| - | 銳角三角函數(shù) | 任意角三角函數(shù) |
圖形 | ||
正弦（sin） | ||
余弦（cos） |
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正切（tan或tg） |
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余切（cot或ctg） |
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正割（sec） | secA=c/b |
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余割（csc） | cscA=c/a |
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表格參考資料來源：現(xiàn)代漢語詞典．
倒數(shù)關(guān)系：①；②
；③
商數(shù)關(guān)系：①；②．
平方關(guān)系：①②；③
公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
公式二：設(shè)為任意角，與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
公式三：任意角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
公式四：與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
公式五：與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
公式六：及與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限．即形如（2k+1）90°±α，則函數(shù)名稱變?yōu)橛嗝瘮?shù)，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切。形如2k×90°±α，則函數(shù)名稱不變。
誘導(dǎo)公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”意義：
k×π/2±a(k∈z)的三角函數(shù)值
（1）當(dāng)k為偶數(shù)時，等于α的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數(shù)值的符號；
（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，等于α的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函數(shù)值的符號。
記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：
記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角．
以誘導(dǎo)公式二為例：
若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值，余弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值，正切函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是正值。這樣，就得到了誘導(dǎo)公式二。
以誘導(dǎo)公式四為例：
若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是正值，余弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值，正切函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值。這樣，就得到了誘導(dǎo)公式四。
誘導(dǎo)公式的應(yīng)用：
運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的一般步驟：
特別提醒：三角函數(shù)化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數(shù)值；②注意誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用；③三角函數(shù)化簡的要求是項數(shù)要最少，次數(shù)要最低，函數(shù)名最少，分母能最簡，易求值最好。
二角和差公式
證明如圖：負(fù)號的情況只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推導(dǎo)只需把角α對邊設(shè)為1，過程與tan(α+β)相同．
三角和公式
口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩，正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦．
二倍角公式
三倍角公式
證明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin2a·cosa+cos2a·sina
=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina
=3sina-4sina
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cosa-1)cosa-2(1-cosa)cosa
=4cosa-3cosa
sin3a
=3sina-4sina
=4sina(3/4-sina)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina×2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]×2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cosa-3cosa
=4cosa(cosa-3/4)
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa×2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]×{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述兩式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4×[cosa·sina·(2×sina-1)]
cos4a=8cosa-8cosa+1
tan4a=(4tana-4tana)/(1-6tana+tana)
五倍角公式
n倍角公式
應(yīng)用歐拉公式：.
上式用于求n倍角的三角函數(shù)時，可變形為：
所以
其中，Re表示取實數(shù)部分，Im表示取虛數(shù)部分．而
所以
（正負(fù)由所在的象限決定）
證明：
由于，顯然，且
故有：
詳見詞條：正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R．則有：
正弦定理變形可得：
詳見詞條：余弦定理
對于如圖所示的邊長為a、b、c而相應(yīng)角為α、β、γ的△ABC，有：
也可表示為：
sin2α=[1-cos(2α)]/2
cos2α=[1+cos(2α)]/2
tan2α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
c0+c1x+c2x+...+cnx+...=∑cnx (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)+...+cn(x-a)+...=∑cn(x-a) (n=0..∞)
它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù)， 這種級數(shù)稱為冪級數(shù)。
泰勒展開式又叫冪級數(shù)展開法
實用冪級數(shù)：
e= 1+x+x/2!+x/3!+…+x/n!+…,x∈R
ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)x/k, x∈(-1,1)
sin x = x-x/3!+x/5!-…+(-1)x/(2k-1)!+…, x∈R
cos x = 1-x/2!+x/4!-…+(-1)x/(2k)!+…, x∈R
arcsin x = x + x/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)…+(2k+1)!!×x/(2k!!×(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示雙階乘）
arccos x = π/2 -[x + x/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) + (1×3×5)x/(2×4×6×7)……], x∈(-1,1)
arctan x = x - x/3 + x/5 -…, x∈(-∞,1)
sinh x = x+x/3!+x/5!+…+x/(2k-1)!+…, x∈R
cosh x = 1+x/2!+x/4!+…+x/(2k)!+…, x∈R
arcsinh x =x - x/(2×3) + (1×3)x/(2×4×5) -(1×3×5)x/(2×4×6×7)…, x∈(-1,1)
arctanh x = x + x/3 + x/5 + …, x∈(-1,1)
在解初等三角函數(shù)時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結(jié)合的方法求三角函數(shù)值、三角函數(shù)不等式、面積等等。
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
傅里葉級數(shù)又稱三角級數(shù)
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學(xué)院
