魏 韌（北京市第十八中學）
摘要：2015年高考數學立體幾何試題秉承往年立足基礎，能力立意，注重知識與能力融合的命題思路，試題命制體現三個突出，一是突出對立體幾何主要基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查；二是突出通性通法考查；三是突出空間想象能力、推理論證能力以及化歸和轉化能力的考查。同時正視文、理差異，挖掘知識間內在聯系，不斷創新，亮點紛呈，透出靈性與活力。總體風格是“門檻雖低不落俗套，樸實自然不失深刻”。
關鍵詞：2015 年高考；立體幾何；數學思想方法
綜觀2015年高考數學立體幾何試題，與往年高考試題雖然有所不同，但試題的形式、內容及文、理差異均相對穩定，沿襲立足基礎，能力立意，注重知識與能力融合的命題思路，試題命制體現三個突出：一是突出對立體幾何主要基礎知識、基本技能和基本思想方法的考查；二是突出通性通法考查；三是突出空間想象能力、推理論證能力以及化歸和轉化能力的考查。現就2015年高考數學立體幾何試題從命題的角度作一個簡要分析，希望引發同行更深入地討論。
一、考點分析
1.分布合理，立足基礎
通過對 2015 年全國各地立體幾何試題列表統計和對比分析，不難發現，2015 年高考立體幾何主要考點內容有：三視圖，體積和面積，線線垂直，線面垂直，面面垂直，線線平行，線面平行，面面平行，異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角的平面角，距離和長度等。其中三視圖、線、面關系（平行和垂直），二面角是高頻考點。
2．結構穩定，難度適中
在題量上，多數試卷以兩道小題一大道題（理科）或一大道題一小道題為主（文科）（其中浙江文、理科卷都是三道小題一道大題）；分值一般在 16 ～ 22 分之間，約占總分值的 11% ～14% ，與課標要求的課時比例基本吻合。其中文科卷考查頻率和分值最多的是表面積與體積，其次是三視圖和線面垂直；理科卷考查頻率最多的是三視圖，其次是表面積與體積和二面角問題，而考查分值最多的是二面角的問題。在難度上，以容易題和中檔題為主，其中小題一般處于中間的位置，有的偏前偏易一些 （如浙江、北京的文、理科試卷），有的偏后偏難一些 （如天津理科卷）；大題一般位于解答題中第三題左右的位置，題型常規，重點考查線面平行與垂直的位置關系，幾何體的體積和表面積，線線角，線面角和二面角的計算等問題，難度適中。
3．文、理科試題保持一定的差異
《普通高中數學課程標準（實驗）》對文、理科學生在立體幾何內容與要求上有明顯的差異。因此，2015年全國各地高考試卷對立體幾何的考查定位，依然堅持加大文、理難度差異，保持文科難度普遍低于理科難度. 文科三視圖試題一般考查容易還原直觀圖的幾何體，求其表面積和體積；理科對識圖能力和空間想像能力要求更高。文科的解答題重點考查直線與平面的位置關系，計算涉及簡單幾何體的體積的計算和直線與平面所成的角，能力要求上限于直觀感知和簡單的推理論證；理科不僅考查了直線與平面的位置關系，還以空間三種角的計算為載體，考查學生的邏輯推理能力和空間想象能力。在問題解決策略的選擇上，采用綜合與向量法兼顧運用，以向量法包打天下的局面有了很大改善。
4．注重數學思想方法的考查
數學思想方法是數學知識的靈魂，學生對數學思想方法的把握，是數學素養的體現，決定了學生在問題解決過程中策略水平的穩定性。所以，2015年高考立體幾何試題，繼續秉承過去凸顯數學思想方法考查的一貫風格。
（1）函數、方程和不等式的思想。
例1 （2015年湖南卷·理10）某工件的三視圖如圖1，現將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（ ）。
手，優勢盡顯。
2．三視圖擔當了考查空間想象能力的重任
