向量，顧名思義，就是既有方向又有大小的量，在物理里面又稱為矢量。物理里面，像位移、速度、加速度、力等物理量，都是矢量。
從向量的定義，我們不難看出，向量具有幾何方面的特性——方向，又具有代數(shù)方面的特性——大小。這就意味著，向量先天然的就是一個(gè)代數(shù)與幾何完美結(jié)合的典范，具有很強(qiáng)的解析性。這也意味著，向量問(wèn)題的處理，經(jīng)常體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，很多時(shí)候是比較靈活的，需要我們多加琢磨。
其實(shí)在以前的高中數(shù)學(xué)教材里，是沒(méi)有向量這一模塊的知識(shí)的。對(duì)于向量，我們數(shù)學(xué)老師的感受是非常深刻的，因?yàn)橄蛄康囊耄瑯O大程度上降低了某些傳統(tǒng)知識(shí)的講解和學(xué)習(xí)，像三角恒等式、余弦定理、柯西不等式等等。毫不夸張的說(shuō)，向量就是一把利器，既利于老師教學(xué)，也利于學(xué)生學(xué)習(xí)。
然而，遺憾的是，部分老師自己不太接受這個(gè)新的工具（其實(shí)也不新了，向量引入高中教材，已經(jīng)有16年之久了），還是用傳統(tǒng)的方法來(lái)講解上述定理（余弦定理等）。誠(chéng)然，傳統(tǒng)的方法也體現(xiàn)了很豐富的數(shù)學(xué)思想，但較之向量還是要遜色一些。再者，我們常常鼓勵(lì)孩子們要接受新知識(shí)，新方法，我們老師又何嘗不是如此呢。
今天，我們就來(lái)講講，采用向量這個(gè)工具，如何在上述定理的學(xué)習(xí)中發(fā)揮巧妙的作用，一起來(lái)感受向量在數(shù)形結(jié)合里展現(xiàn)的奇妙。
一、兩角余弦差公式
先來(lái)看看兩角余弦差公式的表述形式：
我們知道，在所有三角恒等式里，兩角余弦差公式是最重要的公式，沒(méi)有之一！為什么？因?yàn)榭梢酝ㄟ^(guò)這個(gè)公式，推導(dǎo)出剩下的所有的三角恒等式，這回你知道我沒(méi)有虛張聲勢(shì)了吧。正是如此，這個(gè)公式的證明就顯得尤為重要。
我們來(lái)看看采取向量的方法，如何證明這個(gè)公式。
我們先給一個(gè)單位圓，以及圓上的任意兩點(diǎn)，A，B。
由圖可知：
∠AOB實(shí)際上就是向量OA與向量OB的夾角，那么，由向量的內(nèi)積定義：
因?yàn)锳B兩點(diǎn)在單位圓上，所以這兩個(gè)向量的模都是1，所以：
如此，我們就用向量證明了兩角的余弦差公式，是不是非常簡(jiǎn)潔啊。大家感興趣的話，可以搜索一下傳統(tǒng)的證明方式，是比較繁瑣的。
二、余弦定理
余弦定理是解三角形里一個(gè)非常重要的定理，用向量的方式也是極其的簡(jiǎn)潔。
在三角形ABC中，余弦定理表述如下：
我們給一個(gè)三角形，當(dāng)然，這是任意給的三角形，再給三個(gè)向量，即向量AB，向量AC，向量BC。
AB = c，AC = b，BC = a
在三角形ABC中，根據(jù)向量的減法，我們可以得到：
在向量的計(jì)算中，我們知道，一個(gè)向量的平方就等于這個(gè)向量模的平方，所以上式進(jìn)行模的替換，就得到了余弦定理：
這里補(bǔ)充一句，解三角形里，還有一個(gè)定理，叫做正弦定理。正弦定理的證明，也是一個(gè)非常美妙的過(guò)程，是我最喜歡的高中數(shù)學(xué)定理證明之一，讓人看了心情愉悅。感興趣的朋友可以自己查閱資料看一下。
三、柯西不等式
我們先來(lái)看看柯西不等式的二維形式：
不用向量的方式，二維形式的柯西不等式還是比較容易證明的，左邊展開(kāi)進(jìn)行配方就可以了，同學(xué)們可自行嘗試證明一下。在用向量證明之前，我們先說(shuō)明一個(gè)向量?jī)?nèi)積運(yùn)算的基本性質(zhì)。
其實(shí)這個(gè)性質(zhì)就是在說(shuō)，兩個(gè)向量模的乘積，要大于等于他們的內(nèi)積。這個(gè)性質(zhì)是很顯然的，因?yàn)閮?nèi)積運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，本就是一個(gè)向量的模在另一個(gè)向量上的投影，再與該向量的模相乘。自然，這個(gè)乘積的結(jié)果，比直接拿兩個(gè)模相乘要小，因?yàn)橥队暗拈L(zhǎng)度，肯定要小于等于自身的長(zhǎng)度嘛。
其實(shí)講到這里，我們發(fā)現(xiàn)，柯西不等式已經(jīng)不用證明了。什么？不是還沒(méi)有開(kāi)始嗎，就已經(jīng)結(jié)束了！大家看柯西不等式的形式：
左邊不就相當(dāng)于兩個(gè)向量的模乘起來(lái)平方嗎？右邊呢？是不是就是內(nèi)積運(yùn)算之后平方啊。所以在向量的性質(zhì)之下，柯西不等式簡(jiǎn)直就不用證明了，因?yàn)檫@本就是一個(gè)東西啊！
向量的特別之處在于，還可以很方便的進(jìn)行維度拓展，比如柯西不等式的N維形式：
只需要把二維向量，拓展到N維向量，是不是就得到這個(gè)結(jié)論了。如果采取代數(shù)的方式，還是要費(fèi)點(diǎn)功夫才可以的。由此，我們也看出了向量這個(gè)工具的強(qiáng)大！
當(dāng)然，向量在高中數(shù)學(xué)中還有很多妙用，比如在解析幾何直線那個(gè)模塊，求點(diǎn)到直線的距離公式。如果不用向量的方法，采取傳統(tǒng)的解析幾何方法，不管是等面積法，還是利用段長(zhǎng)度公式，都是不小的運(yùn)算量。但是，采取向量的方法，可以非常簡(jiǎn)潔的得到點(diǎn)到距離公式。我發(fā)的視頻里有這個(gè)具體證明的方法，感興趣的同學(xué)可以去看一看，這里就不再論述了。
通過(guò)這幾個(gè)例子，我們切身體會(huì)到了向量這個(gè)工具的強(qiáng)大，堪稱數(shù)與形相結(jié)合的典范啊！在很多高考題里，也展現(xiàn)了極其巧妙的用處，改天我們?cè)僭敿?xì)舉幾個(gè)高考真題來(lái)說(shuō)明一下，屆時(shí)再來(lái)感受向量里的數(shù)形結(jié)合思維！
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