李建軍（山西省晉中市壽陽一中）
陳國際（山西省晉城市晉城一中）
薛紅霞（山西省教育科學研究院）
摘要：從考點、題量、題型、分值，難度、內容特點，考查的思想方法，文理科的差異等幾個方面總體概括了概率統計和計數原理的考查特點．從命題的課標依據、總體思路、題面形式、考核范圍等方面進行了分析，并就2015年典型題進行了實例剖析．縱向分析了近年來命題的變式，對高考數學試題本專題的命題趨勢進行了分析．最后還配套提供了相應的模擬題．
關鍵詞：概率統計；計數原理；命題規律
統計概率及計數原理在各省市歷年的高考中都扮演著看似容易，但有時又比較難得分的角色．以史為鑒，可以知興替，所以要橫縱交錯地研究命題規律，即一方面要看歷屆的高考題，另一方面要全面地分析2015年各省市的高考題，這樣縱橫交錯，經緯互織，方能深刻地了解命題的特點和規律．下面就本著這樣的思想對統計概率及計數原理進行分析．
一、考題考點分析
經統計，2015年高考數學試題（卷）除江蘇不分文理科外，其余文、理卷共有30份，分別是新課程全國Ⅰ卷、Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷，重慶卷，廣東卷，福建卷，浙江卷，四川卷，湖南卷，湖北卷，安徽卷，陜西卷，山東卷．分析以上試題并統計，發現統計與概率部分，除浙江卷（浙江《考綱》明確不做要求）外都有考查．計數原理由于文理科的差異，文科卷只有上海卷有考查，其他省份沒有涉及．理科同樣除浙江卷外都有對相關知識的考查．
1．考點分析
整理分析2015年高考數學試題，總體來看，統計與概率部分考查的知識點覆蓋面廣，除獨立性檢驗外其他知識點亦都有涉及，并且以統計為背景命制概率試題已成為特點．計數原理以常規的排列、組合、二項式定理等題目為載體，重點考查了應用兩個原理分析問題和解決問題的能力．其中出現頻率最多的考點是二項式定理．
具體考查到的知識點有：統計中的簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣；頻率分布直方圖繪制，用頻率分布直方圖、莖葉圖觀察、計算平均數和方差、眾數和中位數等數字特征；用樣本的數字特征估計總體；回歸分析中的正、負相關，回歸方程的確定和應用。概率知識主要考查古典概型、幾何概型、隨機數、相互獨立事件的概率、互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列、數學期望、方差、獨立性重復試驗、超幾何分布、二項分布、正態分布等主干知識．計數原理考查排列中的排數問題、組合問題及組合數性質，二項式定理中應用展開式的通項公式求指定項的系數、二項式系數、全部及部分系數和問題．
2．題量與分值分析
在考查統計與概率、計數原理的29份試卷中，題量最多的是廣東理科卷，有4道小題和1道大題，分值為32分，占到試題總分值的21.3%．3道小題和1道大題的有福建理科卷（28分）、湖南理科卷、陜西理科卷、湖北理科卷，分值為27分．其他大多為2道小題和1道大題，分值為22分；新課程全國文科Ⅰ卷、新課程全國文科Ⅱ卷、新課程全國理科Ⅱ卷、北京理科卷、山東理科卷、天津理科卷、福建文科卷、湖南文科卷、四川文科卷、陜西文科卷都是1道小題和1道大題,共計17分；安徽文科卷是1道12分的大題；天津文科卷是1道13分的大題；江蘇卷和湖北文科卷， 2道小題，所占分值為10分；題量最少的是上海文科卷，為2道小題，分值為8分，占試題總分值的5.3%．
3．題型、內容特點及難度分析
統計與概率的題型從形式上看有選擇題、填空題和解答題．整體來看多數省份的題目屬于中低檔題，難度不大．試題注重考查統計與概率的基礎知識和基本方法；考查運用統計與概率的知識與方法來分析和解決實際問題的能力；考查運算求解能力和應用意識．題目設計比較注重數學與生活的聯系，背景多關注生活中的焦點與熱點問題，讓學生覺得親切．同時，學生在解決具體問題的過程中會自然而然的體會到數學的應用性價值，體驗到必然與或然思想，感受數學的魅力．計數原理試題主要以填空題和選擇題為主要形式，二項式定理中用通項求指定項系數問題頻率最高，總體難度不大．
