三角形
三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。
中線(Median)：三角形一邊中點與這邊所對頂點的連線段。
高線(Altitude)：從三角形一個頂點向它的對邊所作的垂線段。
角平分線(Angle Bisector)：平分三角形一角、一個端點在這一角的對邊上的線段。
垂直平分線(Perpendicular Bisector)：通過三角形一邊中點與該邊所垂直的線段，又稱中垂線。
以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。
三條中線的交點稱之為形心(Centroid)。如果一個物件質量分布平均，形心便是重心。
三角形的五心為內心、外心、形心、垂心以及旁心：
三個內角的角平分線的交點為內心(Incenter)，該點為三角形內切圓的圓心。
三條邊的中垂線的交點稱為外心(Circumcenter)，該點為三角形外接圓的圓心。
三條中線的交點稱之為形心(Centroid)，被交點劃分的線段比例為1:2。如果一個物件質量分布平均，形心便是重心。
三條高線的交點稱為垂心(Orthocenter)。
垂心(藍色)、形心(紅色)和外心(橙色)能連成一線，且成比例 1:2，稱為歐拉線。
旁心
外角的角平分線的交點稱為旁心(Excenter)。旁心有三個，為三角形某一邊上的旁切圓的圓心。
數學家還定義了三角形其他各種各樣有趣的”心”，比如 "Apollonius Point" and "Symmedian point"，這些在未來文章中會有繼續整理介紹。
三角形內角/外角
圓
圓心角/圓周角
頂點在圓心的角叫圓心角(Central angle)，圓心角的度數等于它所對的弧的度數.
頂點在圓周上，角兩邊和圓相交的角叫圓周角(Inscribed angle)。
相關幾何定理
三角形內角和定理
三角形的內角和等于180°。
外角定理
三角形中，任一角的外角，等于另兩角的和。外角定理也可以擴充到任意多邊形中：任意多邊形的外角和，等于一周角。
正多邊形內角和定理
n 邊形的內角的和等于: (n-2)*180°( n>=3，且 n 為整數）
多邊形外角和定理
凸 n 邊形的 n 個外角之和等于360o。(如上圖)
梯形中位線定理
梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。
勾股定理
在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。
勾股定理的逆定理亦成立。
圓心角定理
同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等，此定理也稱"一推三定理"。
圓周角定理
圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。
圓周角定理的推論：
同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧。
半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧的半圓，所對的弦是直徑。
若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。
泰勒斯定理
泰勒斯定理(Thales' theorem)以古希臘思想家、科學家、哲學家泰勒斯的名字命名。
若 A, B, C 是圓周上的三點，且 AC 是該圓的直徑，那么 ∠ABC 必然為直角。或者說，直徑所對的圓周角是直角。
泰勒斯定理的逆定理同樣成立，即：直角三角形中，直角的頂點在以斜邊為直徑的圓上。
拿破侖定理 Napoleon's Theorem
拿破侖定理是拿破侖發現的平面幾何定理："以任意三角形各邊為邊分別向外側作正三角形，則它們的中心(三心)連線必構成一個正三角形。"該正三角形稱為拿破侖三角形。
如果向內作三角形結論同樣成立。
蝴蝶定理 Butterfly Theorem
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典歐氏平面幾何的最精彩的結果之一。題目的幾何圖形象一只蝴蝶，便以此命名。
設M為圓內弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點。
阿基米德中點定理
阿基米德中點定理說明：圓上有兩點A,B，M為弧AB的中點，隨意選圓上的一點C，D為AC上的點使得MD垂直AC。若M、C在弦AB異側，則AD=DC-CB；若M、C在弦AB同側，則AD=DC+BC。
芬斯勒—哈德維格爾定理
芬斯勒—哈德維格爾定理（Finsler-Hadwiger Theorem）說明：若兩個正方形ABCD和AB'C'D'擁有同一個頂點A。B'D的中點、BD'的中點、ABCD的中心和AB'C'D'的中心將組成一個正方形 TQRS。
帕普斯定理
帕普斯六角形定理(Pappus's hexagon theorem)，內容是設 A,B,C 是一直線上三點，D,E,F 是另一直線上三點，如果 AF, AE, BF分別與CE, CD, BD相交，則三個交點 X,Y,Z 共線。
維維亞尼定理
維維亞尼(Viviani)定理說明：在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等于三角形的高。
這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。
圓冪定理
平面上任意點P對半徑R的圓O的冪定義如下：
所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。
祖暅原理
祖暅原理，又名等冪等積定理，是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等的定理。
在歐洲17世紀意大利數學家卡瓦列里亦發現相同定理，所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理。
兩個體積相同的硬幣堆疊，來說明祖暅原理。
共邊定理
共邊定理 設直線AB與PQ交于M, 則
這樣共邊三角形的面積比可以轉化成線段比表示了。
托勒密定理
托勒密定理指出凸四邊形兩組對邊乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四邊形為圓內接四邊形，兩組和相同。
狹義的托勒密定理也可以敘述為：若且僅若圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。則這個凸四邊形內接于一圓。托勒密定理實際上也可以看做一種判定圓內接四邊形的方法。
歐拉定理(幾何)
幾何學中的歐拉定理是說，三角形的外心與內心之間的距離 d 可表示為
其中 R 為外接圓半徑， r 為內切圓半徑。
從歐拉定理可推出歐拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：
正弦定理
正弦定理(Law of sines)指出：對于任意 △ABC，a,b,c 分別為 ∠A、∠B、∠C 的對邊，R 為 △ABC 的外接圓的半徑，則有
余弦定理
余弦定理是三角形中三邊長度與一個角的余弦值 cos 的數學式，內容是：
當知道三角形的兩邊和一角時，余弦定理可被用來計算第三邊的長，或是當知道三邊的長度時，可用來求出任何一個角。
海倫公式
海倫公式(Heron's formula)，又稱希羅公式、海龍公式。中國南宋末年數學家秦九韶發現或知道等價的公式，所以亦稱"海倫-秦九韶公式"。
假設有一個三角形，邊長分別為 a,b,c，三角形的面積 A可由以下公式求得：
測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離就可以計算出答案。(下次待續...)
