2019年第17篇：【讀書有思】之讀羅素的《數理哲學導論》
中山市教研室/郭躍輝
羅素的《數理哲學導論》一書早有耳聞，是他早期的代表作。不過長久以來我一直沒有閱讀，原因有二：一是認為不用讀，我一個文科生，讀不讀“數理哲學”的著作似乎影響不大；二是認為沒能力讀，數學科目在中學時期就是我的薄弱項，自己哪有能力去讀數學的哲學理論呢？不過我今年決定閱讀羅素的著作，先后讀了《哲學問題》《我的哲學的發展》《羅素自選文集》《邏輯與知識》《心的分析》等，按照時間順序，也該啃一下這本“可望而不可即”的著作了。讀書前我給自己定了一條規矩：哪怕每句話都讀不懂，也要堅持把每個字讀完。
真正開始閱讀后，我居然發現并沒有我想象中的難，前七章的內容我能夠讀懂。不過從第八章“無窮基數”到第十三章“無窮公理與邏輯類型”，我能讀懂的不到20％。特別是出現數學符號的地方，沒有實際的例子作為支撐，我真的是到了“每個字都認識，串起來就讀不懂”的地步。最后幾章關于“命題函項”“摹狀詞”“類”等內容的，勉強能夠讀懂，因為部分內容在《邏輯與知識》中出現過。實際上，這本書很薄，而且羅素認為這是一本通俗介紹數理原理的著作，是他在完成《數學原則》和《數學原理》之后寫的一本書。而且，這本書是1918年羅素在監獄中寫成的。他原計劃在監獄中每天用四個小時進行哲學寫作，每天四個小時的哲學閱讀，四個小時的普通閱讀，不知道這個計劃有沒有真正落實，反正《數理哲學導論》幾個月便寫完了。
“數理哲學”，所謂“數理”就是“數之理”，而不是“數學和物理”，從書名上就可以看出這是從哲學的角度談“數”的。在羅素看來，“數”就是某一個類的數，一個類的數就是所有和這個類有一一對應關系的類的類。作者提出基數就是一個類的類，數1就是所有單一的類的類，即所有只有一個分子的類的類。也就是說，“數”是一切數的特征，就像“人”是一切人的特性一樣。“許多事物所形成的復合并非是數的一例，而是某個特殊的數的實例。譬如三個人的一組是數3的實例，而數3又是數的一例；但是三人組并不是數的一例。”或者說，“數”是一個高度抽象的概念，它不屬于任何具體的“數目”。數、3和三個人是完全不同的概念。數3和劉關張三兄弟不同，數3是一切三個一組所共有的東西。
數與數之間是一種“類推”的關系，用皮亞諾的概念就是“后繼”。皮亞諾用三個概念和五個命題概述了算數的內容。這三個概念是0，數和后繼，五個基本命題是：0是一個數；任何數的后繼是一個數；沒有兩個數有相同的后繼；0不是任何數的后繼；任何性質，如果0有此性質，又如果任一數有此性質，它的后繼也有此性質，那么所有的數都有此性質。0是一個空項，在皮亞諾那里是一個邏輯起點，0和后繼兩個概念推出了1，1和后繼又推出了2，依次類推便形成了數的概念。這實際上是一種數學歸納法。在皮亞諾理論的基礎上，羅素也下了幾個定義：“自然數”就是對于“直接前趨”這一關系而言的0的“后代”；0是以空類為唯一份子的類；類α所有項數的后繼就是α與任何不屬于α的項x一起所構成的類的項數；而所謂數，就是某一個類的數。
闡述了“數”之后，羅素又解釋了“序”的概念。在他看來，“序”應該具有非對稱性、傳遞性和連通性三種性質。所謂非對稱性，就是“如果x在y之先，或者說x先于y，那么y必不先于x”；所謂傳遞性就是“如果x先于y，并且y先于z，x必先于z”；所謂連通性指的是“給定為一關系所排列的一類中的任何二項，必是一個在先，另一個在后”。在此基礎上。羅素又分析了“示異”“平方”“前域”“后域”“包含”等概念，以及它們與序的三種性質之間的關系。示異的、傳遞的和連通的是相互獨立的，因為每一種關系可能有兩種性質而沒有第三種性質。例如“祖先關系”是示異的、傳遞的，但不是連通的，“小于或等于關系”是傳遞的、聯通的，但不是示異的。于是。羅素給“序列”下了一個定義：一關系如果是傳遞的，示異的和連通的；或者說，如果是非對稱的，傳遞的和連通的，則此關系稱作是序列的。
“序”本身就是一種關系，對于“關系種類”的討論，羅素依然是從非對稱性、傳遞性和連通性開始的。配偶關系是對稱的，a是b的配偶，那么b也是a的配偶，但是丈夫關系便不是對稱的，a是b的丈夫，那么b一定不是a的丈夫。“大小不同”和“形狀不同”表面上看都是“不同”，實際上是不一樣的，前者存在著一種大于或小于的關系，后者卻沒有。這些大多數一對一的關系，數學中還存在著一對多的關系，那就涉及到數學函數問題了。這個內容對我來說也是最難以理解的部分。函數起源于關系的相似，接下來幾章便是探討函數意義上的數理哲學了。
數學與邏輯是相通的，這是羅素在本書的后幾章內容談的重點。在他看來，屬于人類知識的其他東西必須用其他的方法——經驗的方法來確定，通過感覺，或者通過某種形式的經驗，但不是先驗的、演繹的。因此，羅素談論邏輯問題，重點不是邏輯的形式，而是邏輯的內容，而與邏輯密切相關的“命題”“命題函項”“類”“摹狀詞”等與數學又有著千絲萬縷的聯系。邏輯中的否定關系、析取關系、合取關系、不相容關系和蘊含關系，也是數學中的重要內容。“兩直線平行，則同位角度數相等”，這是一個命題，而“兩直線平行”和“同位角相等”則不是命題，而是“命題函項”，只有賦予函項一定的“值”之后，才能成為一個數學命題。關于“摹狀詞”的理論，也是羅素哲學的重要支撐，這一點在《邏輯與知識》一書中也得到了相應的闡述。