三視圖作為新增內容已成為必考考點，對進一步發展學生的空間觀念，增強對數學價值的認識起到一定的作用，因為從命題的角度上講，它是考查學生空間想象能力良好素材，2015年高考數學試題已加大了考查力度，體現了新課改的基本理念。原因是簡單幾何體（錐、柱、臺、旋轉體）組合方式多，如錐、柱、臺、旋轉體之間可兩兩組合或者多個組合，也可自身之間組合，同時可借助錐、柱、臺、旋轉體一部分（如半個圓錐或圓柱）進行組合，組合后的幾何體放置方式也可多樣，可以“立著放”“橫著放”“對著放”等，由此幾何體的三視圖就會更加豐富多彩，以三視圖為載體還原簡單幾何體的空間想像能力自然加大，提高了對空間想象能力的要求。
綜合法是數學推理論證的主要方法之一，在培養學生邏輯推理能力方面的作用無可替代。它利用已知條件、公式、定理、公理、法則等經過系列的推理論證得出結論，需要清晰的思路，嚴謹的邏輯推理能力，對思維能力要求較高。如求角或距離一般需要三步：作—證—求，難點是找到所求的角（距離）并證明即為所求，然后利用解三角形知識（正、余弦定理等）求值。高中理科在新增“空間向量與立體幾何”后，由于空間向量強大的工具作用，在處理空間幾何中方便易行，教師、學生習慣于向量法，綜合法有所弱化，推理論證能力有所下降，這種趨勢，曾一度引發一些學者的擔心。而2015年高考立體幾何試題的命制，加強了對綜合法的要求，許多試題既可用向量法，也可用綜合法，不少試題體現出綜合法簡潔、快速、嚴謹、清晰的優勢。這樣做的好處是，學生可因人而異，因題而異，合理選擇最佳解題方法，對課堂教學是一種強力的素質教育導向。
四、 結束語
綜觀2015年全國各地高考立體幾何試題，不難發現，試題在題型、題量、分值、難度、知識點分布與覆蓋上保持相對穩定；突出對基礎知識、通性通法和基本思想方法的考查，重點內容重點考查，熱點內容常考常新，在堅持穩定基礎上，求變求新，使復習備考工作有章可循，有法可依為此，我們提出幾點備考建議。
一是夯實基礎。認識空間幾何體的結構特征，熟練畫出簡單幾何體（或簡單幾何體的組合體）的三視圖，由三視圖還原幾何體，面積和體積公式等要爛熟于心；點、線、面的位置關系，尤其是線線、線面、面面垂直、平行的判定定理和性質定理的來龍去脈要理解深刻；求角或距離的通性通法（向量法或綜合法）要熟練掌握。
二是強化數學思想方法的訓練。如化歸與轉化的數學思想。空間問題轉化為平面問題；線線，線面，面面關系相互轉化；幾何問題向量化；探索性問題函數、方程模型化等。
三是整體布局，構建知識網絡，強調知識間的邏輯化、結構化把握。如垂直問題可以四棱錐為模型，整體設計出包含線線、線面、面面垂直問題，用“小問題”，說明“大道理”（基本規律、思想方法），再選配適量試題，控制難度，達到深化理解基本概念和落實通性通法之目的。
2016年立體幾何高考預測：立體幾何高考命題始終把空間的點、線、面的位置關系，以及空間角、空間距離的計算作為考查重點，對學生的空間想象能力，邏輯思維能力，演繹推理能力等傳統的考查方式仍相對穩定。 同時隨著新課程改革的不斷深入，也有所創新。
（1）重點內容仍然以高比例重點考查，但考查方式有所變化。如空間線線、線面、面面關系是重點考查內容，放在選擇題中與充要條件相結合，考查力度更大，要求更高。如北京卷理科第4題，福建理科第7題。
（2）三視圖風景獨好，成為必考熱點內容，但難度有所加強。一般是兩個或三個簡單幾何體（或一部分）的組合體，是考查學生空間想象能力的良好載體。
（3）折疊問題，存在性問題，截面問題等是命題創新一個新趨勢。2015年福建文科解答題，陜西理科解答題都有體現，有利于考查學生空間意識和分析問題與解決問題的能力。
（4）滲透數學文化的人文色彩。每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數學。例如，《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，是體現我國數學文化的好素材。2015年新課程全國I卷，湖北文科卷都有意滲透，這有利于培養學生的閱讀能力和弘揚我國數學文化。
參考文獻：
[1]中華人民共和國教育部制定．普通高中數學課程標準（實驗 ）［M］.北京：人民教育出版社，2003．
[2]周遠方,田祥高,朱再娥.2012 年高考“立體幾何”專題分析［J］.中國數學教育 （高中版），2012（7/8）：64-70.