具體來看：統計中考查抽樣方法的有4道小題，2道大題．主要考查系統抽樣和分層抽樣，較為容易；頻率分布表（直方圖）有1道小題，4道大題；莖葉圖有2道小題，1道大題，主要是看圖與識圖，并觀察和計算樣本的數字特征來估計總體的概率問題，難度中等或容易；回歸分析有2道小題，2道大題．湖北文科卷考查了對兩變量間的正、負相關的判斷；福建理科卷考查了用回歸方程計算預報；重慶文科卷是求線性回歸方程并進行預報的解答題，這三道題目都源于課本例題和習題，是比較容易得分的．新課程全國Ⅰ卷的回歸分析解答題為非線性回歸問題，主要考查學生分析問題與解決問題的能力，有一定的難度及區分度．雖然試題給出了相關數據運算的結果，降低了運算的難度，可對于那些不注意數學思想和方法積累的同學來說就無從下手．通過對部分學生的調查，發現其覺得題目有難度的原因也在于此．可見部分教師沒有重視對課本例題的研究。
在所有概率試題中，涉及古典概型的題目有4道小題，11道解答題．幾何概型有4道小題．隨機事件的概率分布有8道解答題．考查了互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復試驗等事件的概率計算以及概率分布列的數學期望和方差．新課程全國文科Ⅱ卷、新課程全國理科Ⅱ卷、天津文科卷、安徽文科卷、北京文科卷、北京理科卷、福建文科卷、陜西文科卷、陜西理科卷等9道題目都是以統計思想方法為背景的概率題目，占到概率解答題的近一半．這樣的題目背景新穎，富有生活氣息，是比較接地氣的，可以直白地讓學生感受到數學的應用價值．剩余題目是傳統的概率題型，其中理科試題計數常借助兩個計數原理及排列組合，文科試題則常采用列舉法．試題難度總的來看屬中檔題型．湖北理科卷、山東理科卷、湖南理科卷還對正態分布進行了考查，其分別考查了對正態分布曲線的理解和標準正態分布的“3σ”原則，前者較為簡單，后者難度中等．
在計數原理試題中，傳統的排列組合問題較少．四川理科卷考查排列問題中的排數問題，廣東理科卷、上海的文科卷和理科卷考查了組合問題，山東理科卷考查了組合數計算及其性質．題目也比較常規，只要會用兩個原理的方法來分析問題和解決問題，就可以得分．其余試題重點考查的是二項式定理，主要是求指定項的系數或二項式系數．由于二項式的類型不同，題目難易度略有不同，北京理科卷、福建理科卷、四川理科卷、陜西理科卷、湖北理科卷中二項式為整式，所以比較容易。而廣東理科卷、湖南理科卷、上海理科卷、天津理科、重慶理科卷、安徽理科卷的二項中含有一個分式或根式，稍微復雜一些，也比較容易出錯．新課程全國Ⅰ卷和上海理科卷是一個三項的展開式的問題，其可以轉化為二項展開式，或者溯源到展開式每一項系數的構成，利用計數原理求得．思維層次明顯，有一定的難度及區分度．
4．文理科差異分析
由于《中學數學學科課程標準》中對文、理科中概率、計數原理的內容和要求不同，文科學生不學習計數原理，不學習概率分布，因而從整體上看文、理科的試題差異比較大．且主要表現在有無計數原理方面的試題，以及概率問題中需要計數時的方法不同上．于是在概率問題中理科可以以計數原理為背景命制試題，解決問題靈活多法，而文科只能考查原理，故需盡可能地降低計數方面的難度．江蘇卷不分文、理科，文科卷中只有上海卷考查了計數原理和二項式定理，其余文科卷都沒有與計數原理有關的題目．在理科試卷中，浙江卷不考查統計與概率、計數原理，因而也沒有相關試題；統計部分文、理科基本沒有差異．如新課程全國Ⅰ卷、新課程全國Ⅱ卷、重慶卷、湖南卷、陜西卷等文、理科試題完全一樣．
5．思想方法分析
統計與概率、計數原理中蘊含豐富的數學思想和獨特的方法。例如，隨機思想，轉化與化歸的思想方法，數學結合思想方法，模型的思想方法等，這些思想方法從試題的解決中都可以得以體現．例如，重慶理科卷回歸分析中回歸方程的確定和預報就是一種模型思想方法，新課標理科Ⅰ卷、理科Ⅱ卷中非線性回歸需轉化為線性回歸、新課標理科Ⅰ卷、上海理科卷的三項展開式可化為二項展開式的轉化與化歸思想方法，各卷中概率問題的或然與必然的隨機思想方法，觀察頻率分布直方圖、莖葉圖、正態分布曲線問題需要的數形結合思想方法等．
