學 設 計
---三角形的中位線
忻州師院附中
何艷波