二、命制思路分析
1．依據考綱，考查面面俱到
孤立地看待一份試卷，每年考查什么內容似乎是很隨機的，但是綜觀歷年的高考試題，對于同一內容，通過多年的考查能達到對考綱要求的全覆蓋．，因此考綱的指導性在高考中具有舉足輕重的作用．對于本部分內容，無論課標，還是考綱，文、理科對其要求都是不同的．
2．緊扣考綱，注重基礎是考查的主旋律
以新課程全國卷為例，無論文科還是理科，每年考查的題量基本穩定在一道大題，1至2道小題，大題的難度一般為中等，小題為簡單題或者中等難度題．考查內容每年交替變換，幾年下來其覆蓋面比較全，下面具體闡述其特點．
（1）依據課標與考綱，確定試題立意．
新課程全國卷歷年的高考試題，最大的特點就在于表面看沒有大的變化，題目的設置，題型變化都不大，但是具體試題的立意卻發生了根本性的變化．
課標中對概率內容的設置一分為二，分別安排在數學3和選修1-2（文科）或選修2-3（理科）中，并調整了排列組合、統計、概率的位置．這樣做是釜底抽薪，給以往在概率教學中過分注重計數的計算降溫，達到突出概率本質的目的．
在大綱教材中，先學排列組合，緊接著學習概率，而且概率的學習以古典概型為主，統計則安排在選修部分．這樣的設置給學生的感覺是概率簡單，只要分清楚幾種概率模型即可，關鍵是要把數算對．因此概率學習、訓練的重心就放在了計數上．學生對概率的理解完全是確定性數學下的套模型與計數，而沒有概率思想．
課標教材改變了上述安排，先學統計（抽樣、數據收集、整理、分析等），緊接著學習概率的意義、古典概型、幾何概型．對于文科的學生來說這就是高中階段概率學習的全部，對于理科學生，其將在選修2-3中繼續學習概率和統計案例．這樣安排，在概率學習的第一階段，弱化了概率學習中的計算（沒有計數工具、古典概型中也只是學習等可能事件和互斥事件的概率），強化了對概率本質的理解，尤其是基于統計學習概率，并增加了用模擬方法（包括計算器產生隨機數來進行模擬）估計概率，初步體會幾何概型的意義，如果在教學中能真正落實課標的要求，讓學生經歷運用計算器、計算機來處理數據及進行模擬活動的全過程，就可以讓學生更好地體會統計思想和概率的意義．這樣的教學才是真正具有概率思想的教學．
針對課標的這種變化，實驗區高考會如何考查概率這部分內容呢？由于側重文科的學生不再學習計數原理，所以文科試題中的計數問題都可以通過列舉法求解，此處不再具體舉例．對于理科的試題，由于學生在教材選修2—3中還要學習計數原理，所以在試題中依然會出現將排列組合與概率結合考查的試題，但是這樣的試題所占比重減少，而且除個別試題外，這些題目中的計數問題都比較簡單．
①文科試題以數數作為計數的基本方法。
例如，2015年新課程全國Ⅰ卷第4題．看似要用計數原理的知識，但用數數的方法完全可以快捷地解決．
②無論文、理，以頻率估計概率都是計算概率的主打方法。
例如，2013年新課程全國Ⅰ卷理科第19題就是其中的代表。
③多次考查被遺忘在角落的內容引波動。
在實際教學及備考階段，部分教師存在著認識上的偏頗，擅自削弱對某些知識的教學深刻度，人為地造成學生學習的薄弱點，導致考試時措手不及，本來的容易題變成了較難題．
【評析】此題是在2015年考試過程中引起蝴蝶效應的始作俑者，用學生的話來說就是“怪”，他們在做這個題目時費了較長的時間，并且影響了對后續題目的解答，甚至由此導致了對后續科目考試的不良影響．山西省考生做此題的難度系數是理科0.35，文科0.15，與歷年統計概率的難度相比大幅度下降．2014年新課程全國Ⅰ卷第19題的難度系數是0.311；文科第19題是0.534；2014年新課程全國Ⅱ卷的數據分別為理科第18題0.432；文科第18題0.624；2013年全國卷第19題的理科、文科的難度系數為0.297,0.158．2012年全國卷第18題理科、文科的難度系數為0.316,0.270．參照以往每年的情況來看，這樣的難度系數還是比較正常的，但是文科的難度系數偏低．為什么會出現這樣的情況？學生第一眼看到這個題目時，首先的感覺是不適應，在考場上費了比較多的時間，影響了對整個試卷的解答．事實上，在各省、市的高考試卷中，對線性回歸已經考查過多次，最早的一次是2007年廣東卷文科和理科的第17題。
④考查統計的不確定性，回歸統計學習的本質。
統計是以確定性數學為工具研究不確定現象的，但是很多教學和考試中只注重對統計中的計算圖表的應用的考查，事實上其考查的都不是統計的核心．面對同一組統計數據，不同的決策者得到不同的決斷，這就是統計．例如，2009年全國卷文、理科第18題和文科第19題，該題考查利用頻率分布直方圖對總體進行估計，這也是符合時代特點，符合課標和教材的考查方式。此外，2013年新課程全國Ⅰ卷文、理科第18題，2014年文科Ⅱ卷19題考查根據莖葉圖給出最后的判斷，結論可能是一致的，但是理由可以是根據不同的統計量給出的．這些題目都顯示了統計與確定性數學本質上的不同．
（2）注重與其他內容的結合，考查學生綜合分析問題的能力。
例如，與分段函數相結合．高考中對分段函數的考查在此處找到了一個很好的融合點．又如，2012年新課程全國卷文、理科第18題，2013年新課程全國Ⅰ卷文、理科第19題，這幾道題首先需要建立函數關系，之后再利用函數關系解題；2014年新課程全國Ⅰ卷文、理科第19題，在最后一小題處要和函數結合求最值．此外，2007年理科第20題，2010年理科第13題，文科第14題則是將隨機模擬實驗與定積分相結合，2007年文科第20題與方程是否有實根相結合等．由此可見，高考對于統計概率的考查總是能與相關的知識緊密結合．
（3）以簡單題或中等難度題為考查的難度定位。
上面所舉的例子都是在統計概率這個板塊，其考查難度，除部分特殊情況低于0.3，出現難題之外，大部分題目的難度大于0.3．當然文、理科還是有一定差異的。例如，由上所給數據可以看出，文科學生在解答統計概率的大題時并不占優勢，其難度系數連續幾年都在0.150左右．
2013年新課程全國Ⅰ卷理科第14題，考查古典概型，難度系數0.532；新課程全國Ⅱ卷理科第9題，考查二項式定理，難度系數0.700；
2013年新課程全國Ⅰ卷文科第13題，考查古典概型，難度系數0.813；新課程全國Ⅱ卷文科第3題，考查古典概型，難度系數0.883；
2014年新課程全國Ⅰ卷理科第5題，考查排列組合與概率，難度系數0.779；新課程全國Ⅱ卷理科第5題考查相互獨立事件的概率，難度系數0.382；新課程全國Ⅱ卷理科第13題考查二項式定理，難度系數0.719；
2014年新課程全國Ⅰ卷文科第13題，考查古典概型，難度系數0.773；新課程全國Ⅱ卷文科第13題考查古典概型，難度系數0.808。
從這些數據可以看出，對于本部分內容進行考查的小題基本上屬于容易題，個別題目除外．
這與很多教師經驗中高難度的基于排列組合計數原理復雜計算基礎上的概率是完全不同的．如果不了解這些特點，不把握新課標的要求，不依據新的考綱，不參考課標卷歷年的試題，那么必然會出現以上所談情況．
3．2015年典型題分析
（1）考查定理的形成過程。
【評析】此題緊扣課標，考查根據統計圖獲得統計信息，做出估計的意識和能力，這是現代公民必備的素養．同時，基于統計數據進行概率計算，這是課標和考綱的要求，也是這些年的一種典型考查方式．新課程全國Ⅱ卷理科第18題與此題基本類似．類似的題目還有2015年安徽卷文科第17題，2015年北京卷文科第17題，2015年理科第16題，2015年福建文科第18題，2015年廣東文科第17題，2015年湖北文科第14題等．
（4）基于排列組合求概率.
例5 （2015年福建卷·理18）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.
（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；
（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望.
【評析】此題以有獎促銷為背景，以相互獨立事件的概率，互斥事件的概率，分布列和數學期望這些主要內容為載體命制而成．其主要考查了學生在統計中的計算技能．這種類型的試題在各省市命制的高考題中經常見到，延續了大綱卷的考查特點，體現了計數原理的內容與概率統計的結合．類似的題目還有安徽卷理科第17題，天津卷理科第16題，四川卷理科第17題，湖南卷理科第18題等．有些文科試卷雖然不用到計數原理，不考查分布列，但是其命制思路與理科題本質是一致的，只是用計數的方法，考查均值等．
（5）考查系統抽樣，正態分布.
【評析】此例以一個工廠工人年齡為背景，考查系統抽樣的操作方法，及平均值方差的計算，并依隱含了對正態分布的考查．對于系統抽樣的考查在歷年的高考試題中常見，但多以直接考查結果為主，此題則反其道而行之考查系統抽樣的操作過程．對于正態分布的考查也以直接考查為主，類似的題目有山東卷理科第8題，福建卷理科第16題．
（6）對計數原理排列組合的考查以簡單題為主。
例7 （2015年四川卷·理6）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有（ ）.
（A）144個 （B）120個 （C）96個 （D）72個
【評析】此題直接考查排列數公式的應用．這種考法在這些年各套試題這也是一種常見的形式．此類題目屬于簡單題或者中等難度題．
4．命題趨勢分析
綜觀歷年的高考試題，橫向分析2015年各省市的高考試題，展望明年的高考，其命題趨勢應該具有如下特點．
（1）依據考綱命制試題。
這是命題的基本依據，也是命題的大趨勢．對于考綱的理解一方面是顯性的具體知識，另一方面是其內涵的體現．此外還要注意不同省市的試題，對考綱的同一個要求，在考題中體現的側重點是不同的，所以在這個大原則下，看考查規律一定要將考綱和歷年的具體試題結合起來．
（2）注重基礎，考查應用。
本部分內容的高考試題都是以基礎題為主，這是各省市試題的一個共同特點．本部分內容是與實際應用聯系的很好的載體，所以高考常在這部分考查應用能力，有時會出現因為情境不熟悉，使得轉化受到阻礙，從而導致難題的現象．
（3）試題數量應該保持。
高考試題的數量，大部分省、市會保持現有的狀態，即一個大題，2至3個小題．
（4）計數原理的相關內容分兩種方式考查。
對于計數原理的考查不是每年都出現，其會與排列、組合，二項式定理交替出現．對于排列組合的考查一種方式是直接考查；另一種方式是在計算分布列中用到．
（5）基于統計的概率計算和基于排列組合的概率計算分布在不同的試卷中。
這是兩種考查方向，在全國課標卷中大于80%的試題是考查基于統計計算概率，；而在其他試卷中，基于排列組合計算概率所占的比例較大．
（6）文科與理科試題有差異。
這一點是必然的，這是文理科課標和考綱決定的．但是文、理科試題經常會以姊妹題的形式出現．例如，理科考查期望，文科考查平均值；理科考查排列組合計數，然后將數字簡化后文科考查直接計數．所以文、理科有些試題很像，但是因為數據的改變，其解決辦法難易度就會發生本質的變化．
（7）關于分布列及相關問題的考查是主流，統計案例等也會間隔出現。
在大題的考查中，多以分布列為載體進行考查，但是對于其他知識的考查也會穿插出現，因此不能忽視每一個內容，備考還是要全面．
三、模擬題欣賞
不論是在哪一種教學模式下，對于知識都需要通過一定量的習題解答來鞏固和提高．編制模擬題對教學有導向作用，因此編制模擬題的過程就是研究教材和課標、研究考綱和高考的過程，解答這些題目是這些研究的具體表達，只有能成功命制和解答模擬題，才能把握教學規律，有的放矢地高效備考．下面的模擬題供大家參考．
育出版社.
[2]教育部考試中心。高中文科試題分析（課程標準試驗·2011版）【M】。北京：高等教 育出版社.
[3]教育部考試中心。高中理科試題分析（課程標準試驗·2013版）【M】。北京：高等教育出版社.
[4]教育部考試中心。高中文科試題分析（課程標準試驗·2013版）【M】。北京：高等教育出版社.
[5]教育部考試中心。高中理科試題分析（課程標準試驗·2014版）【M】。北京：高等教育出版社.
[6]教育部考試中心。高中文科試題分析（課程標準試驗·2014版）【M】。北京：高等教育出版社.
[7] 周遠方，余錦銀. 2014年高考“概率與統計、計數原理”的專題分析【J】，中國數 學教育（高中版）,2014（7/8）106-119.
